材料力学典型习题解析

1、第2章典型习题解析1.一木柱受力如图所示，柱的横截面为边长20cm的正方形,材料服从胡克定律,其弹性模量e=10gpa,如不计柱的自重,试求:(1) 作轴力图;(2)各段柱横截面上的应力;(3)各段柱的纵向线应变;(4)柱的总变形。解: (1)轴力图如图(b)所示。(2) ac段应力: mpacb段应力: mpaerror! reference source not found.(3)ac段线应变: cb段线应变: (4)柱的总变形:1.35×10m2.架中,设拉杆de的长为2m,横截面直径为15 mm,e210gpa.若adb和aec两杆可以看作是刚体,20kn,试求p点作用点a的

2、垂直位移和c点的水平位移。 解: (1)求支座反力 mm由bda杆的平衡条件: kn m =0.1269 m在小变形的条件下,a,e,c三点之间距离不变:mmc点水平位移mm3. 图示桁架, 杆比设计原长短了,使杆端与节点强制装配在一起,试计算各杆的轴力及节点的位移,设各杆的为已知。 解: 所以,4.汽车离合器踏板如图所示。已知踏板受到压力f=400n作用，拉杆1的直径d =9mm,杠杆臂长l=330mm，=56mm,拉杆的许用应力=50mpa,校核拉杆1的强度。解 由平衡条件可得，拉杆1的轴力为n=2357n拉杆1的工作应力为 工作应力小于许用应力，故拉杆1满足强度要求。第3章典型习题解析1

3、.夹剪的尺寸如图所示,销子c的直径d=0.5cm,作用力p=200n,在剪直径与销子直径相同的铜丝a时,若a=2cm,b=15cm,试求钢丝与销子横截面上的平均剪切力。解: nmpawmpa2.一个组合杆，由直径25mm的钢件套与外径为50mm，内径为25mm的钢管组成，两面三刀端为10mm的销钉连接在一起，如图所示。插入销钉后温度升高50，试求销钉中产生的剪应力。已知：钢e1=105gpa,1=17×10-6/;铜e2=210gpa,2=11×10-6/。解：设钢杆所受的拉力为n，铜管所受的压力为n，静力平衡条件： 得到 变形协调条件：升温后，因为，杆1受拉，杆2受压销钉

4、承受剪力n销钉的剪应力mp a3.图（a）所示为一钢板条，用九只直径均为d的铆钉固定在立柱上。p力已知，l=8a(a为铆钉间距)。试求铆钉内的最大剪应力。假设：（1）若作用力通过铆钉群截面的形心，则各铆钉的受力相等。（2）若作用一力偶，则钢板条有绕铆钉群截面形心c转动的趋势，于是任一铆钉的受力大小与其离形心c的距离成正比，而力的方向与该铆钉至形心c的连线相垂直。 解: 将a端外力p向铆钉群截面的形心c处简化，得到一个向下的力p和一个顺时针力偶m（m=）。力p在各铆钉内引起相等的剪力，其值皆为。由力矩平衡：联立解得 铆钉1最危险，其总剪力为铆钉内的剪应力为 第4章典型习题解析1.有一矩形截面的钢

5、件,其横截面尺寸为100mm×50mm,长度=2m,在杆的两端作用着一支力偶矩.若材料的=100mpa,g=80mpa,杆件的许可扭转角为,求作用于杆件两端的力偶矩的许可值。解: 因为。按强度条件计算:n·m按刚度条件计算: 比较二者,取t4kn·m2.t字形薄壁截面杆长为=2m,材料的g=80gpa,受纯扭矩t=200n·m,的作用,试求最大剪应力及扭转角。解: m4m3 n·mmparad=3.58°3机车变速箱第轴如图所示，轴所传递的功率为p=5.5kw,转速n=200r/min,材料为45钢，=40mpa。试按强度条件初步设计

6、轴的直径。解: 轴所传递的扭矩为n·m =263n·m由圆轴扭转的强度条件 可得轴的直径为 =32.2 mm取轴径为d=33mm第5章典型习题解析1.求图所示半圆形的 及形心位置解：由对称性， ， 。现取平行于 轴的狭长条作为微面积 所以2.求如图所示圆形截面的 。解：如图所示取da，根据定义，由于轴对称性，则有 由公式 对于空心圆截面，外径为 ，内径为 ，则 3.求如图所示图形的 及 。解：取平行于 轴的狭长矩形，由于 ，其中宽度 随 变化，则 由，如图4.由两个8号槽钢和两块 cm2 钢板组成的截面，如图，求 ， 。解：（1）计算 根据平行移轴公式，求得每一钢板对 轴的

