高等数学洛必达法则教学PPT课件

1、第三章第三章 导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 1第三章第三章 导数的应用导数的应用 第一节第一节 微分中值定理微分中值定理 第二节第二节 函数的性质函数的性质 第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 第三章第三章 导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 2第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 一一. .未定式未定式二二. .洛必达法则洛必达法则本节主要内容本节主要内容: :三三. .其他类型未定式的极限其他类型未定式的极限第三章第三章 导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 3 如果当如果当xx0（或（或x ）时，两个函数时，两个函数 f(x)

2、和和g(x) 的极限都为零或都趋于无穷大，极限的极限都为零或都趋于无穷大，极限)()(lim()()(limxgxfxgxfxxx或或0通常称为未定式，分别记为通常称为未定式，分别记为 。 和和00（1）0,0 （2）0, （3）000 ,1 一、未定式一、未定式第三章第三章 导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 4)00()( 例如例如, ,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxxlimxxx e ，0limxxx ，120arcsinlim()xxxx01lim(ln)xxx 11lim()1lnxxxx 0001 0 第三章第三章 导数的应用导数的

3、应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 5 定理定理3.3.1（洛必达法则）（洛必达法则）设函数设函数 f(x) 、g(x) 满足：满足：（1） ；（2） f(x) 、g(x)在在x0的某去心邻域的某去心邻域 内可导，内可导，且且 g (x) 0；（3） （a为有限数，也可为无穷大）为有限数，也可为无穷大）则则 00lim( )0, lim( )0 xxxxf xg x 0(, )n x 0( )lim( )xxfxag x 00( )( )limlim( )( )xxxxf xfxag xg x 二、洛必达法则二、洛必达法则第三章第三章 导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则

4、 61) 1) 应用洛必达法则时，是通过分子与分母应用洛必达法则时，是通过分子与分母分别求分别求导数导数来确定未定式的极限，而不是求商的导数来确定未定式的极限，而不是求商的导数. .2)2)上述定理对上述定理对“ ”型或型或“ ”型的极限均成型的极限均成立，其它类型的不定型需要转化为以上两种类型后立，其它类型的不定型需要转化为以上两种类型后才能使用洛必达法则。才能使用洛必达法则。00 定理的证明定理的证明第三章第三章 导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 7 不是未定式不能用洛必达法则不是未定式不能用洛必达法则 !例例1 求求0sin2lim3xxx0sin2lim3xxx0

5、(sin2 )lim(3 )xxx 02cos2lim3xx 23 )00(002cos2(2cos2 )limlim3(3)xxxx 解解第三章第三章 导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 8方法一：方法一：例例2 求求4216lim2xxx 4216lim2xxx 324lim1xx 32 )00(方法二：方法二：4216lim2xxx 22(2)(2)(4)lim2xxxxx 22(2)(4)lim1xxx 32 解解第三章第三章 导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 9sin5limsin2xxx 例例3 求求sin5limsin2xxx (sin5

6、 )lim(sin2 )xxx 5cos5lim2cos2xxx 5522 )00(解解第三章第三章 导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 102lim1xxx 21limxxx 用洛必达法则用洛必达法则3) 在很多情况下，要与其它求极限的方法（如在很多情况下，要与其它求极限的方法（如21limxxx 例如例如,而而21limxxx 21lim1xx1 才能达到运算简捷的目的才能达到运算简捷的目的.等价无穷小等价无穷小代换或重要极限等）综合使用，代换或重要极限等）综合使用，注意：注意：第三章第三章 导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 1120sinlims

7、inxxxxx 例例4 求求20sinlimsinxxxxx 20sinlimxxxxx 30sinlimxxxx 201coslim3xxx )00(等价无穷小代换等价无穷小代换洛必达法则洛必达法则22012lim3xxx 16 00sin1limlim666xxxxxx解解第三章第三章 导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 12arctan2lim1xxx 例例5 求求arctan2lim1xxx 2211lim1xxx 2lim12xxx22lim1xxx )00( 可多次使用洛必达法则，但在反复使用法则时，要时可多次使用洛必达法则，但在反复使用法则时，要时刻注意检查是

