2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第五章5.2平面向量基本定理及坐标表示

1、§5.2平面向量基本定理及坐标表示1 .平面向量基本定理a,有且只有一如果ei, e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 对实数方，/使a= ?iei+江e2.其中，不共线的向量 ei, e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2 .平面向量的坐标表示 (1)向量及向量的模的坐标表示若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设 A(xi,yi),B(x2,y2),则AB= (x2 xi.y2y),|AB| =，X2 xi2+y2yi2.(2)平面向量的坐标运算设 a=(xi,yi), b=(x2,y2),则a+b=(xi + x2,yi+y2),ab=

2、(xi x2,yi y2),后=(入X，入1).3 .平面向量共线的坐标表示设 a=(x1，yi), b= (x2, y2),其中 aw0.a, b 共线？ xiy2x2yi = 0.概 念 方 法 微 思 考1 .若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？提示 不一样.因为向量有方向，而直线不考虑方向.当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同.当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样.2 .平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？提示 不一定.两个向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量.3 .已知三点A, B, C共线，。是平面内任一点，若

3、OA=x(5B + y(5c,写出x, y的关系式. 提示 x + y= 1.题组一思考辨析1 .判断下列结论是否正确(请在括号中打或“X”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.(X )(2)若a, b不共线，且 为a+ 岫=尬a+ 曲，贝U k=尬，卬=诲.( V )xi yi右a=(xi, yi), b=(x2, y2) ,则a/b的充要条件可表不成 £=£.( 乂 )(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.(V )题组二教材改编2 .已知？ABCD的顶点A(- 1, 2), B(3, 1), C(5,6),则顶点D的坐标为 答案(1,5)解析 设

4、 D(x, v),则由 AB=DC,得(4,1)= (5 x,6 y),x,x= 1,解得1 =6-y,y = 5.3.已知向量a =(2,3), b=(1,2),若 ma+nb 与 a 2b 共线，则 m=.,1答案2 解析由向量 a = (2,3), b=(-1,2),得 ma+nb= (2mn,3m+ 2n), a 2b=(4, 1).由ma+ nb与a 2b共线，2m n:43m+ 2n14 .(多选)如图所示，C, D是线段AB上的两个三等分点，则下列关系式正确的是()A.AB=3ACB.DA=- 2CDc.aC+bD = od.bc=ad答案 ABC题组三易错自纠5 .设ei, e

5、2是平面内一组基底，若？ie1+江e2= 0,则 1 +江=.答案06 .已知点 A(0,1), B(3,2),向量 aC=( 4, 3),则向量 BC =.答案( 7，4)解析根据题意得AB=(3,1),B C=A CA B=(-4, - 3)-(3,1)= (-7, 4).7 . (2019 聊城模拟)已知向量 a=(1,1), 2a+ b=(4,3), c=(x, 2),若 b/c,则 x 的值为()A 4 B4 C 2 D2答案 B解析 b=2a+b-2a=(2,1),. b/c, .1.x+4=0, x= 4.故选 B.平面向量基本定理的应用例1 如图，已知在 OCB中，A是CB的中

6、点，D是将OB分成2： 1的一个内分点， DC和 OA 交于点 E,设OA=a, OB=b.(1)用a和b表示向量 oC, DC;(2)若oE= XOA,求实数入的值.解(1)由题意知，A是BC的中点,且Ob=3oB,由平行四边形法则， 得 OB+ Oo=2(OA,所以 OC = 20A OB = 2 a b,dC= Oc-Od= (2a-b)-2b=2a-5b.33(2)由题意知，ec / DC,故设EC= xDC.因为 EC=OC 0E=(2ab)后=(2 ?)a b, DC = 2a 二b.所以(2 »a b=x2a 3b .因为a与b不共线，由平面向量基本定理,2-甘 2x,

7、得1 = 5x3X，解得X-3X54入 =5.思维升华应用平面向量基本定理的注意事项选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来.(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平 行、相似等.强化共线向量定理的应用.跟踪训练1 在 ABC中，点P是AB上一点，且EBP=2PA, Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M,又CM = tCP,则t的值为.3答案34解析 BP = 2PA,即P为AB的一个三等分点，如图所示.A, M , Q三点共线，CM =xCQ+(1 x)CA= xCB+(x- 1)AC,而 CB=AB