7、惯性矩为cm4从型钢表中查得每一槽钢对 轴的惯性矩为cm4则该组合截面对 轴的惯性矩为 cm4（2）计算 每一钢板对 轴的惯性矩为 cm4从型钢表中查得，每一槽钢的形心到外侧边缘的距离为1.43cm，则该形心 与 轴的距离为 cm。又从型钢表中查得槽钢对其形心轴z的惯性矩 及面积 a 分别为 cm4 ， cm2 。故由平行轴公式得每一槽钢对 轴的惯性矩为cm4最终可得到整个组合截面对 轴的惯性矩为5.确定图形的形心主惯性轴位置，并计算形心主惯性矩。解：（1）首先确定图形的形心。利用平行移轴公式分别求出各矩形对 轴和 轴的惯性矩和惯性积矩形 i 矩形 ： cm4 cm4矩形 ： cm4 cm4

8、（y a,b与分图形i均反号）整个图形对 轴和 轴的惯性矩和惯性积为 cm4 cm4 cm4（2）将求得的 ， ， 代入式得则或的两个值分别确定了形心主惯性轴 和 的位置，则 cm4 cm4第6章典型习题解析1.简支梁受力如图a所示。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：（1）求支座反力由平衡方程和分别求得，利用平衡方程对所求反力进行校核。（2）建立剪力方程和弯矩方程以梁的左端为坐标原点，建立坐标，如图a所示。因在c处分布载荷的集度发生变化，故分二段建立剪力方程和弯矩方程。ac段： cb段： 3求控制截面内力，绘、图图：ac段内，剪力方程是的一次函数，剪力图为斜直线，故求出两个

9、端截面的剪力值，分别以a、c标在坐标中，连接a、c的直线即为该段的剪力图。cb段内，剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值，例如，连一水平线即为该段剪力图。梁ab的剪力图如图b所示。图：ac段内，弯矩方程是的二次函数，表明弯矩图为二次曲线，求出两个端截面的弯矩，分别以a、c标在坐标中。由剪力图知在d点处，该处弯矩取得极值。令剪力方程，解得，求得，以d点标在坐标中。据a、d 、c三点绘出该段的弯矩图。cb段内，弯矩方程是的一次函数，分别求出两个端点的弯矩，以c、b标在坐标中，并连成直线。ab梁的图如图c所示。2.梁的受力如图a示，利用微分关系作梁的、图。解：（1）求支座反力由平衡条件和分别求出

10、，利用平衡条件进行校核。（2）分段确定曲线形状由于载荷在a、d处不连续，应将梁分为三段绘内力图。根据微分关系、和，ca和ad段内，剪力图为水平线，弯矩图为斜直线；db段内，且为负值，剪力 为斜直线，图为向上凸的抛物线。（3）求控制截面的内力值，绘、图图：，据此可作出ca和ad两段图的水平线。，据此作出db段图的斜直线。图：，据此可以作出ca段弯矩图的斜直线。a支座的约束反力只会使截面a左右两侧剪力发生突变，不改变两侧的弯矩值，故，据此可作出ad段弯矩图的斜直线。d处的集中力偶会使d截面左右两侧的弯矩发生突变，故需求出，；由db段的剪力图知在e处，该处弯矩为极值。因，根据be段的平衡条件，知be

11、段的长度为0.5m，于是求得。根据上述三个截面的弯矩值可作出db段的图。对作出的、图要利用微分关系和突变规律、端点规律作进一步的校核。如db段内的均布载荷为负值，该段图的斜率应为负；ca段的为负值，该段图的斜率应为负；ad段的为正值，该段图的斜率应为正；支座a处剪力图应发生突变，突变值应为10kn；d处有集中力偶，d截面左右两侧的弯矩应发生突变，而且突变值应为3.6kn×m；支座b和自由端c处的弯矩应为零2.梁受力如图a所示，试绘出其内力图。解：（1）该梁为一次静不定。将中间支座c去掉，以简支梁作为静定基（图b）。在静定基上作用均布载荷和多余约束力，成为原静不定梁的相当系统（图c）。

12、（2）相当系统在点的挠度应为零，即。根据此变形条件可写出求解静不定梁的补充方程式：求得 （3）利用静力平衡条件求得其他支座反力（图d）画出静不定梁的、图，如图e、f所示。静不定梁的，而简支梁的，前者仅为后者的。3.图所示简支梁用其56a号工字钢制成，试求此梁的最大切应力和同一截面腹板部分在与翼板交界处的切应力。 解：作剪力图如图(c).由图可知，梁的最大剪力出现在ac段，其值为利用型钢表查得，56a号工字钢,最大切应力在中性轴上。由此得以下求该横截面上腹板与翼板交界处c的切应力。此时是翼板面积对中性轴的面积矩，由横截面尺寸可计算得 由型钢表查得,腹板与翼板交界处的切应力为4.长为的矩形截面悬臂

