第5章控制系统稳定性理论

1、5.1 稳定性基本概念稳定性基本概念5.2 李雅普诺夫意义下的稳定性李雅普诺夫意义下的稳定性5.3 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法5.4 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法5.5 线性定常系统渐近稳定性判别法线性定常系统渐近稳定性判别法第五章第五章 控制系统的李雅普控制系统的李雅普 诺夫稳定性分析诺夫稳定性分析v研究的目的和意义研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统正常工稳定性是自动控制系统正常工作的必要条件，是一个重要特征。作的必要条件，是一个重要特征。v要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平打破，但在扰

2、动消失后，仍然能恢复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。v稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系统状态稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，而与输入作用无关。方程解的收敛性，而与输入作用无关。对于一个给定的控制系统，对于一个给定的控制系统，稳定性分析通稳定性分析通常是最重要的。常是最重要的。如果系统是线性定常的，如果系统是线性定常的，那么有许多稳定性判据，如那么有许多稳定性判据，如Routh-Hurwitz稳定性判据和稳定性判据和Nyquist稳定性判稳定性判据等可利用。然而，如果系统是非线性的，据等可利用。然而，如果系统是非

3、线性的，或是线性时变的，则上述稳定性判据就将或是线性时变的，则上述稳定性判据就将不再适用。不再适用。v经典控制理论稳定性判别方法：代数判经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹据，奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据判据v非线性系统：相平面法非线性系统：相平面法(适用于一，二阶适用于一，二阶非线性系统非线性系统)，描述函数法。，描述函数法。 Lyapunov意义下的稳定性问题意义下的稳定性问题 本节所要介绍的本节所要介绍的Lyapunov第二法（也第二法（也称称Lyapunov直接法）直接法）是确定非线性系统是确定非线性系统和线性时变系统的最一般的方法和线性时变系统的

4、最一般的方法。当然，。当然，这种方法也可适用于线性定常系统的稳定这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析。此外，它还可应用于线性二次型性分析。此外，它还可应用于线性二次型最优控制问题。最优控制问题。主要内容：主要内容：n李氏第一法（间接法）：求解特征方程李氏第一法（间接法）：求解特征方程 的特征值的特征值n李氏第二法（直接法）：利用经验和技李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构造李氏函数巧来构造李氏函数 AxxuBu,AxxRx,x,tfxn,0)(00( ;, )x t x t0000),(xtxtx2.初始状态初始状态1.自治系统：输入为零的系统自治系统：输入为零的系统 5.1 李氏稳

5、定性基本概念李氏稳定性基本概念 0),(txfxeeex系统的平衡状态系统的平衡状态3.平衡状态：平衡状态： 对所有的对所有的t，状态满足，状态满足 平衡状态平衡状态xe在状态空间所确定的点，称在状态空间所确定的点，称平衡点平衡点。 a.线性定常系统线性定常系统 A非奇异：非奇异： A奇异：奇异：Axx nRx 0eAx00eexAxex有有无穷多个无穷多个有唯一有唯一b.非线性系统非线性系统 可能有多个可能有多个0),(txfxeex 例：例： 令令 3221211xxxxxx01x 02x 102ex103ex001ex平衡点平衡点4. 孤立的平衡状态孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充：在

6、某一平衡状态的充分小的领域内不存在别的平衡状态。分小的领域内不存在别的平衡状态。 对于孤立的平衡状态，对于孤立的平衡状态，总可以经过适总可以经过适当的坐标变换，把它变换到状态空间的当的坐标变换，把它变换到状态空间的原点。原点。 以后取坐标原点作为平衡点研究。以后取坐标原点作为平衡点研究。5. 范数的概念范数的概念 范数的定义范数的定义 n为状态空间中，向量为状态空间中，向量x的长度的长度称为向量称为向量x的范数（或欧几里德范数），用的范数（或欧几里德范数），用 表示表示2/122221)(xxxxxxTn2/12222211)()()(neneeexxxxxxxx向量向量x与与xe的距离为的距

7、离为 当当x-xe的范数限定在某一范围之内时，记为的范数限定在某一范围之内时，记为 它的几何意义，在三维状态空间中以它的几何意义，在三维状态空间中以xe为球心，为球心，以以 为半径的一个球域，可记为为半径的一个球域，可记为0,exx)(S5.2 Lyapunov意义下的稳定性意义下的稳定性1.Lyapunov意义下的稳定性（稳定和一致稳定）意义下的稳定性（稳定和一致稳定）定义：定义： 对于系统对于系统 如果对任意实数如果对任意实数 都对应存在另一个实数都对应存在另一个实数 使得一切使得一切满足满足),(txfx 00),(0t),(00txxe的任意初始状态的任意初始状态 出发的运动轨迹（出发

