理学自动控制原理第九章PPT学习教案

1、会计学1理学自动控制原理第九章理学自动控制原理第九章2.1 线性定常系统齐次状态方程的解线性定常系统齐次状态方程为（1）（2）先考察标量齐次微分方程的幂级数解法axx kktbtbtbtbbx332210假设其解为一幂级数（3）1232132kktkbtbtbb将（3）式代入（2）式)(2210kktbtbtbba)()(ttAxx这时系统的输入为零第1页/共49页等式两边t 的同次幂的系数相等，因此有0021201!11! 2121bakabkbbaabbabbkkk而)0(0 xb kkattaktaat!1! 211e22因为则解为)0(e)0()!1! 211 ()(22xxtakta

2、attxatkk（4）模仿标量齐次微分方程的解法，假设线性定常系统齐次状态方程（1）的解为kkttttbbbbbx332210（5）将（5）式代入（1）式第2页/共49页1232132kktkttbbbb)(2210kktttAbbbb等式两边t 同次幂的系数相等，因此有0021201!11! 2121bAAbbbAAbbAbbkkkkk而) 0 (0 xb kkttkttAAAA!1! 211e22记作则线性定常系统齐次状态方程（1）的解为)0()!1! 211 ()(22xAAAxkktkttt（6）则)0(e)(xxAtt （7）第3页/共49页如果00t则)(e)(0)(0ttttxx

3、A（8）将（8）式代入（1）式验证)()(e)()(0)(0tttdtdtttAxxAxxA)()(e)(00)(000tttttttxxxA和)(0ettA矩阵指数函数 又称为状态转移矩阵，记作)(0tt )(tx)(0tx由于系统没有输入向量， 是由初始状态 激励的。因此，这时的运动称为自由运动。 的形态由 决定，即是由矩阵A 惟一决定的。)(tx)(0ettA第4页/共49页2.2 状态转移矩阵线性定常系统齐次状态方程的解为)(e)(0)(0ttttxxA或)0(e)()(xxA tt 其几何意义是：系统从初始状态 开始，随着时间的推移，由 转移到 ，再由 转移到 ， 。 的形态完全由

4、决定。)(0tx)(01ett A)(1tx)(12ett A)(2tx)(tx)(0ettA2.2.1 状态转移矩阵的基本性质1）AAAAAttteeedtd即AA)()()(ttt 2）IA0e即I) 0( 第5页/共49页3）可逆性ttAA ee1即)()()(11ttt )()()(020112tttttt 4）传递性)()()(020112eeettttttAAA即5）当且仅当 时，有BAAB ttt)(eeeBABA如果 时，则ttt)(eeeBABA第6页/共49页2.2.2 状态转移矩阵的求法方法1 根据定义，计算 )(t kkttktttAAAIA!1! 21e)(22 方法

5、2 应用拉普拉斯变换法，计算)(t Axx 对上式求拉普拉斯变换，得)()0()(sssAxxx)0()(xxAIssAI s如果 为非奇异)0()(1xAIx ss（9）)(txL)0(11xAI sL)0(11xAIs（10）由微分方程解的唯一性ttAe)( L11 AI s第7页/共49页例2-2 线性定常系统的齐次状态方程为21213210 xxxx求其状态转移矩阵ttAe)( 解2211221221112112213)2)(1(132111sssssssssssssssAI于是ttAe)( Ltttttttts222211e2ee2e2eeee2AI第8页/共49页方法3 应用凯莱-

6、哈密顿定理，计算)(t 凯莱-哈密顿定理： 矩阵 A 满足自身的特征方程。nn0det)(012211aaaannnAI即012211aaaannn根据凯莱-哈密顿定理0)(012211IAAAAAaaaannnI-AAAA012211aaaannn（11）例 用凯莱-哈密顿定理计算1006293解096293det)(2092 AA由凯-哈定理：AA991009AA92AAA22399,62939629399100所以第9页/共49页A2nA1nA（11）式表明： 是 、 、 、 、 的线性组合nAIA-AAAAAA0213211aaaannnn（12）将（11）式代入（12）式，不断地进行