13、梁，在自由端作用一集中力f，已知b120mm，h180mm、2m，f1.6kn，试求b截面上a、b、c各点的正应力。解：b截面的弯矩为a点的正应力 b点在中性轴上,其正应力.c点的正应力为 （压）5.图示为一工字形钢梁，受力如图示，钢的容许弯曲应力为，容许切应力为。试选择工字钢的型号。 kn（b）（c）kn.m解：首先将梁简化为简支梁,作出剪力和弯矩图如(b)(c)，先按正应力强度条件选择截面,因梁的最大弯矩为根据,可计算梁截面的截面模量，应为由型钢表查得最接近这一要求的是56b号工字钢，其截面模量为由于在规定材料的容许应力时，为材料留有一定的安全裕度，所以只要超出容许应力不是很大(一般5%在

14、之内),选用小一号的截面是充许的，这里56b号工字钢截面模量比所需要的相差不到1%，相应地，最大正应力也将不会超出容许应力1%，因此可以采用。进行切应力强度校核:梁的最大剪力为利用型钢表查得，56b号工字钢的,最大切应力为显然，这个最大切应力小于容许切应力，切应力强度条件满足。实际上，前面已经讲到，梁的强度多由正应力控制，故在按正应力强度条件选好截面后，在一般情况下不需要再按切应力进行强度校核。6.t字形截面铸铁梁受力如图所示，已知材料的拉、压容许应力分别为，。已经给出了截面的部分尺寸，试按合理截面的要求确定尺寸，并按所确定的截面尺寸计算梁的容许荷载。解：为了达到合理截面要求，必须使同一横截面

15、上的最大拉应力和最大压应力之比等于相应的拉、压容许应力之比，这样当荷载增大时，截面上的最大拉应力和最大压应力将同时达到容许应力，受拉区和受压区的材料可以同样程度地发挥潜力。根据给定条件可知，所以同一截面上应有由图(c).由于正应力在横截面上按直线分布，由几何关系可确定中性轴的位置为由于中性轴是通过形心的，根据形心计算公式，可建立与截面几何尺寸关系式为将代入上式可解得。下面确定梁的容许荷载：首先计算截面惯性矩,由于t形截面可划分为两个矩形，由几何关系可求得两矩形形心相对于中性轴位置如图(c),利用平行移轴定理可解出最大弯矩出现在跨中，即最大拉应力为 根据强度条件故有可解得故按拉应力强度条件可确定

16、梁的容许荷载为85kn，由于梁的截面尺寸是按最大拉应力和最大压应力同时达到相应容许应力的条件确定的，所以按压应力强度条件也会求得同样的容许荷载。由于与上题同样的考虑，对于所确定的容许荷载，不需要再进行切应力强度校核。7.长度为250mm，截面尺寸为h×b=o.8mm×25mm的薄钢尺，由于两端外力偶的作用而弯成中心角为的圆弧,已知弹性模量e=2.1×105mpa。试求钢尺横截面上的最大正应力。解：8.厚度为h=1.5mm的钢带,卷成直径为d=3m的圆环,求此时钢带横截面上的最大正应力。已知钢的弹性模量e=2.1×l05mpa。解：因为 所以 9.直径为d

17、的钢丝，其名义流动极限为。现在其两端施加外力偶使弯成直径为d的圆弧。试求当钢丝横截面上的最大正应力等于时d与d的关系式。并据此分析为何钢丝绳要用许多高强度的细钢丝组成。解：所以 由上可见,细钢丝强度越大,e越大,d越大,抗弯刚度大.10.图示一由1 6号工字钢制成的简支梁，其上作用着集中荷载p,在截面c-c处梁的下边缘上,用标距s=20mm的应变计量得纵向伸长s=0.0o8mm。已知梁的跨长l=1.5m,a=1m，弹性模量e=2.1×105mpa试求p力的大小。abpacc解：因 c截面的弯矩 查表得16号工的,代入后得 第7章典型习题解析1.如图为镗刀在工件上镗孔的简化图保障镗孔精