8、的运动轨迹（状态方程的解状态方程的解）0 x00( ;, )x t x t在所有时间内都满足在所有时间内都满足：000( ;, ) , ex t x txtt则则称系统的平衡状态称系统的平衡状态 是李雅普诺夫意义是李雅普诺夫意义下下稳定的稳定的。ex即：系统的运动曲线不超出即：系统的运动曲线不超出 ，则系统稳定。，则系统稳定。)(S 时变：时变： 与与 有关有关 定常系统：定常系统： 与与 无关，无关， 是是一致稳定的。一致稳定的。ex0t0t几何意义几何意义 范数范数 划出了一个划出了一个球域球域 它能将系统解的所有各点都包围在它能将系统解的所有各点都包围在内。即从内。即从 出发的轨迹，在出

9、发的轨迹，在tt0的任何时的任何时刻总不会超出刻总不会超出 。extxtx),(00)(S)(S)(S等幅振荡在李氏意义下是稳定的。2. Lyapunov意义下意义下渐近稳定性渐近稳定性1）是李氏意义下稳定的）是李氏意义下稳定的2） 平衡状态是渐近稳定的。平衡状态是渐近稳定的。0),(lim00etxtxtx无关与0t平衡状态一致渐近稳定平衡状态一致渐近稳定几何意义：稳定下任意状态轨迹最终收敛于几何意义：稳定下任意状态轨迹最终收敛于xe.即轨迹不会超出即轨迹不会超出 ，且最终趋于平衡点。，且最终趋于平衡点。)(S 3.Lyapunov意义下大范围内渐近稳定性意义下大范围内渐近稳定性对对 都有都

10、有)(0sx 0),(lim00etxtxtx初始条件扩展到整个空间，且是渐近稳定。初始条件扩展到整个空间，且是渐近稳定。( ),s x 大范围渐近稳定exexv大范围渐近稳定的大范围渐近稳定的必要条件必要条件：系统只能有一：系统只能有一 个平衡状态。个平衡状态。v线性系统线性系统(严格严格)：如果它是渐近稳定的，必：如果它是渐近稳定的，必 是有大范围渐近稳定性是有大范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初线性系统稳定性与初 始条件的大小无关始条件的大小无关)。v非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状 态空间出发的轨迹都收敛态空间出发的轨迹都收敛 或其附近或其附

11、近。当当 与与 无关无关 大范围一致渐近稳定。大范围一致渐近稳定。0t4. Lyapunov意义下的不稳定性意义下的不稳定性 不管不管 ， 有多小，有多小， 只要由只要由 内，由内，由 出出 发的发的轨迹超出轨迹超出 以外，以外， 则称此平衡状态则称此平衡状态 是是 不稳定的。不稳定的。)(s)(s0 xex从定义看，球域从定义看，球域 限制初始状态限制初始状态 的取的取值，球域值，球域 规定了系统自由响应规定了系统自由响应 的边界。的边界。1.系统自由响应系统自由响应 有界，则平衡状态有界，则平衡状态稳定；稳定；2.如果如果 不仅有界，而且收敛于平衡不仅有界，而且收敛于平衡状态则平衡状态渐近

12、稳定；状态则平衡状态渐近稳定；3.如果如果 无界，则平衡状态不稳定；无界，则平衡状态不稳定；)(s0 x)(s00( ;, )x t x t00( ;, )x t x t00( ;, )x t x t00( ;, )x t x t结论：（1）线性系统：任一孤立平衡状态，均可坐标）线性系统：任一孤立平衡状态，均可坐标变换转移到原点，分析原点的稳定性具有代表性；变换转移到原点，分析原点的稳定性具有代表性；（2）非线性系统：各个平衡点的稳定性不同，）非线性系统：各个平衡点的稳定性不同，分析各个平衡状态的稳定性；分析各个平衡状态的稳定性；（3）对于线性系统：）对于线性系统：平衡状态是渐近稳定，则平衡状

