《第六章近独立粒子的最概然分布》作业评讲

1、第六章 近独立粒子的最概然分布作业评讲习题6.1试证明，在体积V内，在到的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为：证明：三维粒子局域于宏观体积下运动，其能量值和动量值是准连续的。在六维相空间，相体积元内的微观量子态为：体积内，动量在范围的自由粒子量子态数。对积分,可得体积内自由粒子动量大小在范围的量子态由进行变量代换：，代入上式可得：在体积V内，在到的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为：其中为在到的能量范围内单位能量间隔的量子态数，称为量子态密度 证毕。习题6.2 试证明，对子一维自由粒子，在长度L内，在到的能量范围内，量子态数为：证明：一维粒子局域于宏观长度L内运动，其能量值和动量值是准连续

2、的。在二维相空间，相体积元内的微观量子态为：在长度内，动量在范围的自由粒子量子态数。对在范围及积分,可得在长度内，自由粒子动量大小在范围的量子态由进行变量代换：，代入上式可得：长度内，在到的能量范围内，一维自由粒子的量子态数为： 习题6.3试证明，对于二维自由粒子，在面积L2内，在到的能量范围内，量子态数为证明：二维粒子局域于宏观面积L2内运动，其能量值和动量值是准连续的。在四维相空间，相体积元内的微观量子态为：面积内，动量在范围的自由粒子量子态数。对积分,可得在面积L2内，自由粒子动量大小在范围的量子态由进行变量代换：，代入上式可得：面积内，在到的能量范围内,二维自由粒子的量子态数为： 习题

3、6.4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为。试求在体积V内，在到的能量范围内能量范围内三维粒子的量子态数。解：三维粒子局域于宏观体积下运动，其能量值和动量值是准连续的。在六维相空间，相体积元内的微观量子态为：体积内，动量在范围的自由粒子量子态数。对积分,可得体积内自由粒子动量大小在范围的量子态由粒子的能量动量关系为进行变量代换：， 代入上式可得：在极端相对论情形下,在体积V内，在到的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为：于是， 第六章 近独立粒子的最概然分布(补充例题) 例1：（1）假设某种类型分子的许可能级为0、，而且都是非简并的，如果体系含有6个分子，问与总能量相联系的是什么样的分布？

4、并根据公式计算每种分布的微观态数,并由此确定各种分布的几率（设各种微观态出现的几率相等）。（2）、在题（1）中，如0和两能级是非简并的，而和两个能级分别是6度和10度简并。试重复上面的计算。解：（1）粒子的在各能级的分布可以描述如下：能 级 能量值 简并度 分布数 分布要满足的条件是： ， 满足上述限制条件的分布可以有： 则各分布所对应的微观态数为： 所以此种情况下体系的总的微观状态数为各分布的几率为： （2）粒子的在各能级的分布可以描述如下：能 级 能量值 简并度 分布数 分布要满足的条件是： ， 满足上述限制条件的分布可以有： 则各分布所对应的微观态数为： 所以此种情况下体系的总的微观状态

5、数为各分布的几率为： 例2：设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N.粒子间的相互作用很弱，可看作是近独立的。假设粒子可分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。试证明，在平衡态下两种粒子的最概然分布分别为：和其中和是两种粒子的能级，和是能级简并度。证： 粒子A能级，粒子数分布：al简并度 粒子B能级，粒子数分布：al简并度体系两种粒子分布要满足的条件为： ， 分布，对应的微观状态数为                  

6、60;        分布，对应的微观状态数为                           则系统的微观态数为 上式表明：当第一类粒子的分布为al，而同时第二类粒子的分布为al时系统的微观态数。在平衡下两种粒子的最可几分布是对应于在限制条件， 下使为极大的分布。利用斯特林

7、公式可得：由，得而由限制条件可得：， 引入拉氏不定乘子，得根据拉格朗日未定乘子法原理，每个及的系数都等于零，所以得：讨论：（1）、上面的推导表明，两种粒子各自遵从玻耳兹曼分布，两分布的，不同，但有共同的，原因在于开始就假设两种粒子的粒子数和能量具有确定值，这意味着在相互作用中两粒子可以交换能量，但不会相互转化。从上述结果还可看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平衡时，两子系统有相同的（2）、如果把每一种粒子看作是一个子系统，则总系统是由两个子系统组成，在热平衡时，两子系统的温度相等。由于在热平衡时，两子系统的温度相等。从上面打推导中可看出，在热平衡时，两子系统的是相同的，由此可见，参数

8、是一个与温度有关的量。例3：设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N.粒子间的相互作用很弱，可看作是近独立的。如果粒子玻色子或费米子。试导出，在平衡态下两种粒子的最概然分布分别。解： 考虑一般性，系统由N个玻色子和N.个费米子组成，总能量为，体积为时，粒子的分布和必须满足， 才有可能实现。玻粒子A能级，粒子数分布：al简并度费米粒子B能级，粒子数分布：al简并度玻色子处于分布时，对应的微观状态数为                           费米子处于分布时，对应的微观状态数为                           则系统的微观态数为 上式表明：当第一类粒子的分布为al，而同时第二类粒子的分布为al时系统的微观态数。在平衡下两种