18、度，镗刀杆的弯曲变形不能过大 设径向切削力f=200n，镗刀杆直径d=10mm，外伸长度为l=50mm。材料的弹性模量为e=210gpa。求镗刀头的截面b的转角和挠度解：（1）列弯矩方程 m（x）=（2）列挠曲线近似微分方程并积分：yfxbaxl积分得： （3）确定积分常数固定端处的边界条件为： 得：c=0,d=0(4)确定转角方程和挠曲线方程 将c=0,d=0带入式得梁的转角方程与挠曲线方程 （5）求b截面的转角和挠度以x=l带入式得 以上两式中令f=200n，e=210gpa，l=50mm，得出： 2.图示等截面悬臂梁ab，在自由端作用一集中力f，梁的弯曲刚度为ei，试求梁的挠曲线方程和转

19、角方程，并确定其最大挠度ymax和最大转角max。m(x)abxfeiylx（a）lx（b）fs(x)f解：（1）列出梁的弯矩方程建立坐标系如图a所示，取x处横截面右边一段梁作为脱离体（图b），弯矩方程为： （a）（2）建立梁的挠曲线近似微分方程由式（74）得： （b）（3）对微分方程二次积分积分一次，得： （c）再积分一次，得： （d）（4）利用梁的边界条件确定积分常数在梁的固定端，横截面的转角和挠度都等于零，即：时，代入式（c）、（d），求得c=0，d=0。（5）给出转角方程和挠曲线方程 （e） （f）（6）求最大挠度和最大转角根据梁的受力情况和边界条件，可知此梁的最大挠度和最大转角都在自

20、由端即x=l处。将x=l代入（e）、（f）两式，则可求得最大转角及最大挠度分别为： 挠度为正，说明梁变形时b点向下移动，转角为正，说明横截面b沿顺时针方向转动 bxycmeqball/2（a）l/2ab（b）xcqll/2l/2ayb（c）xycmell/2l/2a3.图示简支梁ab，受均布荷载和集中力偶作用，梁的弯曲刚度为ei，试用叠加法求梁跨中点c的挠度值和a、b截面的转角。解：此梁上的荷载可以分为两项简单荷载，如图（b）、(c)所示。均布荷载单独作用时，从表格111可以查得：，集中力偶单独作用时，从表格71可以查得：，将以上两个结果叠加，得：qbalyxymax4.图示悬臂梁ab，承受均

21、布荷载q的作用。已知：l=3m，q=3kn/m，梁采用20a号工字钢，其弹性模量e=200gpa，试校核梁的刚度。解：查得工字钢的惯性矩为:梁的最大挠度为：满足刚度要求5.如图（a）所示的外伸梁，在某外伸端受集中力f作用，已知梁的抗弯刚度eiz为常数。试求外伸端c的挠度与转角fcbala图(a)解：欲求c处的挠度与转角，可先分别求出这两段梁的变形在c点引起的转角和挠度，然后将其叠加，求其代数和（1）：先只考虑bc段变形 令ab段不变，在这种情况下，由于挠曲线的光滑连接，b截面即不允许产生挠度，也不允许出现转角。于是，此时bc段可视为悬臂梁，如图（b）所示。在集中力f的作用下，c点的挠度与转角可

22、查得： bffc1图(b)（2）再只考虑bc段变形，由于c点的集中力f作用，使ab段引起变形，与将f向b点简化为一个集中力f和一个集中力偶fa，使ab段引起的变形使完全相同的。这样只需讨论集中力偶fa对ab梁的作用 该转角在c点引起的转角和挠度，其值分别为 (3)梁在c点处的挠度和转角由叠加法得 6.使用积分法计算图所示梁的挠曲线方程,最大挠度和两端转角的表达式。解 取坐标原点在固定端,梁的弯矩方程为可得挠曲线近似微分方程为积分一次得转角方程为再积分一次得挠曲线方程为在悬臂梁中，边界条件是固定端的挠度和转角都为零，即由此边界条件即可确定两积分常数 显然最大转角和最大挠度都发生在x=l处 8.试

23、用积分法求图所示梁的挠曲线方程及中间截面的挠度，ei已知。ab解 1、支座反力 取坐标原点在a端，弯矩方程为挠曲线方程 积分得 边界条件 解得 所以 当时， 9.外伸梁承如图所示，试按叠加原理求。 解 将结构分解如下 将（b）进一步分解如下利用附录查得各端的转角和挠度为、和的叠加 为和的叠加 为 为和的叠加 10.图所示的梁具有中间铰b和c, 为已知, 按叠加原理求p力作用处的挠度. 解 将结构分解如下, 铰链处两段梁有互作用力,利用附录查得,各端的挠度 第8章典型习题解析1. 试画出下图所示简支梁a点处的原始单元体。图8.1解：（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算