13、态是渐近稳定，则一定是大范围渐近稳定；一定是大范围渐近稳定；（4）经典控制中的系统稳定指渐近稳定，而）经典控制中的系统稳定指渐近稳定，而李李氏意义下的稳定包括临界稳定。氏意义下的稳定包括临界稳定。（5）线性系统的平衡状态不稳定）线性系统的平衡状态不稳定 表征表征系统不稳定。系统不稳定。 （6）非线性系统的平衡状态不稳定）非线性系统的平衡状态不稳定 只只说明存在局域发散的轨迹。说明存在局域发散的轨迹。 至于是否趋于无穷远至于是否趋于无穷远 域外是否存域外是否存在其它平衡状态。若存在极限环，则系统在其它平衡状态。若存在极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下的稳定性。仍是李雅普诺夫意义下的稳定性。)(s

14、例：分析系统李亚普诺夫意义下的稳定性。例：分析系统李亚普诺夫意义下的稳定性。0)0(200200010000 xxuxx解：系统的平衡状态为解：系统的平衡状态为000202000100000200010000032132321kxxxxxxxxxxxAxxeeee系统状态解为系统状态解为321302201030201020000000000),(xxxxexexxxxeeexetxtxtttttAtkxxxexexekxxxttte10)()()(lim2302220210系统状态与平衡状态之间的范数：系统状态与平衡状态之间的范数：系统的状态不收敛到平衡状态，系统是稳定，但是不是渐近系统的状态

15、不收敛到平衡状态，系统是稳定，但是不是渐近稳定。虽然系统有无穷个平衡状态，但稳定。虽然系统有无穷个平衡状态，但系统为线性定常系统，系统为线性定常系统，只分析原点的稳定性即可。只分析原点的稳定性即可。5.3 李雅普诺夫第一法（间接法）李雅普诺夫第一法（间接法）利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。1. 线性定常系统稳定性的特征值判据：线性定常系统稳定性的特征值判据： （1）李氏）李氏稳定的充要条件稳定的充要条件： 即系统矩阵即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部。的全部特征值位于复平面左半部。Axx 0)0(xxRe()0ini, 2 , 10t（2）李氏

16、）李氏渐近稳定的充要条件渐近稳定的充要条件：0)(Reini, 2 , 1 2.非线性系统的稳定性分析：非线性系统的稳定性分析： 假定非线性系统在平衡状态附近可展开成泰假定非线性系统在平衡状态附近可展开成泰劳级数，可用线性化系统的特征值判据判断非劳级数，可用线性化系统的特征值判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定性。线性系统的平衡状态处的稳定性。 设非线性系统状态方程：设非线性系统状态方程： 在平衡状态在平衡状态 附近存在各阶偏导数，于附近存在各阶偏导数，于是：是： )(xfx )(xf-非线性函数非线性函数0ex()()( )eeeTx xfxf xxxg xx其中其中：)(xg-级数展开式中

17、二阶以上各项之和级数展开式中二阶以上各项之和exxnnnnnTxfxfxfxfxfxfxf2112111雅可比矩阵雅可比矩阵 令令 则则线性化系统方程为线性化系统方程为： Tnffff21Tnxxxx21()exxf x exxxexxTxfAxA x (1)若若 ，则非线性系统，则非线性系统在在 处是渐近稳定的，与处是渐近稳定的，与 无关；无关；(2)若若 则非线性系统在则非线性系统在 是不稳定；是不稳定； exRe()0ini, 2 , 1ex)(xgRe()0iRe()0jnji, 1结论：结论：(3)若若 ，稳定性与稳定性与 有关有关，即非线性，即非线性系统平衡状态系统平衡状态 的稳定

18、性与函数展开的高阶的稳定性与函数展开的高阶项项 有关。有关。 Re()0i)(xgex)(xgTeTexx1 , 1 ,0 , 02121222111xxxxxxxx，要考虑高阶项。，系统的特征值为处线性化，得处不稳定；，系统在，系统的特征值为处线性化，得1-A11-1-001A11eeexxx例：系统的状态方程为：例：系统的状态方程为：系统的平衡状态系统的平衡状态12122212211111xxxxxfxfxfxfxfATeTekxx0,0021，21221sinbxxaxxx性化后原点的稳定性。轴上，此时不能确定线时，系统的特征值在虚当0b例：单摆系统的状态方程为：例：单摆系统的状态方程为

