复变函数第一章

1、厦门理工学院数理系陈 卿s5-210;周二、五下午积积 分分 变变 换换 与与 复复 变变 函函 数数积积 分分 变变 换换fourier 变变 换换laplace 变变 换换法国数学家、物理学家傅里叶法国数学家、物理学家傅里叶法国数学家、天文学家拉普拉斯法国数学家、天文学家拉普拉斯考试方法：平时成绩*30%+期末成绩*70%平时成绩：课堂表现+作业+考勤第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数1 复数及其代数运算2 复数的几何表示3 复数的乘幂与方根4 区域5 复变函数6 复变函数的极限与连续性41.2 两个复数相等re ,imxzyz复数 z 的实部实部和虚部虚部，记作的数，称为复数复数

2、，其中 x 和 y 分别称为xy、r r,zxyi或zxiy1.1 定义 形如1、复数的概念、复数的概念1 复数复数2、复数的代数运算（和、差、积、商）、复数的代数运算（和、差、积、商）1.3 共轭复数561、 复平面复平面oxyxyz将( , )x y称为复数 z的实数对形式实数对形式. 称 x 轴为实轴实轴, y 轴为虚轴虚轴. 如上图所示, 表示复数 z 的平面称为复平面复平面或 z 平面平面.( , )zxiyx y2 复数的几何表示复数的几何表示72、 复数的模与辐角复数的模与辐角oxyxyzr向量oz的长度称为复数 z 的模模或绝对值绝对值，记作 r 或 |z| ，则有三角不等式1

3、212zzzzzxiyoz220,00.rzxyzz1212zzzz实轴正向到非零向量oz的角由tanyx确定，称为复数 z 的辐角辐角，记作arg . z注注 一非零复数 z 有无穷多个辐角.oxyxyzr以表示argz中的一个特定值，若其满足 0; x 0; y 0 （3）同心圆环：（5）带形区域：a x b; c y d0rzzr连续曲线连续曲线 若实函数 x(t) 和 y(t) 在闭区间 , 上连续，则方程组( ),()( ),xx ttyy t 或复数方程( )( )( )()zz tx tiy tt 由有限条光滑曲线衔接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线逐段光滑曲线，简单折线简单折线就

4、是逐段光滑曲线. 代表一条平面曲线，称为 z 平面上的连续曲线连续曲线.进一步地，若 连续且不全为零，则称之为光滑曲线光滑曲线.( )( )tx ty t 在上，及存在、2324和( )z( )z分别称为 c 的起点起点和终点终点.对满足121212,tttttt 的及 ， 当121( ) = ( )( )z tz tz tc成立时， 点称为的重点重点. 无重点的连续曲线称为简单曲线简单曲线或 jordan 曲线曲线；( ) = ( )zz的简单曲线称为简单闭曲线简单闭曲线.jordan 曲线曲线 设曲线 c 的参数方程为= ( ),()zz tt 简单,不闭不简单,闭不简单,不闭简单,闭(

5、) = ( )zz( )z( )z( ) = ( )zz( )z( )z26直观上看，任一简单闭曲线 c 把 z 平面唯一地分成 c、i(c) 及 e(c) 三个点集，它们具有如下性质：（1）彼此不交；（2）i(c) 是一个有界区域（称为 c 的内部内部）；coxyi(c)e(c)（3）e(c) 是一个无界区域（称为 c 的外部外部）.27单连通区域单连通区域 设 z 平面上的区域 d， 若在 d 内无论怎样画简单闭曲线，其内部仍全含于 d，则称 d 为单连通区域单连通区域. 非单连通的区域称为多多连通区域连通区域.5 复变函数复变函数1、 复变函数的概念复变函数复变函数 设复数集 g，若对

6、g 内每一个复数z，有一个或几个复数 w 与之对应，则称复变数 w 是复变数 z 的复变函数复变函数，记作( )().wf zzg单值函数单值函数 对每一个复数z，有唯一的 w 与之对应称 g 为函数 w=f(z) 的定义域定义域. 对于 g，w 值的全体所成集 g* 称为函数 w=f(z) 的值域值域.多值函数多值函数 若每一个复数z，有两个或两个以上的 w 与之对应28,zxiy wuiv( )( , )( , ),wf zu x yiv x y令则有其中 u(x, y)，v(x, y) 是二元实函数.2wz例注 今后如无特殊声明，函数都指单值函数.2930( )( , )( , )wf

7、zx yu vzg平面*gw平面称函数 w=f(z) 为 z 平面上的点集 g 到 w 平面上的点集 g*的一个对应对应（或映射映射或变换变换）.g 中的点 z 对应的点 w=f(z) 称为像点像点，同时点 z 称为点 w=f(z) 的原像原像.oxyouvzw原像像点31例如，函数 所构成的映射，是一个关于实轴的对称映射对称映射，把任一图形映成关于实轴对称的全同图形。wzxyo(-4,2)ab(0,1)c(-2,1)z1z2uvoabcw1w2322wz，例 设函数试问它将 z 平面上的下列曲线分别变成 w 平面上的何种曲线？12(0,0)zxy（）；2224.xy（ ）oxyz22ouvw

8、4433反函数反函数 假设函数 w=f(z) 的定义域是 z 平面上的集合 g，值域是 w 平面上的集合 g*. 对 g* 中的每一个点 w，在 g 中有一个（或至少两个）点与之相对应，则在 g* 上确定了一个单值（或多值）函数，记作 它称为函数 w=f(z)的反函数反函数（或逆映射逆映射或逆变换逆变换）. ( ),zw1*,( )wgwf fw 注；( ) ( ),wzf zzg 若是单值函数，则一一变换一一变换 若函数 w=f(z) 与它的反函数都是单值函数，则称 f(z) 是一一一一的.( )zw341、 复变函数的极限复变函数的极限6 复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续性极限极

9、限 设函数 w=f(z) 定义在 的去心邻域0z0,( )0(0) 对，使得当( ),f za则称 a 为 f(z) 当 z 趋向于 时的极限极限，记作0z00lim( )( ).zzf zazzf za，或当时，00zz内. 如果有一确定的数 a 存在，00zz时有注注 00lim( )zzf zzz极限与 趋于的方式无关.35定理一定理一 设函数 f(z)=u(x, y)+iv(x, y), 000000( , )(,)( , )(,)lim( , ),lim( , ).x yxyx yxyu x yuv x yv0000lim( )zzzxiyf za，则00auiv，定理二定理二 若0

10、0lim( )lim ( )zzzzf zag zb，则01 lim ( )( )zzf zg zab）；0lim( ) ( )zzf z g zab2）；0( )lim(0).( )zzf zabg zb3）36连续连续 若0z00lim( )()zzf zf z，2、 复变函数的连续性复变函数的连续性则称 f(z) 在 处连续连续. 若 f(z) 在区域 d 内处处连续，则称 f(z) 在 d 内连续，或称 f(z) 是 d 内的连续函数连续函数.0( )( )hg zzwf h在点连续，函数定理四定理四（1）两复变函数在某点连续，则它们的和差积商在该点也连续；（2）函数00() ( )hg zwg f z在点连续，则复合函数在0.z 处连续定理三定理三 函数 f(z)=u(x, y)+iv(x, y