空间向量的正交分解及坐标表示

1、3.1.4-5 空间向量的正交空间向量的正交分解及其坐标运算分解及其坐标运算一、空间向量的坐标分解一、空间向量的坐标分解 给定一个空间坐标系和向量给定一个空间坐标系和向量 ,且设且设 为空间两两垂直的为空间两两垂直的向量，向量，p ,ij k xyzopkijpq,zkoq实数存在所确定的平面上在,yxji存在实数所确定的平面上在jyi xoq使得kzoqop使得kzjyi xkzoqop由平面向量基本定理有由平面向量基本定理有使得：使得：二、空间向量基本定理：二、空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组任一向量，存在有序实数组cb

2、a,pzyx,czbyaxp.,都叫基向量称为空间的一个基底cbacba三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系 单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一个基底的如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个，则这个基底叫做单位正交基底，常用基底叫做单位正交基底，常用 i , j , k 表示。表示。 空间直角坐标系：空间直角坐标系：在空间选定一点在空间选定一点o和一和一个单位正交基底个单位正交基底 i、j、k 。以点。以点o为原点，为原点，分别以分别以i、j、k的正方向建立三条数轴：的正方向建立三条数轴：x轴、轴、y轴、轴、z轴，它们都叫做坐标轴轴，它们都

3、叫做坐标轴.这样就建立了这样就建立了一个空间直角坐标系一个空间直角坐标系o-xyz 点点o叫做原点，向量叫做原点，向量i、j、k都叫做坐标向量都叫做坐标向量.通通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。 在空间直角坐标系在空间直角坐标系o x y z 中，对空中，对空间任一点间任一点a,对应一个向量对应一个向量 ,于是存在唯于是存在唯一的有序实数组一的有序实数组 x, y, z,使使oa oaxiy jzk 在单位正交基底在单位正交基底 中与向量中与向量 对应的有序实数组对应的有序实数组(x,y,z)，叫做点，叫做点a在此空在此空间直角坐标系中的坐标，记作间直角坐标

4、系中的坐标，记作a(x,y,z)，其中，其中x叫做点叫做点a的横坐标，的横坐标，y叫做点叫做点a的纵坐标，的纵坐标，z叫做点叫做点a的竖坐标的竖坐标.,i j k oa xyzoa(x,y,z)ijka四、空间向量的坐标表示四、空间向量的坐标表示例题讲解例题讲解五、空间向量运算的坐标表示五、空间向量运算的坐标表示. .),(),(321321bbbbaaaa设设则则);,(332211babababa);,(332211babababa);)(,(321raaaa;332211babababa)(,/332211rbabababa. 0332211babababa321.aaaaaa22223

5、2221322221332211aaabababacosbbbba ，设设a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2), 则则ab=ob-oa=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标点的坐标. .212212212)zz(yy)xx(d）（ababxyzop1pabc，的垂线，垂足为做面过1xoypp.,xoy1bayxp垂足分别为轴的垂线，轴，作分别中，过在面ocppoabpobap111z

6、,y,x则空间任意点空间任意点p p的坐标的确定的坐标的确定例例2如图，在正方体中，如图，在正方体中，1111abcda bc d11b e11114a bd ff1e1c1b1a1d1dabcyzxo解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，如图建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则oxyz13(1,1,0) ,1,1 ,4be11(0,0,0) ,0, 1 .4，df1311,1(1,1,0)0,1 ,44be 1df1be，求与所成的角的余弦值。，求与所成的角的余弦值。f1e1c1b1a1d1dabcxyzo1110, 1(0,0,0)0, 1 .44 ，df111717|, |.44 bedf16151141410011dfbe171541741716/15,cos111111dfbedfbedfbe例例2如图，在正方体中，如图，在正方体中，1111abcda bc d11b e11114a bd f1df1be，求与所成的角的余弦值。