19、：系统的平衡状态系统的平衡状态处渐近稳定；时，系统在当，系统的特征值为处线性化，得122, 110,24-10AeexbaabbbaxbxaxfxfxfxfxfA122122111cos10;0, 024-, 0)(1A4,2, 0222, 12处稳定时系统在，当系统的特征值为，系统的特征多项式处线性化，得eexbaabbabfbaxbxaxfxfxfxfxfA122122111cos10;0, 024-, 0)(1A3,222, 12处不稳定时系统在，当系统的特征值为，系统的特征多项式处线性化，得eexbaabbabfbax非线性系统各个平衡点的稳定性不相同。非线性系统各个平衡点的稳定性不相

20、同。（1）以上的稳定性指系统的状态稳定性，）以上的稳定性指系统的状态稳定性，称为系统的称为系统的内部稳定性内部稳定性，即，即有界输入、有界有界输入、有界状态（状态（BIBS）稳定。）稳定。 （2）任意有界输入）任意有界输入 作用下，均有输出作用下，均有输出 有界，称为系统有界，称为系统外部稳定性外部稳定性，即，即有界输入、有界输入、有界输出（有界输出（BIBO）稳定。）稳定。)(tu)(ty3. BIBS稳定与稳定与 BIBO稳定稳定4.外部稳定性与内部稳定性之间的关系外部稳定性与内部稳定性之间的关系对于线性系统，传递函数为对于线性系统，传递函数为)()()()()(1sDsNAsIBAsIC

21、adjBAsICsG传递函数的极点决定系统的外部稳定性。传递函数的极点决定系统的外部稳定性。线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述系统的特征值决定系统的内部稳定性。系统的特征值决定系统的内部稳定性。CxyBuAxx（1）若传递函数无零极点对消）若传递函数无零极点对消传递函数无零极点对消传递函数无零极点对消，则传递函数的极点与系统的，则传递函数的极点与系统的特征值相同，特征值相同，内部稳定性等价与外部稳定性内部稳定性等价与外部稳定性。（2）若传递函数有零极点对消）若传递函数有零极点对消传递函数有零极点对消传递函数有零极点对消，则传递函数的极点少于系统，则传递函数的极点少于系统的特征值数，传

22、递函数极点只是系统矩阵的特征值数，传递函数极点只是系统矩阵A的特征值的特征值的子集，可能消去的是正实部的极点，则系统可能具的子集，可能消去的是正实部的极点，则系统可能具有有外部稳定性，但不一定具有内部稳定性外部稳定性，但不一定具有内部稳定性。（3）若系统是）若系统是既能控又能观测的，则内部稳定与外部既能控又能观测的，则内部稳定与外部稳定等价。稳定等价。例：系统的状态空间表达式为：xyuxx01111001分析系统的内部稳定和外部稳定。（1）系统A的特征方程：特征值 ，系统的状态不是渐近稳定的。0) 1)(1()det(AI11-21，（2）系统的传递函数为：11) 1)(1(111100101

23、)()(11ssssssBAsICsG系统的传递函数的极点位于左半平面，所以系统输出稳定。系统具有正实部的极点被系统的零点对消了，所以系统的输入输出特性中没有表现出来。当系统的传递函数不出现零极点对消，且系统矩阵当系统的传递函数不出现零极点对消，且系统矩阵A的特征值的特征值与传递函数的极点相同时，系统的与传递函数的极点相同时，系统的BIBS和和BIBO稳定性相一致。稳定性相一致。 1、标量函数的正定性、标量函数的正定性 如果对所有在域如果对所有在域 中的非零状态向量中的非零状态向量0 x0)(xV且在且在x = 0处有处有0)0(V则在域则在域 （域（域 包含状态空间的原点）内包含状态空间的原

24、点）内的标量函数的标量函数)(xV称为正定函数称为正定函数。预备知识预备知识如果时变函数如果时变函数),( txV由一个定常的正定函数作为下限，即存在由一个定常的正定函数作为下限，即存在一个正定函数一个正定函数)(),(xVtxV0tt 0), 0(tV0tt 则称时变函数则称时变函数),(txV在域在域 （ 包含状态空间原点）内是包含状态空间原点）内是正定函数正定函数。)(xV2、标量函数的负定性、标量函数的负定性 如果如果 )(xV是是正定函数正定函数，则标量函数，则标量函数)(xV3、标量函数的正半定性、标量函数的正半定性 如果标量函数如果标量函数)(xV 除了原点以及某些状态等除了原点