7、下去，可以看出：IA2nA1nAnA 、 、 、 都是 、 、 、 、 的线性组合1nA2nAkkttktttAAAA!1! 211e)(22 112210)()()()(nntatatataAAAI（13）)(tai其中， ， 为待定系数。 的计算方法为：)(tai) 1( ,10ni，1）A 的特征值互异Ai应用凯-哈定理， 和 都满足 的特征方程。因此， 也可以满足（13）式。iA第10页/共49页112210)()()()(eniniittatatatai（其中， ）ni, 2 , 1写成矩阵形式)()()(111eee11012122221121121tatatannnnnnnttt

8、n（14）于是tttnnnnnnnntatataeee111)()()(211121222211211110（15）第11页/共49页例2-3 线性定常系统的齐次状态方程为21213210 xxxx用凯-哈定理计算其状态转移矩阵)(t 解0)2)(1(2)3(det)(AI1122tttttttttttata2222112110eee2ee1112ee2111ee11)()(21e即ttta20ee2)(ttta21ee)(第12页/共49页ttttttttttttttttttttttttatat2222222222210e2ee2e2eeee2e3e3e2e2ee0ee200ee23210)

9、e(e1001)ee2()()(e)(AIA 第13页/共49页2）A 的特征值相同，均为1ttttntnnnnnnnntttntnnnnnntatatatata11111ee! 11e! 21e)!2(1e)!1(11! 2)2)(1(3210! 2)2)(1(31001) 1(1010000)()()()()(221111213121121211311112310（16）第14页/共49页3）A 的特征值有重特征值，也有互异特征值时，待定系数 可以根据（16）式和（15）式求得。然后代入（13）式，求出状态转移矩阵)(tai)(t 求系统状态转移矩阵。例2-4 线性定常系统齐次状态方程为x

10、x452100010-解应用凯-哈定理计算)(t 0)2() 1(254det)(223AIA 的特征值为121 23第15页/共49页ttttttttttttttttttttttttatata22222112332111210eeee2e2e3ee2eee111223102eee421111210eee11210)()()(311于是tttttttttttttttttttttttttttttttttttttatatat2222222222210e4e3ee8e8e3e4e4e2e2e2ee4e5e3e2e2e2eeee2e2e3ee2)()()(e)(AAIA 状态转移矩阵第16页/共49页

11、方法4 通过线性变换，计算)(t 因为n00211PAPPPA1而ttttnttIe0e0e! 21e2122因为对角阵的特殊性质，有：1）矩阵 A 可以经过线性变换成为对角阵，计算)(t 第17页/共49页因此，状态转移矩阵为PPPIPPPPPPPPPPPIPPAt-ttttttttt-e!21!21!21ee)(12212211122111 例2-5 线性定常系统的齐次状态方程为21213210 xxxx用线性变换方法，计算其状态转移矩阵)(t 解1122111221111111211QP2111Q（17）第18页/共49页20011PAPtttttttttttt-222221e2ee2e

12、2eeee21112e00e2111eePPA2）矩阵 A 可以经过线性变换成为约当形阵，计算)(t 11110101PAPJ第19页/共49页tnntettnttnt110)!2(11)!1(11e21J状态转移矩阵为PPJAtttee)(1 （18）第20页/共49页3）矩阵 A 可以经过线性变换成为模态形阵，计算)(t 如果矩阵A的特征值为共轭复数经过线性变换，可转换为模态矩阵Mj2, 11PAPMt-tt-t0000eeeeM其中ttte00ee00ttttttt-cossinsincos00! 21001001e2200系统状态转移矩阵为PPMAtttee)(1 （19）第21页/共

13、49页2.3 线性定常系统非齐次状态方程的解线性定常系统非齐次状态方程为)()()(tttBuAxx（20）改写为)()()(tttBuAxx（21）（21）式两边同乘 得tAe)(e)()(etttttBuAxxAA或写成)(e)(edtdttttBuxAA（22）对（22）式在 0 到 t 时间段上积分，有ttttd)(e)(e00BuxAA（23）第22页/共49页tttd)(e)0()(e0BuxxAA（24）（24）式两边同乘 ，并且移项tAetttttttd)(e)0(ed)(ee)0(e)(0)(0BuxBuxxAAAAA（25）（26）ttttd)()()0()()(0Buxx

