有限元 整体分析

1、 根据虚功原理，有根据虚功原理，有 则则 建立了单元的结点力与结点位移之间的关系，建立了单元的结点力与结点位移之间的关系， 称为单称为单元刚度矩阵。它是元刚度矩阵。它是6 6* *6 6矩阵，其元素表示该单元的各结点沿坐标矩阵，其元素表示该单元的各结点沿坐标方向发生单位位移时引起的结点力，它决定于该单元的形状、方向发生单位位移时引起的结点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。坐标轴的平行移动而改变。 eeeKF eK3-3 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 eTeyDBtdxdBF

2、yDBtdxdBKTe 由于由于DD中元素是常量，而在线性位移模式下，中元素是常量，而在线性位移模式下，BB中的元中的元素也是常量，且素也是常量，且 因此因此 可以进一步得出平面应力问题和平面应变问题中的单元刚可以进一步得出平面应力问题和平面应变问题中的单元刚度矩阵。度矩阵。Adxdy eTeDBtABF DBtABKTe eTeyDBtdxdBF3-4 单元刚度矩阵的物理意义及其性质单元刚度矩阵的物理意义及其性质 已经求出了下列关系已经求出了下列关系 t ABT t ABDBKTe e eF D B BDS ( (6 6) )( (3 3) )( (3 3) )( (6 63 3) )( (

3、3 33 3) )( (3 36 6) )( (3 36 6) )( (6 66 6) ) 结点力和结点位移的关系：结点力和结点位移的关系：( (以简单平面桁架为例以简单平面桁架为例) ) 平面问题中，离散化的单元组合体极为相似，单元组合体平面问题中，离散化的单元组合体极为相似，单元组合体在结点载荷的作用下，结点对单元、单元对结点都有作用力与在结点载荷的作用下，结点对单元、单元对结点都有作用力与反作用力存在，大小相等方向相反，统称为结点力。反作用力存在，大小相等方向相反，统称为结点力。 结点力和结点位移的关系前面已经求出：结点力和结点位移的关系前面已经求出：ADBPCAP eeeKF 单元刚度

4、矩阵的物理意义：单元刚度矩阵的物理意义： 将将 写成分块矩阵写成分块矩阵 写成普通方程写成普通方程 其中其中 表示结点表示结点S(S=i,j,m)S(S=i,j,m)产生单位位移时，在结点产生单位位移时，在结点r(r=i,j,m)r(r=i,j,m)上所需要施加的结点力的大小。上所需要施加的结点力的大小。mjimmmjmijmjjjiimijiimji KKKKKKKKKFFF K K KF K K KF K K KFmmmjmjimiimjmjjjijijmimijijiiii eF rsK 将结点力列矩阵将结点力列矩阵 与结点位移列矩阵与结点位移列矩阵 均展开成均展开成(6(6* *1)1

5、)阶列矩阵，单元刚度矩阵相应地展开成阶列矩阵，单元刚度矩阵相应地展开成(6(6* *6)6)阶方阵：阶方阵： 元素元素K K的脚码，标有的脚码，标有“-”“-”的表示水平方向，没有标的表示水平方向，没有标“-”“-”的表示垂直方向。的表示垂直方向。 eF emmjjiimmmmmjjmmiimmmmmjmjmimimjmmjjjjjjiijmjmjjjjjijijimmiijjiiiiimimijijiiiiimmjjiivuvuvu KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKVUVUVU单元刚度矩阵的物理意义：单元刚度矩阵的物理意义： 单元刚度矩阵的物理意义：单

6、元刚度矩阵的物理意义： 单元刚度矩阵的每一个元素都有明显的物理意义。单元刚度矩阵的每一个元素都有明显的物理意义。 表示结点表示结点S(S=i,j,m)S(S=i,j,m)在水平方向、垂直方向产在水平方向、垂直方向产生单位位移时，在结点生单位位移时，在结点r(r=i,j,m)r(r=i,j,m)上分别所要施加的水平结点上分别所要施加的水平结点力和垂直结点力的大小。例如力和垂直结点力的大小。例如 表示结点表示结点j j在垂直方向产生在垂直方向产生单位位移时，在结点单位位移时，在结点i i所需要施加的水平结点力的大小。所需要施加的水平结点力的大小。mj,i,Sssrssrrm)j,i,)(rvKu(