25、以及某些状态等于零外，在域于零外，在域 内的所有其它状态都是正定的内的所有其它状态都是正定的，则则)(xV称为称为正半定正半定标量函数。标量函数。称为称为负定函数负定函数。 4、标量函数的负半定性、标量函数的负半定性 如果如果 )(xV是是正半定函数正半定函数，则标量函数，则标量函数)(xV)(xV既可为正值，也可为负值时既可为正值，也可为负值时，则标量函数，则标量函数)(xV称为称为不定的标量函数不定的标量函数。称为称为负半定函数负半定函数。5、标量函数的不定性、标量函数的不定性如果在域如果在域 内，内，不论域不论域 多么小多么小，22212)(xxxV22222112xxxxV）（ 1、2

26、21)()(xxxV22121)23()(xxxxV 4、2221)xxxxV（正定的正定的2、正半定的正半定的3、负定的负定的5、不定的不定的正定的正定的 6、二次型函数二次型函数 建立在建立在Lyapunov第二法基础上的稳定性分析第二法基础上的稳定性分析中，有一类标量函数起着很重要的作用，即中，有一类标量函数起着很重要的作用，即二二次型函数次型函数（每项的次数都是二次）。例如，（每项的次数都是二次）。例如，nnnnnnnnTxxxpppppppppxxxPxxxV2121222211121121）（ 注意，这里的注意，这里的x为实向量，为实向量，P为实对称矩阵。为实对称矩阵。二次型函数二

27、次型函数 的定号性的定号性)(xV二次型函数二次型函数的的正定性可用赛尔维斯特准则正定性可用赛尔维斯特准则判断。判断。（1）正定：正定：二次型函数二次型函数 为正定的充要条件为正定的充要条件是矩阵是矩阵P的所有的所有主子行列式均为正值主子行列式均为正值，即，即 )(xV0, 0, 02122221112112212121111nnnnnnpppppppppppppp（2）正半定：正半定：如果如果P是非奇异矩阵，且是非奇异矩阵，且它的它的所有主子行列式均非负，所有主子行列式均非负，则则 是是正半定的正半定的PxxxVT)(),(n-,knk12100)(xV是正定的，则是正定的，则 是负定的是负

28、定的。)(xV（3）负定：负定：二次型函数为负定的充分必要条件是，二次型函数为负定的充分必要条件是，P的各阶主子式满足的各阶主子式满足n,kkkn,kkkk2100210) 1(为奇数为偶数即)(xV是正半定的，则是正半定的，则 是负半定的是负半定的。)(xV（4）负半定：负半定：二次型函数为负定的充分必要二次型函数为负定的充分必要条件是，条件是，P的各阶主子式满足的各阶主子式满足0121k0k0nn,kk为奇数为偶数例例 试证明下列二次型是正定的。试证明下列二次型是正定的。V xxxxx xx xx x( ) 104224122232122313二次型二次型)(xV可写为可写为3213211

29、121412110)(xxxxxxPxxxVT 利用赛尔维斯特准则，可得利用赛尔维斯特准则，可得01121412110, 041110, 010 因为矩阵因为矩阵P的所有主子行列式均为正值，所以的所有主子行列式均为正值，所以)(xV是正定的。是正定的。5.4 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法(直接法直接法)李氏第二法又称直接法，可以在不求出状态方程李氏第二法又称直接法，可以在不求出状态方程的解条件下直接确定系统的稳定性的解条件下直接确定系统的稳定性 尽管采用尽管采用Lyapunov第二法分析非线性系统的稳定第二法分析非线性系统的稳定性时，需要相当的经验和技巧，然而当其它方法无性时，需要相当的经

30、验和技巧，然而当其它方法无效时，这种方法却能解决非线性系统的稳定性问题。效时，这种方法却能解决非线性系统的稳定性问题。 RLC电路，选取电感电流电路，选取电感电流 和电容电压和电容电压 作为状态变量，作为状态变量，12211C1L1-LRxxxxx1)(xti2)(xtuc系统的平衡状态系统的平衡状态xe=0，电路总能量：，电路总能量：能力的变化率能力的变化率22212121)(CxLxTSxV212211)(RxxCxxLxxV1. ，系统总能量不变，响应为等幅振荡，李氏意义下稳定； 2. ，系统总能量衰减，李氏意义下渐近稳定。0)(,0 xVR0)(,0 xVR干扰使系统偏离平衡状态，系统

