长方体与正方体等积变形及涂色问题讲义

1、 中小学1对1课外辅导专家武汉龙文教育学科辅导讲义授课对象授课教师授课时间2013-03-23授课题目有关长方体、正方体的等积变形和涂色问题课 型新授课使用教具教学目标1. 熟练掌握三种情形下的等积变形问题的解法；2. 会画图分析，并会解决有关正方体涂色的问题；3. 培养学生空间和空间想象能力。教学重点和难点区分各种情形的等积变形，并能通过相应的方法解决问题。参考教材教学流程及授课详案一、 课本知识复习：1、长方体、正方体的表面积和体积公式；长方体的表面积及体积公式：方法1、设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,那么 长方体的表面积为：s=（a*b+a*c+b*c）*2 长方体的体积为：v=a

2、bc方法2、假设长方体的底面积为s,高为h，那么 长方体的体积为：v=sh正方体的表面积及体积公式： 设正方体的边长为a,那么 正方体的表面积为：s=6*a*a 正方体的体积为：v=a*a*a2、如何求不规则物体的体积。求不规则物体的体积一般用：排水法。即将物体放入盛有水的规则容器中，那么升高的那部分水所占的体积就是所求物体的体积。二、新课引入：1、等积变形例题1：有一只长方体水槽，它的底面是边长为20厘米的正方形，有一段横截面是80平方厘米的长方体钢材浸没在其中，当钢材从水槽中取出后，水桶内的水下降了3厘米，求这段钢材厂。 分析：根据题意可知钢材的体积相当于水槽内下降部分水的体积，即20*2

3、0*3=1200立方厘米，再根据横截面面积*长=体积求出这段钢材的长，即1200/80=15厘米。解：20*20*3/80=15厘米答：这段钢材的长是15厘米。练习1：有一个小金鱼缸，长4分米，宽2分米，水深2分米。把一块石头浸没在水中，水面上升了1分米。这块石头的体积是多少立方分米？ 4*2*1=8（立方分米）练习2：有一块棱长是4厘米的正方体铁块，浸没在一个长方体容器里的水中。取出铁后，水面下降了0.5厘米。这长方体容器的底面积是多少平方厘米？ 4*4*4/0.5=128（平方厘米）例题2：有一只装有水的长方体水槽，底面积为80平方厘米，水深8厘米。现将一个底面积为16平方厘米的长方体铁块

4、竖放在水中，仍有部分铁块露在外面，求现在水深多少厘米？分析：根据题意可知水槽中水的体积在放入铁块后没有变化，依然是80*8=640立方厘米，只有形状发生了变化，这时底面积为80-16=64平方厘米，根据体积=底面积*高，再求出这时的水深。解：80*8/（80-16）=10厘米答：这时水深是10厘米。练习3：在一个长5分米，宽4分米，高6分米的水箱中，水深4分米，现将一个底面边长20厘米，高10分米的长方体铁块，竖放在水中，这时水面距水箱上口多少分米？4*4*5/（5*4-2*2）=5（分米）6-5=1（分米）练习4：一个底面积为1200平方厘米深30厘米的水槽内，水深10厘米，现将一个棱长为2

5、0厘米的长方体铁块竖放在水中，这时铁块仍高于水面。这时水面高多少厘米？1200*10/(1200-20*20)=15(厘米)例题3：现有长方体容器a和水深24厘米的长方体容器b，要将容器b的水倒一部分给a，使两容器中水的高度相同，这时水深多少厘米？203040a2030b （单位：厘米）分析：根据题意得知，不管b容器中倒多少水到a容器中，a、b两容器中水的总体积不变，即30*24*20=14400立方厘米，因为要使两容器中的水深相等，所以我们把a、b两容器中的水看作一个整体，它的底面积为a容器的底面积40*30=1200平方厘米加上b容器的底面积30*20=600平方厘米，再根据底面积*高=体

6、积这一等量关系求出水深。解：30*24*20/（40*30+30*20）=8（厘米）答：这时水深8厘米。hba练习5：如图所示：a=32平方分米；b=8平方分米；h=5分米。现在要把a处的铁块溶到b处，使a、b两处同样高，这时b处比原来升高了多少分米？32*5/（32+8）=4（分米）练习6：甲、乙两个棱长分别为6分米和4分米的正方体水箱，其中甲箱内水深2分米，乙箱水深1分米。现将68立方分米的水分别倒入甲、乙两水箱，使水箱内水的深度相等，乙水箱内水面上升多少分米？（6*6*2+4*4*1+68）/（6*6+4*4）-1=2（分米）归纳总结：情形1、当物体浸没于容器中时，要根据物体的体积等于容

7、器内下降（升高）部分水的体积这一隐含条件来解题；情形2、当物体仍有部分露于水面时，要根据水的体积未变，只是底面积变了，且体积=底面积*高这一隐含条件来解题；情形3、要使得高相等，要记得把物质的体积看做一个整体，然后根据总体积未变，只是底面积变了，且体积=底面积*高这一隐含条件来解题。2、涂色问题例题4：一个正方体的表面涂满了红色，如下图切开，切开的小正方体中：（1） 三面涂色的有几个？（2） 两面涂色的有几个？（3） 一面涂色的有几个？（4） 六个面都没有涂色的有几个？分析：按题中的要求切，切成的小正方体一共有：3*3*3=27（个）（1） 三面都涂色的在大正方体的顶点处，共有8个；（2） 两

8、面涂色的在正方体的棱上共有1*12=12（个）（3） 一面涂色的在每个面的中间，共1*6=6（个）（4） 六个面都没有涂色的在大正方体的中间27-8-12-6=1（个）或（3-2）*（3-2）*（3-2）=1（个）练习7：把1立方分米的正方体木块表面涂上颜色，然后切成1立方厘米的小正方体，在这些小正方体中，六个面都没有涂色的有多少个？8*8*8=512（个）练习8：把一个棱长是6厘米的正方体六面都涂满颜色，然后切成1立方厘米的小正方体。这些小正方体中，三面都涂色的有几个？8个练习9：把若干个相同的小正方体堆成一个大的正方体，然后在大正方体的表面涂上颜色，已知两面被涂上颜色的有36个，那么这些小正方体一共有多少个？36/12=3（个） （3+2）*（3+2）*（3+2）=125（个）归纳总结：设把边长为a的正方体木块表面涂上颜色，然后切成边长为b的小正方体，那么（1） 三面都涂色的有8个；（2） 两面涂色的有（a/b-2）*12个；（3） 一面涂色的有（a/b-2）*（a/b-2）*6个；六个面都没有涂色的有（a/b-2）*（a/b-2）*（a/b-2）个。三、课内练习与训练习题1、在一个棱长是24厘米的正方体容器中注入水。有一根横截面是192平方厘米的长方形铁棒，浸没在水