7、K Umj,i,Ssrsssrrm)j,i,)(rvKu(K Vrssrsrsr，K，K，KKjiK 单元刚度矩阵的性质：单元刚度矩阵的性质： 1)1)对称性：对称性： 是对称矩阵是对称矩阵 2)2)奇异性：奇异性： 是奇异矩阵，是奇异矩阵， 单元刚度矩阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数单元刚度矩阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数行的对应元素之和也为零。由此可见，单元刚度矩阵各列元素行的对应元素之和也为零。由此可见，单元刚度矩阵各列元素的总和为零。由对称性可知，各行元素的总和也为零。的总和为零。由对称性可知，各行元素的总和也为零。 eK eK0Ke 单元刚度矩阵的性质：单元刚度矩阵

8、的性质： 例题：求下图所示单元的刚度矩阵，设例题：求下图所示单元的刚度矩阵，设yxaai(a,0)m(0,0)j(0,a)1 1、求、求BB2 2、求、求DD3 3、求、求SS4 4、求、求 0 eK 110110101000010001a1B 5.000010001 ED 5.05.005.05.00101000010001aES 5.15.15.5.05.5.105.5.11010005.5.05.5.05.5.05.5.00100012EtKe3-5 整体分析整体分析 图示结构的网格共有图示结构的网格共有四个单元和六个结点。在四个单元和六个结点。在结点结点1 1、4 4、6 6共有四个支

9、共有四个支杆支承。结构的载荷已经杆支承。结构的载荷已经转移为结点载荷。转移为结点载荷。 对单元的分析得出单元刚度矩阵，下面，将各单元组合成对单元的分析得出单元刚度矩阵，下面，将各单元组合成结构，进行整体分析。结构，进行整体分析。 将各单元组合成结构，进行整体分析。将各单元组合成结构，进行整体分析。整体分析分整体分析分4 4个步骤个步骤1 1、建立整体刚度矩阵；、建立整体刚度矩阵；2 2、根据支承条件修改整体刚度矩阵；、根据支承条件修改整体刚度矩阵；3 3、解方程组，求出结点位移；、解方程组，求出结点位移；( (消去法与叠加法消去法与叠加法) )4 4、根据结点位移求出应力。、根据结点位移求出应

10、力。 不需作坐标转换不需作坐标转换 ； 结构刚度矩阵的形成与杆系相同；结构刚度矩阵的形成与杆系相同； KF 1 1、建立整体刚度矩阵、建立整体刚度矩阵( (也叫作结构刚度矩阵也叫作结构刚度矩阵) ) 上图中的结构有六个结点，共有上图中的结构有六个结点，共有1212个结点位移分量和个结点位移分量和1212个个结点力分量。由结构的结点位移向量求结构的结点力向量时，结点力分量。由结构的结点位移向量求结构的结点力向量时，转换关系为：转换关系为： 分块形式为：分块形式为： 其中子向量其中子向量 和和 都是二阶向量，子矩阵都是二阶向量，子矩阵 是二行二列矩阵。整体刚度矩阵是二行二列矩阵。整体刚度矩阵KK是

11、是1212* *1212阶矩阵。阶矩阵。 KF 654321666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211654321KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKFFFFFF i iFijK 2 2、根据支承条件修改整体刚度矩阵。、根据支承条件修改整体刚度矩阵。 建立整体刚度矩阵时，每个结点的位移当作未知量看待，没有建立整体刚度矩阵时，每个结点的位移当作未知量看待，没有考虑具体的支承情况，因此进行整体分析时还要针对支承条件加以考虑具体的支承情况，因此进行整体分析时还要针