31、具有正能量，产生自由干扰使系统偏离平衡状态，系统具有正能量，产生自由运动；能量变化率表明能力是不断消耗、维持不变、增运动；能量变化率表明能力是不断消耗、维持不变、增大，导致系统稳定性变化。大，导致系统稳定性变化。 由力学经典理论可知，对于一个振由力学经典理论可知，对于一个振动系统，当系统总能量（动系统，当系统总能量（正定函数正定函数）随）随着时间连续减小（这意味着总能量对时着时间连续减小（这意味着总能量对时间的间的导数必然是负定的导数必然是负定的），直到平衡状），直到平衡状态时为止，则振动系统是稳定的。态时为止，则振动系统是稳定的。1.Lyapunov函数函数(李氏函数李氏函数)Lyapuno

32、v第二法是建立在更为普遍的情况第二法是建立在更为普遍的情况之上的，即：之上的，即：如果系统有一个渐近稳定的如果系统有一个渐近稳定的平衡状态，则当其运动到平衡状态的邻域平衡状态，则当其运动到平衡状态的邻域内时，系统存储的能量随着时间的增长而内时，系统存储的能量随着时间的增长而衰减，直到在平稳状态达到极小值为止。衰减，直到在平稳状态达到极小值为止。若能找到描述上述过程的能量函数，系统若能找到描述上述过程的能量函数，系统的稳定性问题也就容易解决。然而对于一的稳定性问题也就容易解决。然而对于一些纯数学系统，毕竟还没有一个定义些纯数学系统，毕竟还没有一个定义“能能量函数量函数”的简便方法。的简便方法。为

33、了克服这个困难，为了克服这个困难，Lyapunov引出了一引出了一个个虚构的能量函数，称为虚构的能量函数，称为Lyapunov函数。函数。当然，这个函数无疑比能量更为一般，并当然，这个函数无疑比能量更为一般，并且其应用也更广泛。实际上，且其应用也更广泛。实际上，任一标量函任一标量函数只要满足数只要满足Lyapunov稳定性定理的假设稳定性定理的假设条件，都可作为条件，都可作为Lyapunov函数函数（可能十（可能十分困难）。分困难）。Lyapunov函数与函数与 和和t有关，我们用有关，我们用nxxx,21),(21txxxVn),(txV来表示来表示Lyapunov函数。如果在函数。如果在L

34、yapunov函数中函数中不含不含t，则用，则用),(21nxxxV)(xVdttxdVtxV/ ),(),(其对时间的导数其对时间的导数2.Lyapunov第二法第二法Lyapunov第二法直接利用能量函数的符第二法直接利用能量函数的符号特征，提供了判断平衡状态处的稳定性、号特征，提供了判断平衡状态处的稳定性、渐近稳定性或不稳定性的准则，而不必直渐近稳定性或不稳定性的准则，而不必直接求出方程的解（这种方法既适用于线性接求出方程的解（这种方法既适用于线性系统，也适用于非线性系统）系统，也适用于非线性系统）。其平衡状态满足其平衡状态满足 ，假定状，假定状态空间原点作为平衡状态态空间原点作为平衡状

35、态( )，并，并设在原点邻域存在设在原点邻域存在 对对 x 的连续的连续的一阶偏导数。的一阶偏导数。),(txfx 0), 0(tf0ex),(txV设系统状态方程：设系统状态方程：n定理定理1：若若(1) 是是正定正定的；的； (2) 是是负定负定的；的； 则系统在原点处的平衡状态是则系统在原点处的平衡状态是渐近稳定渐近稳定的。的。 说明：说明： 负定能量随时间连续单调衰减。负定能量随时间连续单调衰减。),(txV),(txV),(txVx),(txV则在原点处的平衡状态是大范围一致渐近稳定的则在原点处的平衡状态是大范围一致渐近稳定的。进一步地，若进一步地，若物理含义：物理含义：李氏函数李氏

36、函数 是一个能量函数，一是一个能量函数，一定为正定的定为正定的 。随系统的运动能量在逐渐。随系统的运动能量在逐渐减小，则减小，则 。能量最终耗尽，系统又回到。能量最终耗尽，系统又回到平衡状态，则系统渐近稳定。平衡状态，则系统渐近稳定。注意：注意：该定理给出的是该定理给出的是系统渐近稳定的充分条件系统渐近稳定的充分条件，即如果能找到满足定理的李氏函数，则系统一定是即如果能找到满足定理的李氏函数，则系统一定是渐近稳定的。但渐近稳定的。但如果找不到这样的李氏函数，并不如果找不到这样的李氏函数，并不意味系统是不稳定的。意味系统是不稳定的。) tx,(V0) tx,(V0) tx,(V该定理本身并没有给

