高斯函数有关的高考压轴题

1、与高斯函数有关的高考压轴题董永春(成都戴氏高考中考肖家河总校数学组, 四川成都，611000)1 高斯函数问题的提出早年，数学王子高斯在闲暇时发现并定义了取整函数，即设xr，用 x或int(x)表示不超过x 的最大整数，并用""表示x的非负纯小数,则称为高斯函数，也叫取整函数。高斯函数x的定义域是r,值域为z,其图象是不连续的水平线段。在初中、高中数学竞赛中经常出现含有取整函数的问题。笔者在高三复习时发现欧拉常数问题1在高考中频繁出现，同样的，高斯函数已渗透到高考，多以信息出现在压轴题的位置，高斯函数在数论中也有非常重要的作用。下面从一些考题去体会高斯函数。2 高斯函数有关

2、的准备我们只提出本文需要的一些性质，表示取的各分位小数。3 高斯函数有关问题的解决例1 （2012四川16）记为不超过实数的最大整数，例如，。设为正整数，数列满足，现有下列命题：当时，数列的前3项依次为5,3,2；对数列都存在正整数，当时总有；当时，；对某个正整数，若，则。其中的真命题有_。（写出所有真命题的编号）分析：显然成立，对于，取，为摆动数列，错。对于，由题意知和都是整数，故，对于，当时，从而即，即分析：此题涉及了高斯函数的性质，借助均值不等式，比较复杂。其实可以考虑特殊值法进行验证。例2 （2012成都三诊12）设x是实数，定义为不大于x的最大整数，如，已知函数，。若方程的解集为，方

3、程的解集为，则集合中的所有元素之和为 分析：，若（舍）；若，；若；若 （舍）；知，数形结合知所以答案为c。点评：本题涉及了竞赛数学的解含有高斯函数的方程，一般的处理方法是利用性质很关键例3（2008湖南10,2010南充二诊12）设表示不超过的最大整数，（如，）,对于给定的，定义，则当时，函数的值域是 分析：时，为减函数，知；，为减函数，知，选c点评：本题体现了高斯函数的分段特色，组合数的整数问题又是一个热点研究课题。拓展变式（2011泸州诊断16）设表示不超过的最大整数（如，），对于给定的，定义，给出下列命题：（1）；（2）；（3）；（4）当时，函数的值域是.其中正确命题的序号为 （3） （

4、4） .(填上所有正确命题的序号)分析：此题实际就是上题的改编与拓展。例4（2012成都4中三诊12）表示不超过的最大整数，数列、分别满足，其中，。为数列的前项和，当时，则（ ） 分析：由，时，；时，；时，；这些式子是有意义的, ,为周期数列。 带入易知，故点评：就是取x的各分位小数，在数论2中应用很广。例5（2012乐山一诊16）.定义函数，其中表示不超过的最大整数，如：当时，设函数的值域为a，记集合a中的元素个数为，则式子的最小值为 分析：当时，；时， ；时，将等分为两段，时，；时，类似的，将等分为三段，会得到3个函数值，将等分为四段，会得到4个函数值，时有，函数的值域中元素的个数为，易知

5、当或时的最小值为点评：关键是的变化将相应的区间分段是很关键的，可以通过尝试取得。例6（2011成都五校联考16）设，记不超过x的最大整数为，令若已知，给出下列结论：；.其中正确的结论是 （写出所有正确结论的序号）分析：借助得，知，易知正确。综上，初等数学研究已经渗透到高考和数学竞赛中，我们应该去追溯问题的本原，让学生感受数学之美，从文化的角度去培养学生的数学素养。参考文献:1董永春，与euler常数有关的高考压轴题j中学数学研究，2012，3（15-17）2董永春，对形如的十分位问题的讨论j四川理工学院学报，2010，1（36-37）3陈传理 张同君，竞赛数学教程m高等教育出版社， 2008 4 李文林，数学史概论