24、，因此应选取如下三对平面：a点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。再取a点偏上和偏下的一对与xz平行的平面。截取出的单元体如图(d)所示。(2)分析单元体各面上的应力:a点偏右横截面的正应力和切应力如图(b)、(c)所示，将a点的坐标x、y代入正应力和切应力公式得a点单元体左右侧面的应力为： 由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力t ；前后边面为自由表面，应力为零。在单元体各面上画上应力，得到a点单元体如图(d)。2.图(a)所示的单元体,试求（1）图示斜截面上的应力;（2）主方向和主应力，画出主单元

25、体;（3）主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力，并画出该单元体。解：（1）求斜截面上的正应力和切应力由公式 （2）求主方向及主应力 最大主应力在第一象限中，对应的角度为，主应力的大小为由可解出因有一个为零的主应力，因此画出主单元体如图8.2(b)。（3）主切应力作用面的法线方向 主切应力为此两截面上的正应力为 主切应力单元体如图所示。由，可以验证上述结果的正确性。3.试用图形解析法，重解例2。解：（1）画应力圆建立比例尺，画坐标轴。对图(a)所示单元体，在平面上画出代表的点a(-50,-60)和代表的点b(100,60)。连接a、b，与水平轴交于c点，以c点为圆心，（或）为半径，作应力圆如

26、图所示. (2) 斜截面上的应力在应力圆上自a点顺时针转过，到达g点。g点在坐标系内的坐标即为该斜截面上的应力，从应力圆上可直接用比例尺测量或计算得到g点的水平和垂直坐标值： mpa=34.95mpa(3)主方向、主应力及主单元体图所示应力圆图上h点横坐标为第一主应力，即k点的横坐标为第三主应力，即由应力圆图上可以看出，由b点顺时针转过为第一主方向，在单元体上则为由y轴顺时针转，且应力圆图上由a顺时针转到k点()，则在单元体上由x轴顺时针转过为第三主方向,画出主单元体仍如图(b)所示。（4）主切应力作用面的位置及其上的应力图所示应力圆上n、p点分别表示主切应力作用面的相对方位及其上的应力。在应

27、力圆上由b到n，逆时针转过，单元体上作用面的外法线方向为由y轴逆时针转过，且作用面上的正应力均为25mpa,主切应力作用面的单元体仍如图(c)所示。4.如图所示两端封闭的薄壁筒同时承受内压强p和外力矩m的作用。在圆筒表面a点用应变仪测出与x轴分别成正负45°方向两个微小线段ab和ac的的应变e45°629.4×106，e45°66.9×106，试求压强p和外力矩m。已知薄壁筒的平均直径d200mm，厚度t10mm， e200gpa，泊松比m0.25。解：（1）a点为平面应力状态,在a点取出如图(c)所示的原始单元体，其上应力：（2）求图8.4(

28、c)斜单元体efgh各面上的正应力：（3）利用胡克定律，列出应变e45°、e45°表达式 将给定数据代入上式得内压强和外力矩p10mpa， m35knm5.直径 d=20mm 、l=2m 的 圆截面杆,受力如图。试绘杆件中 a 点和 b 点的单元体受力图,算出单元体上的应力的数值,并确定这些点是否为危险点。 （c）(a)（b）（d） 解：以下图为图各单元体受力图： 应力计算:图（a）的a点 : 图（b）的a点: 图（c）的a点: b点: , 图（d）中a点(压应力): b点: (b）中的a为危险点，（c）中的a、b为危险点，（d）中的a ，b点均为危险点,相比之下a 点的应

29、力较大。6.已知应力状态如图所示(应力单位:mpa)。试用图解法求:(1)(a)、(b)中指定斜截面上的应力;并用解析法校核之;(2) (c)、(d) 、(e)上主应力的大小与方向,在单元体上画出主平面的位置 ,求最大切应力。(a)300 斜截面单元本;(b)450 斜截面单元体;(c) 纯切应力单元体;(d) 压拉切单元体(e) 拉压切单元体。解：(a) 按比例画出应力圆如下图,可得=300的斜截面的正应力和切应力为e点的坐标为 解析法校核：(b) 用比例画出应力圆,e点的坐标为 yscexoy解析法校核：(c）应力圆如下图,与轴的交点即为主应力的对应点，从应力圆上可按比例直接量得两个主应力

30、之值分别为：主平面的方位可由应力圆上量得,因最大主应力作用面与x平面之夹角为(从d1到a1是顺时针转的):(d）应力圆与轴的交点即为主应力得应点，从应力图上可按比例直接量得两个主应力之值分别为： 最大主应力作用面与x平面之夹角为(可由应力圆上得):(e）应力圆与轴的交点即为主应力的对应点，从应力圆上可按比例直接量得两个主应力之值分别为 主平面的方位，可由应力圆上量得：（对应于主应力1所在主平面）第9章典型习题解析1.某危险点的应力状态如图所示,试按四个强度理论建立强度条件.解：由图知,单元体的最大和最小主应力为 当时2.图所示的两个单元体，已知正应力s =165mpa，切应力=110mpa。试

