关于放宽二胎政策的思考

1、2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从a/b/c/d中选择一项填写）： b 我们的参赛报名号为（如果赛区设置

2、报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 重庆师范大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 李美芳 2. 曾红梅 3. 张 静 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2012 年 7 月 15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：关于放宽二胎政策的思考摘要 随着计划生育政策的实施，我国人口增长已经得到了有效的控制。与此同时，老龄化

3、的渐渐显漏，未来年龄结构的剧变，是喜是忧，对此，本文中初步做出放宽二胎政策的结论。至于如何放宽，何时放宽，我们做了进一步分析。 问题一中，根据所搜集数据，建立直观图表，从数量、结果以及变化率上对中国人口现状进行初步分析。得出了中国现已步入老龄化社会，如果保持现行生育政策，中国在不久的将来还会有劳动力匮乏的隐患。问题二中，针对问题一分析所得的结论，我们从三个模型作如下分析：模型一是从我国实际情况和人口增长的特点出发，参考相关数据，利用matlab程序对数据进行拟合，得出人口计算公式，由此公式对我国人口增长的中短期趋势做出预测。得出结论，若保持现行生育政策，中国人口在短期内人呈现缓慢增长趋势，在2

4、023年达到峰值，之后就会有所下降。模型二是基于人口变化的logistic阻滞增长模型，利用现有数据进行拟合，得出计算历年人口数量公式。模型三是离散控制模型，在matlab程序中计算得出结果，并与模型一预测数据进行比较，最终确定应该在2013年放宽二胎政策。其放宽的方案为：凡是有一方是独生子女的夫妻可以生第二胎，由此降低门槛，达到调和计划生育给我国带来的冲击。关键词：拟合分析 logistic模型 离散控制模型 生育模式一、问题重述1.1问题的提出背景 中国是世界上人口最多的发展中国家，20世纪70年代，政府加强计划生育力度，经过了30多年的不懈努力，中国的人口增长得到了有效控制，促进了中国综

5、合国力的提高、社会的进步和人民生活水平的改善。但计划生育同时也带给我国前所未有的考验，人口老龄化、子女的养老重负以及未来可能出现的劳动力匮乏等，不禁让我们对现行生育政策重新思考。以下，是本文解决的问题阐述： （1）利用现有数据，对中国人口现状进行初步分析。本文将在1.2节做出阐述。 （2）建立三个模型，分析我国放宽二胎政策的必要性，并给出调整时机和调整方案，提出模型改进。1.2中国人口现状的统计结果 自从计划生育政策全面实施以来，广大群众的生育由过去的自发状态转变为有计划生育状态，中国逐渐由一个高出生率、低死亡率、高自然增长率转向低出生率、低死亡率、低自然生长率的国家。图一 由表一数据可得：在

6、数量上，从1980年到2010年，中国人口出生率逐渐降低。2010年，全国总人口数为134091万人，比2007年增多1962万人，全年出生率为11.9，死亡率为7.11，自然增长率为4.79。由此可见，中国虽然已经位于低生育率国家之列，但仍处于人口增长阶段，只是增长的幅度缓慢了。表一 1980-2010年人口变化年份 人口总数（万人）出生率()死亡率()自然增长率()19809870518.216.3411.87198310300820.196.913.29198610750722.436.8615.57198911270421.586.5415.04199211717118.246.641

7、1.6199512112117.126.5710.55199812476115.646.59.14200112762713.386.436.95200412998812.296.425.87200713212912.16.935.17201013409111.97.114.79 图二 从年龄结构上看，随着计划生育政策的施展，老龄化问题渐渐显现。从1995年65岁以上人口占6.2%，到2000年之后达到并超过了7%，根据国际标准，中国已经进入老龄化社会。年份总人口(年末)(万人) 按年龄段分0-14岁15-64岁65岁及以上人口数比重(%)人口数比重(%)人口数比重(%)199512112132

8、21826.68139367.275106.219961223893231126.48224567.278336.419971236263209326.08344867.580856.519981247613206425.78433867.683596.719991257863195025.48515767.786796.920001267432901222.98891070.188217.020011276272871622.58984970.490627.120021284532877422.49030270.393777.320031292272855922.19097670.49692

9、7.520041299882794721.59218470.998577.620051307562650420.39419772.0100557.720061314482596119.89506872.3104197.920071321292566019.49583372.5106368.120081328022516619.09668072.7109568.320091334502465918.59748473.0113078.520101340912225916.69993874.5118948.9表二 年龄结构 图三 总之，从短期来看，计划生育有效控制了人口增长速度，促进综合国力的提高、