12、对支承条件加以处理。处理。 在上图的结构中，支承条件共有四个，即在结点在上图的结构中，支承条件共有四个，即在结点1 1、4 4、6 6的四的四个支杆处相应位移已知为零：个支杆处相应位移已知为零： 建立结点平衡方程时，应根据上述边界条件进行处理。建立结点平衡方程时，应根据上述边界条件进行处理。 3 3、解方程组，求出结点位移。、解方程组，求出结点位移。 通常采用消元法和迭代法两种方法。通常采用消元法和迭代法两种方法。 4 4、根据结点位移求出应力。、根据结点位移求出应力。00006441vvuu，3-6 整体刚度矩阵的形式整体刚度矩阵的形式 整体刚度矩阵整体刚度矩阵 是单元刚度矩阵是单元刚度矩阵

13、 的集成。的集成。 1 1、刚度集成法的物理概念：、刚度集成法的物理概念： 刚度矩阵中的元素是刚度系数，即由单位结点位移引起的刚度矩阵中的元素是刚度系数，即由单位结点位移引起的结点力。结点力。 由由3-53-5节的例题可见，与结点节的例题可见，与结点2 2和和3 3相关的单元有单元相关的单元有单元和和，当结点，当结点3 3发生单位位移时，相关单元发生单位位移时，相关单元和和同时在结点同时在结点2 2引引起结点力，将相关单元在结点起结点力，将相关单元在结点2 2的结点力相加，就得出结构在的结点力相加，就得出结构在结点结点2 2的结点力。由此看出，结构的刚度系数是相关单元的刚的结点力。由此看出，结

14、构的刚度系数是相关单元的刚度系数的集成，结构刚度矩阵中的子块是相关单元的对应子块度系数的集成，结构刚度矩阵中的子块是相关单元的对应子块的集成。的集成。 ek K 2 2、刚度矩阵的集成规则：、刚度矩阵的集成规则： 先对每个单元求出单元刚度矩阵先对每个单元求出单元刚度矩阵 ，然后将其中的每个，然后将其中的每个子块子块 送到结构刚度矩阵中的对应位置上去，进行迭加之送到结构刚度矩阵中的对应位置上去，进行迭加之后即得出结构刚度矩阵后即得出结构刚度矩阵KK的子块，从而得出结构刚度矩阵的子块，从而得出结构刚度矩阵KK。 关键是如何找出关键是如何找出 中的子块在中的子块在KK中的对应位置。这需中的对应位置。

15、这需要了解单元中的结点编码与结构中的结点编码之间的对应关系。要了解单元中的结点编码与结构中的结点编码之间的对应关系。 ek ijk ek 2 2、刚度矩阵的集成规则：、刚度矩阵的集成规则：23145aaaa61j3m2m1m4i3i1i2i4j3j2j4m 结构中的结点编码称为结构中的结点编码称为结点的总码，各个单元的三结点的总码，各个单元的三个结点又按逆时针方向编为个结点又按逆时针方向编为i,j,m,i,j,m,称为结点的局部码。称为结点的局部码。 单元刚度矩阵中的子块单元刚度矩阵中的子块是按结点的局部码排列的，是按结点的局部码排列的，而结构刚度矩阵中的子块是而结构刚度矩阵中的子块是按结点的

16、总码排列的。因此，按结点的总码排列的。因此，在单元刚度矩阵中，把结点在单元刚度矩阵中，把结点的局部码换成总码，并把其的局部码换成总码，并把其中的子块按照总码次序重新中的子块按照总码次序重新排列。排列。 以单元以单元为例，局部码为例，局部码i,j,mi,j,m对应于总码对应于总码5,2,45,2,4，因此，因此 中的子块按照总码重新排列后，得出扩大矩阵中的子块按照总码重新排列后，得出扩大矩阵 为：为： (2)k (2)K 用同样的方法可得出其他单元的扩大矩阵用同样的方法可得出其他单元的扩大矩阵 将各单元的扩大矩阵迭加，即得出结构刚度矩阵将各单元的扩大矩阵迭加，即得出结构刚度矩阵KK： 集成规则包