31、求两个单元体的第三、第四强度理论表达式。解：（1）图（a）所示单元体的为空间应力状态。注意到外法线为y及y的两个界面上没有切应力，因而y方向是一个主方向，s是主应力。显然，主应力s 对与y轴平行的斜截面上的应力没有影响，因此在xoz坐标平面内可以按照平面应力状态问题对待。外法线为x、z轴两对平面上只有切应力t，为纯剪切状态，可知其最大和最小正应力绝对值均为t,则图（a）所示单元体的三个主应力为：,第三强度理论的相当应力为mpa 第四强度理论的相当应力为： mpa(2)图9.1(b)所示单元体,其主应力为第三强度理论的相当应力为：mpa第四强度理论的相当应力为：mpa3.一岩石试件的抗压强度为1

32、4ompa,e=55gpa, =0.25, 承受三向压缩。己知试件破坏时的两个主应力分别为=-1.4mpa 和 -2.8mpa，试根据第四强度理论推算这时的另一个方向的主应力为多少？解：设另一个方向的主应力为,则根据第四强度理论可得 解得 所以,另一个方向的主应力为-138mpa.4.薄壁圆筒容器,筒壁材料处于二向应力状态,按第三强度理论建立的强度条件是什么?解：第一强度理论认为最大拉应力是引起材料脆性断裂破坏的主要因素,这一理论强度条件为;第二强度理论认为最大伸长线应变是引起材料脆性断裂破坏的主要因素,其强度条件为;第三强度理论认为最大切应力是引起材料塑性屈服破坏的主要因素,其强度条件为 ;

33、第四强度理论认为另外的两个主应力也影响材料的塑性屈服,其强度条件；其中,可以直接根据破坏情况不同,来选择强度理论,例如铸铁,砖石与混凝土一类塑性材料,一般发生脆性断裂破坏,通常采用第一强度理论;而钢材一类塑性材料的破坏形态多为塑性屈服通常采用第二或第四强度理论。5.图示的薄壁圆筒受最大内压时,测得ex=1.88´10-4, ey =7.37´10-4,已知钢的e=210gpa，s=170mpa,泊松比m=0.3，试用第三强度理论校核其强度。a解：由广义虎克定律得 所以 用第三强度理论 因为 所以，此容器不满足第三强度理论，不安全。6.试用第三强度理论分析图所示四种应力状态中

34、哪种最危险 (应力单位为 mpa)。 解：（a） 三个主应力 按第三强度理论 (b) (c) (d) 所以,四种应力状态中(b)危险。7.一脆性材料制成的圆管 , 内径 d=0.lm, 外径 d=0.15m, 承受扭矩 mn=70kn·m, 轴向压力 p 。如材料的拉伸强度极限为 10ompa, 压缩强度极限为 25ompa, 试用第一强度理论确定圆管破坏时的最大压力 p。解：在扭矩的作用下,圆管产生扭转,横截面上的最大切应力为 在轴向压力作用下, 横截面上的应力 主应力 即所以 , 8.如图所示,在船舶螺旋桨轴的 f-f 截面上,由于主机扭矩引起的切应力 =14.9mpa, 由推力

35、引起的压应力 x=-4.2mpa, 由螺旋桨等重力引起的最大弯曲正应力 士 22mpa ,试求截面 f-f 上危险点 c 的主应力大小及其方位,并求出最大切应力。若轴的材料许用应力 =10ompa, 试按第三强度理论校核该轴的强度。解：根据题意可知, , 1、主应力 , 设最大主应力方位角为,即是第三象限的角,即 最大切应力 2、按第三强度理论校核 强度满足。9.如图所示,已知。(1)画出单元体的主平面,并求出主应力;(2)画出切应力为极值的单元体上的应力;(3)若材料是低碳钢,试按第三、四强度理论计算单元体的相当应力。解：(1)主应力 所以 最大主应力方位是第三象限的角,即 （2）最大切应力

36、 与最大主应力作用面之夹角为，参看下图。 (3) 按第三强度理论计算得单元体的相当应力为按第四强度理论计算得单元体的相当应力为10.有一发生弯扭组合变形的圆轴,已知其弯矩和扭矩数值相同,m=80on·m, 材料的许用应力 =90mpa。试按第三和第四强度理论计算其直径,并比较这两个直径相差多少?解： 根据第三强度理论得: 根据第四强度理论得:将题中已知条件代入得，两个直径相差:5.04-4.93=0.11cm第10章典型习题解析1.齿轮轴ab如图所示。已知轴的转速n=265r/min ，输入功率n=10kw，两齿轮节圆直径d1=396mm，d2=168mm，压力角，轴的直径d=50m