10、社会的进步和人民生活水平的改善。然而，从长远视角来看，过分严格的计划生育无疑是“自毁长城”。老龄化日趋严重，老年人的增多给消费结构、社会保障以及家庭结构带来了很大冲击，子女的赡养负担加重；短期内丰富的劳动力资源并不会长久的存在；未来人口结构比例出现畸形。由此可知，计划生育政策绝不仅仅实施这么简单了，“牵一发而动全身”让我们对此作出了反复慎重的思考，并做出了调整方案。以下是解决问题二的表述。2、 模型的假设1、 题中所给数据能反映我国人口的基本情况。2、 把全国看成独立封闭的系统，即不考虑迁入迁出的因素对人口的影响。3、 无重大毁灭性自然灾害和疾病，无战争等暴烈活动对人口变化的影响。4、 假设我

11、国妇女的育龄区间为1546岁。5、 女性的平均寿命不超过74岁。三、符号说明x 年份y 全国总人口数（万人） 自然资源和环境条件下所容许的最大人口数r 自然增长率 第t年i岁的人口数 第t年i岁的适龄女性的生育率 第t年i岁的人口死亡率 第t年i岁的人口存活率 第t年i岁的人口的女性比第t年平均生育胎数 待定常数4、 问题分析 一个国家人口的变化是随时间的推移而变化的过程，是由很多因素决定的，如出生率、死亡率、生育率和性别比例等等，并且反作用于各种社会形态。 本文建立模型对人口发展过程进行定量预测，就是根据现存的人口统计资源和原始数据，从当前人口状况出发，对未来人口发展的预测，并提出合理的改革

12、方案。五、模型建立5.1模型一：人口数量预测模型通过matlab程序，对现有数据进行分析，拟合二次模型，得出计算年人口数量的公式，由此来预测未来30年内人口变化趋势。5.2模型二：基于人口变化的logistic阻滞增长模型通过matlab程序，对各个年份的总人口数分析，拟合模型，得到最终人口增长计算公式。假设初始时刻的人口数为，为自然资源和环境条件所能容许的最大人口，r为自然增长率。（1） （2）结合公式（1）（2），通过matlab程序，对各个年份的总人口数分析，得到最终人口增长计算公式：5.3 模型三：离散控制模型分析：假设年龄按周岁计算，时间以年为单位；模型仅考虑由于生育、衰老和死亡引起

13、的人口演变，而不计迁移等社会影响。记为第t年i岁（满i周岁不满i+1周岁）的人数，最高年龄为m岁。则存活率： （1）其中为育龄区间。记为婴儿死亡率。即第t年出生但未存活到统计人口时刻的婴儿的比例。又。则 （2）且 （3）式（1）（2）（3）描述了人口的发展过程。其中由统计资料给出对人口数量起控制作用的是。下面对它作进一步分解 记 （4）若令 （5）则应满足 （6）称为生育模式。是i岁妇女生育的加权因子。表示岁妇女生育率高于岁妇女。指定生育政策就是确定控制 和。通过控制生育的多少，通过可以控制生育的早晚和疏密。引入向量和矩阵记号 （7）其中 则（1）（3）可以写为 （8）在稳定的社会环境中，有些

14、量随时间变化甚小，故可视为与时间无关（如女性比）可固定为，存活率可固定为，生育模式可固定为，同样婴儿存活率也可以通过统计看做常数。于是为常数矩阵。故可将公式（8）化简为 （9）其中第i个数即为t+1年i-1岁人口数目总和。由于人口总数 （10）所以（11）六、模型求解6.1.1模型一求解 根据对1980年到2010年人口统计数据分析， 设 (12) 利用下面的matlab程序按照(12)式对数据进行拟合。 x = 1980:3:2010; y=98705,103008,107507,112704,117171,121121,124761,127627,129988,132129,134091;

15、 得到图四 19802010年总人口曲线状况拟合 图五 19802040年总人口变化表三 19802040年总人口x（年）19801983198619891992199519982001y（万人）98705103008107507112704117171121121124761127627x（年）20042007201120122013201420152016y（万人）129988132129134740135240135700136110136490136810x（年）20172018201920202021202220232024y（万人）1371001373401375501377001

16、37820137890137920137910x（年）20252026202720282029203020312032y（万人）137850137750137610137430137200136930136610136260x（年）20332034203520362037203820392040y（万人）1358601354201349301344101338401332201325701318706.1.2模型结果分析通过计算得到的公式，可以预测2040年之前的历年人口数，由图五和表三可以看出，现行生育政策使得人口总数在2023年左右达到峰值，之后呈下降趋势。人口数量的变化将导致年龄结构不稳