17、含搬家和迭加两个环节：集成规则包含搬家和迭加两个环节： 1 1、将单元刚度矩阵、将单元刚度矩阵 中的子块搬家，得出单元的扩大中的子块搬家，得出单元的扩大刚度矩阵刚度矩阵 。 2 2、将各单元的扩大刚度矩阵、将各单元的扩大刚度矩阵 迭加，得出结构刚度迭加，得出结构刚度矩阵矩阵KK。 (4)(3)(1)K、K、K (e)(4)(3)(2)(1)KKKKKK ek eK eK)1(jjK)2(mmK)2(miK)1(jmK)1(jiK)2(jmK)4(iiK)4(miK)4(jiK2m1j2m4i126543216543局部码总码321i ,j ,m431j ,m,i432m,j ,i321ijm1

18、j431jmi432mji4i)1(mmK)2(jjK)3(iiK)1(miK)3(imK)1(iiK)3(mmK)4(jjK)2(jiK)3(ijK)3(mjK)4(jmK)2(iiK)3(jjK)4(mmKQ 整体刚度矩阵的性质整体刚度矩阵的性质 整体刚度矩阵每一列元素的物理意义整体刚度矩阵每一列元素的物理意义 若弹性体上某一节点产生单位位移，其余节点上的位若弹性体上某一节点产生单位位移，其余节点上的位移全部为零，则该节点对应的列元素等于载荷列阵。移全部为零，则该节点对应的列元素等于载荷列阵。 刚度矩阵的主对角元素刚度矩阵的主对角元素 总是正的。总是正的。 刚度矩阵具有对称性。刚度矩阵具有

19、对称性。 刚度矩阵是带状稀疏矩阵，它含有大量的零元素。刚度矩阵是带状稀疏矩阵，它含有大量的零元素。 若每个节点有两个自由度，则整体刚度矩阵的半带宽若每个节点有两个自由度，则整体刚度矩阵的半带宽B为为 B=2(D+1) 其中，其中， D 各单元中节点编号间的最大差值。各单元中节点编号间的最大差值。 整体刚度矩阵是奇异阵，在考虑了边界条件后它是正定矩整体刚度矩阵是奇异阵，在考虑了边界条件后它是正定矩阵。阵。11,22,33,2 ,2nnk kkk3-7 整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵的特点 在有限元法中，整体刚度矩阵的阶数通常是很高的，在在有限元法中，整体刚度矩阵的阶数通常是很高的，在解算时常遇到

20、矩阵阶数高和存贮容量有限的矛盾。找到整体解算时常遇到矩阵阶数高和存贮容量有限的矛盾。找到整体刚度矩阵的特性达到节省存贮容量的途径。刚度矩阵的特性达到节省存贮容量的途径。 1 1、对称性。、对称性。 只存贮矩阵的上三角部分，节省近一半的存贮容量。只存贮矩阵的上三角部分，节省近一半的存贮容量。 2 2、稀疏性。、稀疏性。 矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。 结点结点5 5只与周围的六个结点只与周围的六个结点(2(2、3 3、4 4、6 6、8 8、9)9)用三角形单元相连，它们用三角形单元相连，它们是是5 5的相关结点。只有当这七个相关

21、结的相关结点。只有当这七个相关结点产生位移时，才使该结点产生结点力，点产生位移时，才使该结点产生结点力，其余结点发生位移时并不在该结点处引其余结点发生位移时并不在该结点处引起结点力。因此，在矩阵起结点力。因此，在矩阵KK中，第中，第5 5行行的非零子块只有七个的非零子块只有七个( (即与相关结点对即与相关结点对应的七个子块应的七个子块) )。 一般，一个结点的相关结点不会超过九个，如果网格中有一般，一个结点的相关结点不会超过九个，如果网格中有200200个结点，则一行中非零子块的个数与该行的子块总数相比不个结点，则一行中非零子块的个数与该行的子块总数相比不大于大于9/2009/200，即在，即在5%5%以下，如果网格的结点个数越多，则刚度矩以下，如果网格的结点个数越多，则刚度矩阵的稀疏性就越突出。阵的稀疏性就越突出。 利用矩阵利用矩阵KK的稀疏性，可设法只