37、m，材料为45号钢，许用应力。试校核轴的强度。解：（1）轴的外力分析：将啮合力分解为切向力与径向力，并向齿轮中心（轴线上）平移。考虑轴承约束力后得轴的受力图如图b所示。由 得由扭转力偶计算相应切向力，径向力，轴上铅垂面内的作用力p1y 、p2y ，约束力ya ，yb 构成铅垂面内的平面弯曲，由平衡条件和可求得ya=1664n，nb=3300n由平衡条件校核所求约束力的正确性n，n轴上水平面内的作用力p1z 、p2z ，约束力za 、zb 构成水平面内的平面弯曲，由平衡条件和，可求得 ， 由平衡条件校核所求约束力的正确性n，n（2）作内力图：分别作轴的扭矩图t图（图c），铅垂面内外力引起的轴的弯

38、矩图 mz 图，水平面外力引起的轴的弯矩图 my 图（图d）（3）作强度校核：由弯矩图及扭矩图确定可能危险面为c（右）面和d（左）面。比较可知d面更危险。对塑性材料，应采用第三强度理论或第四强度理论作强度校核第三 第四 2.图所示曲轴的尺寸为r，。连杆轴颈直径d1=50mm ，主轴颈直径d=60mm 。曲柄截面iii-iii的尺寸为b=22mm，h=102mm。作用于曲轴上的力如图b所示：连杆轴颈上的力p=32kn，f=17kn，曲柄惯性力c=3kn ，平衡重惯性力c1=7kn。曲轴材料为碳钢，。试校核曲柄的强度。 解：（1）求约束力和扭转力偶：由平衡条件可求得（见图b）（2）连杆轴颈强度校核

39、：危险面在中间截面i-i处。在xy和xz平面内分别有弯矩扭距为如果用第四强度理论校核（3）主轴颈的强度校核：危险面为主轴颈与曲轴联接处ii-ii截面。此处有内力分量 强度校核（4）曲柄的强度校核：危险面为切于主轴颈的曲柄横截面iii-iii截面（见图c）。其内力分量分别有轴力n，扭转t，弯矩my、mz，剪力qz由于危险面为矩形截面，从与多内力分量相应的应力分布可知危险点为a，b点。a点为单向应力状态b点应力状态如图d所示现计算扭矩t引起的b点剪应力（即最大扭转剪应力）。由，查表，利用插入法得。则剪力qz引起剪应力采用第四强度理论，得3. 跨长l4m的简支梁，图所示,由32a热轧普通工字钢制成。

40、作用在梁跨中点处的集中力p33kn， p力的作用线与横截面铅垂对称轴间的的夹角15°，而且通过截面的弯曲中心，如图示，已知钢的容许弯曲应力170mpa。试按正应力校核此梁的强度。 解：首先将斜弯曲分解为两个平面弯曲的叠加, 确定两个平面弯曲的最大弯矩 上式中的,查表得32a 热轧普通工字钢,最大正应力并校核强度若,前者使后者的3.553倍.实际中吊车起吊重物只能在吊车大梁垂直方向起吊，不允许在大梁的侧面斜方向起吊。4.设图示的简易起重架,由18号工字钢ab及拉杆ac组成,滑车沿梁ab移动,滑车自重和载重共计p=25kn,当滑车移动到梁中点时，试校核ab安全与否。梁ab的许用应力120

41、mpa。解：定性分析: 梁ab的受力有荷载p,拉杆拉力f,支座约束反力r,所以，梁ab的受力后产生弯曲和压缩组合变形。定量计算：当滑车移动到梁中点时，梁的弯矩最大为因 ，所以 查表知 ，合成的应力如图所示，应力最大值发生在跨中截面的上边缘，是压应力，其值为5.如图所示压力机，机架由铸铁制成，t=35mpa，c=140mpa。已知最大压力f=1 400kn，立柱横截面的几何性质为yc=200mm，h=700mm，a=1.8×105mm2，iz =8.0×109mm4。试校核立柱的强度。解：对立柱而言，虽然作用其上的外力f与其轴线平行，但没有通过立柱截面形心，立柱的这种受力特点