14、 （27）更一般情况，当00ttttttttd)(e)(e)(00)(0)(BuxxAA（28）tttttttd)()()()()(000Buxx 第23页/共49页由式（25）或式（27）可知，系统的运动 包括两个部分。一部分是输入向量为零时，初始状态引起的，即相当于自由运动。第二部分是初始状态为零时，输入向量引起的，称为强迫运动。正是由于第二部分的存在，为系统提供这样的可能性，即通过选择适当的输入向量 ，使 的形态满足期望的要求。)(tx)(tx)(tu第24页/共49页例2-8 线性定常系统的状态方程为uxxxx103210212101)0(x)( 1)(ttu解在例2-2中已经求得tt

15、tttttttt2222e2ee2e2eeee2e)(A 由（26）式tttt22eee21e21)( 110e2ee2e2eeee20)(2)()(2)()(2)()(2)(tttttttttttttd)()()0()()(0Buxx 01e2ee2e2eeee22222tttttttt第25页/共49页tttt22eee21e21()2()()2()()2()()2()002eeee1( )12e2ee2et t t t tt t t t ttttd)()()0()()(0Buxx 01e2ee2e2eeee22222tttttttt2()2()2()2()0220222222222eee

16、e2e2ee2e2ee2e2e111 ee2ee222e2e1e1 e1e eee2e eeettt t tttt t tttttttttttttttttd 第26页/共49页例2-8 用拉氏变换法求解uxxxx103210212101)0(x)( 1)(ttu1111( )(0)( )( )( )() (0)()( )xAxBusX sxAX sBU sx tLsIAxLsIABU s1122221311()232(1)(2)21112121222122221212ttttttttsssIAsssseeeesssseeeessss第27页/共49页例2-8 用拉氏变换法求解uxxxx1032

17、10212101)0(x)( 1)(ttu1111( )(0)( )( )( )() (0)()( )xAxBusX sxAX sBU sx tLsIAxLsIABU s2222( )2222Atttttttttteeeeeeeee2212221221111021212( )02212122212121/211/22121112212tttttttttttteeeessssx tLeeeesssseesssLeesss 22221122222tttttttteeeeeeee第28页/共49页系统的输出方程为)()()(tttDuCxy则)(d)(e)(e)(00)(0)(ttttttttDuB

18、uCxCyAA或)(d)(e)0(e)(0)(tttttDuBuCxCyAA（29）可见，系统的输出 由三部分组成。当系统状态转移矩阵求出后，不同输入状态向量作用下的系统输出即可以求出，进而就可以分析系统的性能了。)(ty第29页/共49页2.6 线性连续系统方程的离散化作以下假定：1）被控对象上有采样开关；2）采样周期为T，满足香农采样定理要求，包含连续信号全部信息；3）具有零阶保持器。2.6.1 线性时变系统uDxCyuBxAx)()()()(tttt（56）初始状态为)(0tx状态方程的解为tttttttd)()(),()(),()(000uBxx （57）第30页/共49页Tkt00令

19、 ， ，则Tkt) 1( （58）TkTkTkTkTkTkTkd)()(,) 1()(,) 1() 1()1(000uBxx （59）Tkt00再令 ， ，则kTt kTtTkkTkTkTTkd)()(),()(),()(000uBxx ,) 1(kTTk 将（59）式两边都左乘TkTkTkTkkTkTTkkTTkd)()(,) 1()(,) 1()(,) 1(000uBxx （60）（58）减（60）并且整理后，得到TkkTkTTkTkTkkTd)()(,) 1()(,) 1() 1()1(uBxx 令：,) 1()(kTTkkT GTkkTTkkTd)()(,) 1()()1(uBH 第3

20、1页/共49页考虑到) 1( ,)()(TkkTkT uu于是)()()()() 1(kTkTkTkTTkuHxGx省略T，得到)()()()() 1(kkkkkuHxGx（61）输出方程离散化，令 ，即可以得到kTt )()()()()(kkkkkuDxCy（62）第32页/共49页2.6.2 线性定常系统DuCxyBuAxx （63）离散化后得到)()()()()() 1(kkkkkkDuCxyHuGxx（64）其中TAGeBHATe0dCC DD 第33页/共49页2.7 线性离散系统的运动分析2.7.1 线性定常离散系统齐次状态方程的解系统的齐次状态方程为：)() 1(kkGxx其中，