8、-AC, .CM=xAB+ |-1 AC.又 CP= CA+AP = - AC+1AB,3由已知 CM = tCP,可得 xAB+ x i AC=t AC+AB ,223又AB, AC不共线,x t=2 3'x X x 2-1 = -t,解得t = 3.平面向量的坐标运算例 2 已知 A( 2,4), B(3, 1), C(-3, 4).设危=a, E3C= b, CA=c,且疝= 3c, CN = -2b.(1)求 3a+b-3c；(2)求满足a=mb + nc的实数m, n;求M, N的坐标及向量 床的坐标.解 由已知得 a = (5, 5), b=(-6, 3), c=(1,8)

9、.(1)3a+b-3c= 3(5, 5)+( 6, 3) 3(1,8)= (15-6-3, - 15-3-24)=(6, -42).(2) mb+ nc= ( 6m+ n, 3m+8n),6m+ n= 5,m= 1, c L解得3m+8n=- 5,n = 1. .f 二 ML 一(3)设 O 为坐标原点，. CM=OM-OC=3c,(5m = 3c+Oo= (3,24) + (-3, 4) = (0,20).M(0,20).一 f A又CN = ON-OC = - 2b,.ON = - 2b+OC = (12,6) + (-3, 4) =(9,2),N(9,2), .1.MN = (9, 18

10、).本例中条件不变，如何利用向量求线段AB中点的坐标？解 设O为坐标原点，P（x, y）是线段AB的中点，则 OP=2（OA+OB）,ur113即仅，y） = 2（-2,4）+（3, i）= 2，2，一一 .一 1 3所以线段AB中点的坐标为2, 2 .本例中条件不变，如何利用向量求 4ABC的重心G的坐标？解设AB的中点为P, O为坐标原点，因为 CG = 2cP, 3所以 OG=3oC+3OP=3OC+3（OA+OB）,所以 OG = 1(oA+OB+OC)=1( 2,4)+(3, 1)+(3, -4)= -2, T ， 3333所以重心G的坐标为一2, 1 . 33思维升华平面向量坐标运

11、算的技巧利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求 向量的坐标.(2)解题过程中，常利用 “向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解.跟踪训练2 (1)(2019大连模拟)已知AB=(1, 1),C(0,1),若CD = 2AB,则点D的坐标为()A . (-2,3)B, (2, 3)C. (-2,1)D, (2, 1)答案 D解析 设 D(x, y),则 CD=(x, y-1), 2AB= (2, 2),根据 CD = 2AB,得(x, y1)=(2, 2),x= 2,即y- 1 = - 2,x= 2,解得故选D.y=-1,(2)(201

12、9河北省级示范高中联考)在平行四边形 ABCD中，A(1,2), B(-2,0), AC=(2, 3), 则点D的坐标为()A . (6,1)B. (6, 1)C. (0, -3)D. (0,3)答案 A解析 Ab = (-3, 2), ，AD = BC = AC AB=(5, 1),则 D(6,1),故选 A.向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求参数 例3 (1)(2019内江模拟)设向量a=(x,1), b=(4,2),且a/b,则实数x的值是答案 2解析a= (x,1), b=(4,2), H all b,.1 2x= 4,即 x= 2.(2)(2020海南省文昌中学模拟)已知a=(

13、1,3), b=(-2, k),且(a+2b)/(3ab),则实数 k=答案 6解析 由题意得 a+2b=(3,3+2k), 3a-b= (5,9- k),由(a+2b)/(3ab),得一3(9-k)= 5(3 +2k),解得k=-6.命题点2利用向量共线求向量或点的坐标例4 已知O为坐标原点，点 A(4,0), B(4,4), C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为 答案 (3,3)解析方法一由O, P, B三点共线，可设 OP= OB=(4Z, 4?),则AP=OP OA=(4 b4,4一 ，又 A C= O C-O A=(-2,6),由 AP 与 AC 共线，得(4 入4)X6 4

14、1X (-2)=0,解得43,所以OP = 3OB = (3,3), 44所以点P的坐标为(3,3).方法二 设点 P(x, y),则 OP=(x, y),因为OB=(4,4),且OP与OB共线，所以4 = 4,即 x= y.又AP=(x 4, y), AC = (2,6),且 AP与AC共线，所以(x4)X6yx (2)=0,解得 x=y = 3,所以点P的坐标为(3,3).思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用 “若a = (xi , y1)，b=(x2, y2),则a / b的充要条件是 x1y2=x2y1” .(2)在求与一个已知向量 a共线的向量时，可设所求向量为制/R).跟踪训练 3 已知向量O)A=(k,12), 丽=(4,5), O)C = (-k,10),且 A, B, C三点共线，则 实数k的值是()A. -2 B. -1 C.1 D.2 3333答案 A解析 AB =(OB-5A=(4-k, 7),AC = OC OA = (