17、定，出现诸多隐患。6.1.3 误差分析 表四 误差对照xi（年） 19801983198619891992199519982001200420072010yi（万人）98705103008107507112704117171121121124761127627129988132129134091模型值 97989103343108313112897117096120910124338127381130038132310134197误差 -716.47335.46806.05193.2-74.84-211.32-423.15-246.3350.12181.12105.98由matlab程序 q

18、= sum(z - y).2) %拟合精度最终求出拟合精度为： q = 1.649530854069536e+0066.2 模型二求解 在模型二的建立中，得出人口增长模型的公式， 通过matlab程序拟合，得到如下人口增长曲线： 图六 分析上图可知，自从实行计划生育以来，我国已经由一个高生育率、低死亡率、高自然生长率转变为低出生率、低死亡率、低自然生长率国家。逐步进入平稳增长状态，然而这种状态并不会长久存在，当人口达到一定的数量上，就会呈现下降趋势。这将不利于年龄结构的稳定发展。6.3 模型三求解根据模型三的建立中所列公式，得最终得到计算人口数量的公式： 分别设定，把2011作为初始年，用ma

19、tlab程序可得以后各年全国总人口数，并同模型一中所预测数据参照。 表五 模型三对全国人口数量的预测（单位：万人）年份（年）20112012201320152018202020302040预测人口y(t)134740135240135700136490137340137700136930131870=1129450130070130540131370132320132740131400127340=1.5132030132650133120133950134900135310133980129920=21356401362601367301375601385101389301385901365

20、30 由表分析可知：在2013年=2的生育模式下，人口数量与模型一预测数量接近，此时，为了避免当前生育政策带来的种种困扰，应该放宽二胎政策。具体放宽方案为：在已有的计划生育基础上，再放低要求，降低门槛，以缓解计划生育给我国带来的冲击。例如，有一方是独生子女的夫妻，可以生第二胎；第一胎是女孩的可以隔年生第二胎。7、 模型评价 以上三个模型是针对现行生育政策的分析，并分析放宽二胎政策的时机。 模型一、二应用现有所收集的数据，拟合得出计算人口总数的公式。不同的预测方法，所得结果存在差异。由于模型二应用相同于模型一的拟合方法，所以没有进行误差分析。 模型三的离散控制模型，对于生育模式的求解，通过设定不

21、同生育胎数下，全国总人口数在各年预测同模型一中所预测结果对比，当结果相吻合时，这一年就实行放宽二胎政策。标准明确，对比鲜明，很有说服力。八、模型改进以上三个模型的完成，不禁让我们再次思考，影响人口变化的因素有年龄结构和性别比例，比如在生育年龄的女性，就有两方面因素要考虑。 假设男女人口比例一定。 以2年为区间划分年龄组，将女性划分为0-2，3-4，73-74，编号为0-36，共37组。设女性寿命不超过74岁，女性在15-46岁。 表示第i个年龄组的女性在时刻t的人数。 表示初始时刻第i个年龄组中女性的人数。假设其为已知的。我们将建立刻画向量 在t=0,2,4，的性态的数学模型。第0年龄组在时间

22、t+2的人数为t至t+2这段时间出生并在t+15时仍活着的人数。即其中分别为第j年龄组中平均每人生育并生存下来的人数。设在t+2时年龄组1至年龄组36的人数均正比于前一年龄组在时间t的人数。即i=1,2，36，有其中表示第i年龄组中至t+2时生存下来并进入i+1年龄组的人的比例。设生育率和生存率均为常数。用矩阵记号，人口增长模型可以表示为，t=0,1,2，其中 n=0,1,2,。 进而对人口总量及其年龄结构进行预测。当社会环境稳定时，和为可获得的已知值。通过计算可得出各个年龄组的人口数量。并获年龄结构比例，将其与稳定人口社会下的动态平衡相比较，由此可决定是否放宽二胎政策。参考文献1 谭永基，蔡

23、志杰.数学模型m.上海：复旦大学出版社，2011:368-3872 赵静，但琦.数学建模与数学实验m.北京：高等教育出版社，2000:255-2583 附录模型一：>> clear>> x = 1980:3:2010;>>y=98705,103008,107507,112704,117171,121121,124761,127627,129988,13212， 134091;>> format long>> a = polyfit(x,y,2) %求模型一的二项次系数 a =1.0e+007 * -0.000002140857291 0.008662715439049 -8.749360793749979>> z =polyval(a,x);%求拟合后的人数>> plot(x,y,'k+',x,z,'r'),xlabel('年份（年）'),ylabel('总人口（万人）'),title('总人口拟 合')%拟合曲线图>> wc2 = sqrt(sum(z-y).2); %总误差>> wci = z - y ;