8、否为未定式，若不是未定式，不可使用刻注意检查是否为未定式，若不是未定式，不可使用法则。法则。解解第三章第三章 导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 130lntan3limlntan2xxx 例例6 求求0lntan3limlntan2xxx 220tan23sec 3limtan32sec 2xxxxx 032lim23xxx 03tan2lim2tan3xxx () 1 解解第三章第三章 导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 14例例7 求求limnxxxelimnxxxe 1limnxxnxe 22(1)limnxxn nxe () 0 !limnxx

9、ne 使用使用n次洛必次洛必达法则达法则解解第三章第三章 导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 15lnlimxxx 例例8 求求lnlim ( 0)xxx 11limxxx 1limxx () 0 解解第三章第三章 导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 164)4)若若 不存在不存在( () )0( )lim( )xxfxg x 00( )( )limlim( )( )xxxxf xfxg xg x 洛必达法则失效！洛必达法则失效！例如例如, ,sinlimxxxx 极限不存在极限不存在sinlim (1)xxx 11coslim1xx 注意注意第三章第三

10、章 导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 17sinlimsinxxxxx 例例9 求求sinlimsinxxxxx 1coslim1cosxxx sin1lim1sin1xxxxx () 不存在不存在( () )洛必达法则失效！洛必达法则失效！sinlimsinxxxxx 解解第三章第三章 导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 18 0sinlim(1cos )1xxxxxe 例例10 求求 0sinlim(1cos )1xxxxxe 02sinlim12xxxxx 021coslim32xxx 能用等价无穷小代能用等价无穷小代换的先代换换的先代换03si

11、nlim12xxxx 202112lim332xxx解解第三章第三章 导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 190112 sincoslimxxxxxe 原原式式例例11 求求201sinlim1xxxxe 2001sin1limlimsin11xxxxxxxxeex但但1 00 分母分母1，分子振荡而没有极限，分子振荡而没有极限l.hospital法则法则“失效失效”解解第三章第三章 导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 20000,0 ,1 , 00 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型：类型： 或或1. 0步

12、骤：步骤：,10 .0100 或或三、其他类型未定式的极限三、其他类型未定式的极限关键：关键：第三章第三章 导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 210limlnxxx 例例12 求求0limlnxxx 0lnlim1xxx 0lim()xx 021lim1xxx 0 0 注意到：注意到： 求导比求导比 求导简单求导简单1ln x1x解解第三章第三章 导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 222lim.xxx e 例例13 求求2lim.xxx e 2limxxex lim2xxex lim2xxe 0 解解第三章第三章 导数的应用导数的应用第三节第三节 洛

13、必达法则洛必达法则 232. 步骤：步骤：0101 .0000 11lim1lnxxxx 例例14 求求11lim1lnxxxx 1ln1lim(1)lnxxxxxx 1( ln1)lim(1)ln xxxxxx 1ln11limln22xxx 111ln1( ln )limlim11lnlnxxxxxxxxxxx 解解第三章第三章 导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 24011lim().sinxxx 例例15 求求011lim().sinxxx 0sinlimsinxxxxx 01coslimsincosxxxxx 0 解解第三章第三章 导数的应用导数的应用第三节第三节

14、 洛必达法则洛必达法则 25003.01 步骤：步骤：( )0 ( )0( )( )( )( )0ln( )ln( )( )1 ( )f xg xg xyf xf xg xyg xf xf xg x ln( )limlnlim ( )ln( )lim1( )f xyg xf xg x ln01ln0ln01000取对数取对数.0 第三章第三章 导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 260limlnln00limlim eexxxxxxxxx 例例16 求求0limxxx 000021lnlimlnlimlimlim()011xxxxxxxxxxx 00lime1xxx 解解第三章第三章 导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 271limxxx例例17 求求1limxxx1limlnxxx 01lime1xxx1lnlimxxxe lim1lnxxxe lnlimxxx 1lim0 xx 解解第三章第三章 导数的应用导数的应用第三节第三节 洛