37、出能量函数的建立。该定理本身并没有给出能量函数的建立。一般情况，一般情况，v(x)是不唯一的。通常是不唯一的。通常V(x)可取为二次型函数，即可取为二次型函数，即其中其中P阵的元素可以时变，可以定常。阵的元素可以时变，可以定常。PxxxVT）（ 例例1：已知非线性系统的状态方程为：已知非线性系统的状态方程为： 试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。解：解：)(2221121xxxxx)(2221212xxxxx令令01x 02x 01x02x原点是系统的唯一平衡点。原点是系统的唯一平衡点。 选取李氏函数选取李氏函数 则则2221)(xxxV2.21.1.22)(x

38、xxxxV22221.)(2)(xxxV0)( 0.xVx0)( 0.xVx)(.xV负定负定1)原点是渐近稳定的原点是渐近稳定的；2)只有一个平衡状态，该系统是大范围只有一个平衡状态，该系统是大范围渐近稳定；渐近稳定；3)由于由于V(x)与与t无关，又是大范围一致渐近无关，又是大范围一致渐近稳定。稳定。定理1n几何意义：几何意义：)()(22212221ccxxxV等能量轨迹等能量轨迹(整个平面整个平面)1c2c),(2010 xx2x1x例： 线性时变系统，试判断其原点 是否是大范围渐近稳定。解：0exxtx101110) 1(21) 1(210021),(2221xtxxtxtxvT22

39、222211)21910() 1(21(),(xtxxtxxxtxv),(limtxvx系统在原点大范围渐近稳定系统在原点大范围渐近稳定定理定理2：稳定性稳定性 若若(1) 正定；正定； (2) 负半定；负半定； (3) 在非零在非零状态存在某个状态存在某个x值使它恒为零；值使它恒为零；则系统则系统在平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。在平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。 ),(.txV),(txV.0 ( ;, ), V x t x t t( , )V x t 始终为零，表明能量不再变化，系始终为零，表明能量不再变化，系统的运动不会趋于平衡点，而是统的运动不会趋于平衡点，而是等幅振荡状等幅振荡

40、状态，即系统可以保持在一个极限环上态，即系统可以保持在一个极限环上。在这种情况下，原点处的平衡状态称为在在这种情况下，原点处的平衡状态称为在Lyapunov意义下是稳定的。意义下是稳定的。 例例2：试判断下列线性系统平衡状态的稳：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。定性。解：设解：设 则则 故系统是李雅普诺夫意义下的稳定。故系统是李雅普诺夫意义下的稳定。 )0( 21.kkxx 12.xx 02.1. xx 021 xx2221)(kxxxV.1212( )220V xkx xkx x定理2定理定理3：若若(1) 正定；正定； (2) 负半定；负半定； (3) 在非零在非零状态不恒为零状态不恒

41、为零，则平衡状态是渐近稳定，则平衡状态是渐近稳定的的。),(.txV),(txV.0 ( ;, ), V x t x t t),(txV说明：当说明：当 是负半定时，是负半定时，附加了条件附加了条件 不恒等于零。不恒等于零。 负半定，意味负半定，意味 能量为常数，不会再减小。系统的状态能量为常数，不会再减小。系统的状态x距平距平衡点的距离为一常数，系统一定不是渐近稳定衡点的距离为一常数，系统一定不是渐近稳定的。的。附加条件后，仅仅只在某个时刻暂为零，其它附加条件后，仅仅只在某个时刻暂为零，其它时刻均为负，表明系统的能量的衰减不会停止。时刻均为负，表明系统的能量的衰减不会停止。0 x0),(.t

42、xV),(.txV0),(0 x.txV 恒等于零，系统地运动轨迹将落在特定的曲面上，意味运动不会收敛到平衡点。对应非线性系统中出现极限环或线性系统的临界稳定； 不恒等于零，系统地运动轨迹只在某个时刻与特定曲面相切，运动轨迹通过切点后并不停留而继续运动向平衡点收敛，系统仍为渐近稳定。)(xV)(xV 例例3：试判断下列线性系统平衡状态的稳：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。定性。解：解：1) 21xx 212xxx令令02x 01x02x01x 即原点是平衡状态。即原点是平衡状态。2221)(xxxV22.2)(xxV设设 0)( 0 , 0.21xVxx0)( .xV)(.xV其它其它 负