21、x(k)为n维状态向量采用迭代法可以求出系统齐次状态方程的解)0() 1 (0Gxxk)0() 1 ()2(12xGGxxk)0()2() 3(23xGGxxk)0()()0() 1()(1xxGGxxkkkkkk （65）其中kkG)( （66）系统的输出为)0()(xCGykk （67）第34页/共49页2.7.2 状态转移矩阵)(kx若系统初始状态为 ，通过 将其转移到状态 ，故 称为状态转移矩阵。)0(xkkG)( )(k )(k 1. 的基本性质)() 1(kk G1）满足自身的矩阵差分方程及初始条件I)0( )()()(1122kkkk 2）传递性)()(1kk 3）可逆性第35页

22、/共49页2. 状态转移矩阵的计算有4种状态转移矩阵的计算方法：按定义计算；用z反变换计算；应用凯-哈定理计算；通过线性变换计算。在此，我们仅讨论用z反变换计算。)() 1(kkGxx离散系统的齐次状态方程为：对上式进行 z 变换)()0()(zzzzGxxx)0()(xxGzzzI)0()(1xGxzzIz)(kx)0()0()()0(11xGxxGkkzzI Z可见11zzIGZkkG)( （68）第36页/共49页例2-13 离散系统齐次状态方程为)(3 . 04 . 010) 1(kkxx求状态转移矩阵解5 . 013/58 . 013/85 . 013/48 . 013/45 . 0

23、13/108 . 013/105 . 013/88 . 013/53 . 04 . 0111zzzzzzzzzzzAI11zzIGZkkG)( kkkkkkkk)5 . 0(135)8 . 0(138)5 . 0(134)8 . 0(134)5 . 0(1310)8 . 0(1310)5 . 0(138)8 . 0(135第37页/共49页2.7.3 线性定常离散系统方程的解（69）系统方程为)()() 1(kkkHuGxx)()()(kkkDuCxy可以用迭代法求系统状态方程的解)0()0() 1 (HuGxx0k) 1 ()0()0() 1 () 1 ()2(2HuGHuxGHuGxx1k

24、)2() 1 ()0()0()2()2()3(23HuGHuHuGxGHuGxx2k)()0() 1() 1()(1k10kikkkikiHuGxGHuGxx1 kk系统方程的解为)()0()(1k10kikikiHuGxGx（70）系统的输出为)()()0()(1k10kkikikiDuHuGCxCGy（71）第38页/共49页2.7.3 线性定常离散系统方程的解（69）系统方程为)()() 1(kkkHuGxx)()()(kkkDuCxy可以用z变换法求系统状态方程的解-1-1-1-1(1) =( )+( )( )-(0)( )( )( )() (0)()( )x k +Ax kBu kz

25、X zx= AX z + BU zx t = ZzI - Ax+ ZzI - ABU zzz第39页/共49页例2-13 离散系统状态方程为0111x(1)x( )( )(0)( )10.16111kku kxu k 求解状态方程解11-112112211( IA) z (0)0.1611(1)(0.2)(0.8)(0.2)(0.8)1(0.2)(0.8)10.160.16(0.2)(0.8)(0.2)(0.8)(0.2)(0.8)zZzxZzzz zzzzzzzzzZZzzzzzzzzzz 14( 0.2)4( 0.8)110.20.80.23.233 0.2( 0.2)3.2( 0.8)0

26、.20.8kkkkzzzzZzzzz 第40页/共49页例2-13 离散系统状态方程为0111x(1)x( )( )(0)( )10.16111kku kxu k 11-111111( IA) BU(z)0.16111(2)11(1)(0.2)(0.8)1(0.2)(0.8)(0.2)(0.8)0.1611(0.2)(0.8)(0.2)(0.8)zzZzZzzz zzzzzzzzzzZZzzzzzzz 210.16(1)(0.2)(0.8)10255510259182( 0.2)( 0.8)0.20.812918871871( 0.2)( 0.8)918229180.20.81kkkkzzzzzzzzzzZzzzzzz 第41页/共49页2.8 用MATLAB求解系统方程2.8.1 线性齐次状态方程的解 使用MATLAB可以方便地求出状态方程的解。我们通过例子来说明。例2-16 已知线性系统齐次状态方程为 xx3210初始条件01)0(x求系统状态方程的解。 解用以下MATLAB程序计算齐次状态方程的解，其中collect( )函数的作用是合并同类项，而ilaplace( )函数的作用是求取拉普拉斯逆变换，函数det( )的作用是求方阵的行列式。 第42页/共49页程序执行结果这表示ttttttttt2222e2ee2e2eeee2)( ttttt22e2e