42、通常称为偏心拉伸(或压缩)。它是拉伸(压缩)与弯曲组合变形的另一种形式。用任一截面m-n 将立柱切开，取上部分为研究对象。由平衡条件可知，在m-n 截面上既有轴力，又有弯矩，如图所示，其值分别为kn故立柱产生拉伸与弯曲的组合变形，其各个横截面上的内力均相同。立柱横截面上的应力分布情况如图所示，截面内、外两侧边缘上各点为危险点，分别有最大拉应力和最大压应力，其值为mpampa 故立柱满足强度要求。6.一钢制圆轴，装有两胶带轮a和b,两轮有相同直径d=1m及重力p=5kn，a轮上胶带的张力是水平方向的，b轮胶带的张力是铅直方向的，如图所示。设圆轴的许用应力=80mpa, 试按第三、四强度理论求轴的

43、直径d。解：图(b)为轴的计算简图，图(c)为圆轴的扭矩图，图(d)为水平面内的受力情况和弯矩图，图(e)为垂直面内的受力情况和弯矩图。在c和b处的合成弯矩为=mm由于,故c上弯矩最大.按第三强度理论有代入数据得解得 mm按第四强度理论有代入数据得解得 mm第11章典型习题解析1.用卡氏第二定理求图12.3所示刚架a截面的位移和b截面的转角。略去剪力q和轴力n的影响，e为已知.ll2解：（1）a截面的位移ab段弯矩：m(x)=-px （0x）m(x) /p=-x在a 处虚加一水平力向右的力q,之后，再令其为0.那么,bc段弯矩：m(y)=-2p- q+(p+q)ym(y) /p=-2+y m(

44、y) / q=-+ya截面的竖直位移:ya= =a截面的水平位移:xa=dx=积分，令q=0得(2)b截面的转角在b处虚加一力偶mb,ab段弯矩：m(x)=-px （0x<）bc段弯矩：m(y)=-2p-+py （0<y<） m(x) /mb=0 m(y) /mb =-1 =2.用卡氏第二定理求图示的a截面的位移和b截面的转角。略去剪力q和轴力n的影响，e为已知。 2 解：（1）a截面的位移在a点虚加一向下的力f，支反力 （l为ab和ad的长度）ab段弯矩： m1=0 m1 /f=0ad段弯矩：m2(x)=m2(x) /f=xcd段弯矩：m3(y)=pym3(y) /f=0

45、a截面的竖直位移:=积分，令f=0得求a截面的水平位移时， 在a 处虚加一水平力向右的力q, 再令其为0.那么, 支反力 （l为ab和ad的长度）ab段弯矩： m1=0 m1 /q=0ad段弯矩：m2(x)=(p+q) m2(x) /q=xcd段弯矩：m3(y)=（p+q）ym3(y) /q=y a截面的水平位移=积分，令q=0得(2) b截面的转角在b处虚加一顺时针的力偶mb, 积分，并令其为零。支反力 （l为ab和ad的长度）ab段弯矩： m1=mb m1 /mb=1ad段弯矩：m2(x)= m2(x) /mb =x/lcd段弯矩：m3(y)=pym3(y) /mb =0 b截面的转角 =

46、积分，令mb =0得3.用卡氏第二定理求图示c点两侧的相对角位移。各杆ei相同，且为已知。解：（1）在c处虚加两个力偶m图示（其后并令其为0），由刚架的整体平衡条件确定支反力。由ma=0和mb=0得: vb =p, va =-p，p = ha+ hbmha vb hb va 再取c以左的部分为研究对象， 由mc=0得: hb=p/2m/l，ha=p/2 +m/l（2）各段的弯矩ad段: m1(y)=(p/2+m/l)y m1(x) /m=y/ldc段: m2(x)= -px+(p/2+m/l)l m2(x) m=1 (0xl/2) ce段: m3(x)=- (p/2m/l)l +px m3(x

47、) m=1 (0xl/2) be段: m4(y)= (p/2m/l)y ，m(y)/ m=-y/l（3）c点两侧的相对角位移积分，令m =0得： 4.用卡氏第二定理求解图示的超静定刚架,已知各杆ei相同。不计剪力和轴力的影响。解：设a的支座反力为ha和va,ab段: m(x)=hax m(x) / ha=x m(x) / va=0 (0x4) bc段:m(x)=4hava x+2 x2 (0x7)m(x) / ha=4 m(x) / va=-x由ah=0和 av=0 得：=004 ha x² dx+07 4（4 havax +2 x2）dx=0 =007-x(4havax+2 x2) dx=0可解得ha和va.再由整体平衡条件确定c的支座反力.5.轴线为水平面内四分之一圆周曲杆,如图所示,在自由端作用竖向荷载p,设ei和gip已知,求截面b在竖直方向的位移.解 :任意截面的弯矩方程m()=-rpsin m() /p=-rsin (0</2) 扭矩方程mn()=-rp(1-cos) mn() /p=-r(1-cos) (0<