九年级数学数形结合专题讲座

1、数形结合 探索定值一、数形结合，探索思路例1 已知抛物线y=x2+kx+1与x轴相交于两个不同的点a、b，顶点为c，且acb=90°，试求如何平移此抛物线使其acb=60°。 分析很多同学对这道题感到比较生疏，一是有的已知条件，如acb=90°意味着什么？怎样入手解？二是平移后使acb=60°，又意味着什么？ 不妨换个角度考虑问题，画图观察一下。草图如图所示，可看到由于抛物线的对称性，acb=90°就意味着acb是等腰直角三角形，就是说，斜边ab上的高cd等于斜边ab的一半，而ab的长等于这两点横坐标差的绝对值，cd的长则是顶点c纵坐标的绝对值

2、。于是可以列出方程，求得k的值：设a、b两点横坐标分别为x1、x2，则它们是方程x2+kx+1=0的两个相异的实数根，那么有于是ab=|x2-x1|=又设顶点c的坐标为(x0,y0)，应用顶点坐标公式，有y0=，cd=|y0|。那么条件cd=ab就是如下方程： |x1-x2|=|y0|，即 （k2-4>0）。 (k2-4)2-4(k2-4)=0， (k2-4)(k2-8)=0。 k2-4>0，k2-8=0。k=±2。 于是抛物线解析式为y=x2±2x+1。 这样通过观察图形和计算，不但弄清了acb=90°意味着什么和如何利用这个条件求出k值，同时也提示

3、我们用同样的方法去分析平移抛物线，使其acb=60°。画图分析可看到，抛物线向下平移，acb逐渐变小，当acb=60°时，由抛物线的对称性可知acb为等边三角形。因为等边三角形的高等于边长的倍，所以cd=ab，这就给我们提供了一个等量关系，利用这个关系列方程，可求出平移后抛物线解析式中的常数项。 设把抛物线y=x2±2x+1向下平称|l|个单位后，使acb=60°，则平移后抛物线的解析式为y=x2±2x+1+l。设a、b两点的横坐标分别为，c点纵坐标为，则按题意有| 又=±2，=1+l，因此=。=l-1。代入，得=|1-l|。平方，整

4、理得(1-l)(l+2)=0。因平移后抛物线仍保持同x轴有两个交点，所以|x1-x2|=0，即1-l0。可得l+2=0，即l=-2。于是可知，把已知抛物线向下平移2个单位，就能使acb=60°。解略。 例2 已知平面直角坐标系内两点a(-2,0),b(4,0),点p在直线y=x+上，且abp为直角三角形，求：（1）点p的坐标；（2）经p，a，b三点且对称轴平行于y轴的抛物线是否存在？若存在，求出抛物线的解析式。 分析：本例给出了直角三角形的一条边，求这条边所对的顶点坐标，这条边即可是直角边又可是斜边，a，b，p均可为直角顶点，a，b为直角时，对称轴平行于y轴的抛物线不存在。 解：（1

5、）分三种情况： 若点a为直角顶点，过a作ap1x轴交直线y=x+于点p1，设p1(-2,y)， 则y=(-2)+=, p1(-2,). 若点b为直角顶点，过b作p2bx轴交直线y=x+于点p2，设p2(4,y),则y=, p2(4,). 若点p(x,y)为直角顶点，过p作pqx轴于q(x,0),又ab中点c(1,0),连结pc=ab=3。 得：， 或 ，经检验均是原方程的根。 p3(-), p4(1,3). 综上p点坐标为(-2,),(4,),(-),(1,3). （2）设过a、b、p三点的抛物线的解析式为：y=a(x+2)(x-4)，将p3，p4代入， 得a=-或a=-, y=-+ 或 y=

6、-, 过a，b，p1或过a，b，p2三点，对称轴平行于y轴的抛物线不存在，要数形结合，善于联想，把握二次函数图象的对称轴一定平行于y轴的特征模型。 二、探索定值问题例3 （1）已知在四边形abcd中， b=d=90°，m为ac上任一点，且mpbc，mqad，求证：是一个定值。 分析：从动点的临界位置（特殊点）探求定值。 m运动到a（或c）时，值为1。 m到中点时=1，猜到后证明。 略证：=1。 例4、已知过定o的直径ab的两端及上任一点e作o的三条切线ad，bc和cd。它们分别交于d，c点，求证ad·bc是定值。 分析：从动点的特殊位置，图形的特殊形状等探求定值。 e到临界

7、位置a（b）不存在，找特殊中点则出现两个正方形，边长为r，猜想ad·bc=r2，简证：连接od、oe、oc，应证明odoc，oecd， rtodertcoe ad·bc=de·ce=oe2=r2。 例5、如图，半径为a的半圆内有两正方形abcd，befg，点d、f在半圆周上，点c，g在半圆内。 (1)试证明截得的这两个正方形的面积和为定值； (2)判别do与of的位置关系。 分析：从图形的特殊位置探索定值。 不变的是半径a，可变的是两个正方形的边长，当两正方形边长相等时是特殊位置，s1+s2=a2+a2=a2. 由特殊位置可以得到odof. 证明rtaodrtef

8、o (hl) 证明：(1)设正方形abcd和befg的边长分别为x, y, oa=, oe=, 又oa+oe=ab+be=x+y, +=x+y -x=-+y a2-x2-2x+x2=a2-y2-2y+y2 x=yx2(a2-x2)=y2(a2-y2) a2x2-x4-a2y2+y4=0 (x2-y2)(a2-x2-y2)=0 x2=y2或x2+y2=a2, x2=y2时，有sabcd+sbefg =a2+a2=a2. x2+y2=a2时，也有 sabcd+sbefg=a2. 截得的这两个正方形的面积和为定值 (2) x2+y2=a2， y2=a2-x2=oa2=ef2, oa=ef，又odof， rtaodrtefo， aodeof90°， odof。 一般情况下，解决定值问题的关键在于探求定值，一旦定值被探求出来，问题就转化为我们熟悉的几何证明题，但定值有时又只能分类讨论。 例6若三角形的一边与其对角为定值，由另两角的顶点作对边的垂线，则两垂足之间的距离为定值，试证明之。 （1）设a=，bc=a, 0°<<90°， beac，cdab，d、e为垂足，连de， d，b，c，e以bc为直径的圆上， 1=acb， 又a=a， adeacb， =cos, de=a·cos. （2）=