43、负半定半定当当0 x01x02x0)(.xV系统在李氏意义下是稳定的。是否是渐近稳定？系统在李氏意义下是稳定的。是否是渐近稳定？ 02x 0)( 0 , 0?.21xVxx02)( 22.xxV)(.xV假设假设 要求要求为此，需要进一步分析为此，需要进一步分析02x状态方程看：状态方程看：则则212xxx要求要求 必需必需 在在 时，时， 不可能衡为零。不可能衡为零。0, 022xx 01x01x 0)(.xV01x02x只有全零解只有全零解0 x非零状态时非零状态时0)(.xV原点原点 是渐近稳定，且是大范围是渐近稳定，且是大范围一致渐近稳定。一致渐近稳定。0ex定理3 如果选择另一个李氏

44、函数如果选择另一个李氏函数 2121222122112121232)(21)(xxxxxxxxxV正定的正定的)(2)()(222122112121xxxxxxxxxxxV负定的负定的定理定理4：若若 (1) 正定；正定； (2) 正定正定 则系统的平衡状态是不稳定的。则系统的平衡状态是不稳定的。说明：说明： 正定正定 能量函数随时间增能量函数随时间增大，大， 在在 处发散。处发散。),(txV),(.txV),(.txV00( ;, )x t x tex 线性系统不稳定线性系统不稳定 非线性系统不一定非线性系统不一定v推论推论1：当：当 正定，正定， 正半定，正半定，且且 在非零状态不恒为零

45、时，在非零状态不恒为零时，则原点不稳定。则原点不稳定。v推论推论2： 正定，正定， 正半定，若正半定，若 ， ，则原点是李雅普诺，则原点是李雅普诺夫意义下不稳定夫意义下不稳定(同定理同定理3)。原点不稳定原点不稳定),(txV),(.txV.0 ( ;, ), V x t x t t),(txV),(.txV0 x0),(.txV 例例4：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。解解: 设设 则则 可见可见 与与 无关，故非零状态无关，故非零状态( 如如 )有有 ，而对其余任意状态有，而对其余任意状态有21221 xxxxx0 21 xx0 21 xx0ex2

46、221)(xxxV22.2)(xxV)(.xV1x01x02x0)(.xV0)(.xV 故故 正半定。正半定。 令令 即非零状态时，即非零状态时， 不恒为零，则原点不不恒为零，则原点不稳定即系统不稳定。稳定即系统不稳定。)(.xV0, 00)(12.xxxV)(.xV推论1几点说明几点说明（1）李氏第二法分析稳定性关键是找到李）李氏第二法分析稳定性关键是找到李氏函数，李氏稳定性本身没有提供构造李氏函氏函数，李氏稳定性本身没有提供构造李氏函数的一般方法。李氏函数是一个数的一般方法。李氏函数是一个标量函数标量函数，对，对于于渐近稳定的平衡状态，李氏函数总是存在的渐近稳定的平衡状态，李氏函数总是存在

47、的，对于对于渐近稳定的线性系统渐近稳定的线性系统，李氏函数一定可用，李氏函数一定可用二次型函数二次型函数 构造。构造。PxxxVT)(几点说明几点说明(2) 这里仅给出了充分条件这里仅给出了充分条件，也就是说，如，也就是说，如果我们构造出了果我们构造出了Lyapunov函数函数，那么系统是，那么系统是渐近稳定的。但渐近稳定的。但如果我们找不到这样的如果我们找不到这样的Lyapunov函数，我们并不能给出任何结论，函数，我们并不能给出任何结论，例如我们不能据此说该系统是不稳定的。例如我们不能据此说该系统是不稳定的。(3) 对于非线性系统对于非线性系统，通过构造某个具体的，通过构造某个具体的Lya

48、punov函数，函数，可以证明系统在某个稳定域可以证明系统在某个稳定域内是渐近稳定的，但这并不意味着稳定域外的内是渐近稳定的，但这并不意味着稳定域外的运动是不稳定的运动是不稳定的。对于线性系统，如果存在渐对于线性系统，如果存在渐近稳定的平衡状态，则它必定是大范围渐近稳近稳定的平衡状态，则它必定是大范围渐近稳定的。定的。(4) 我们这里给出的稳定性定理，既适合于线我们这里给出的稳定性定理，既适合于线性系统、非线性系统，也适合于定常系统、时性系统、非线性系统，也适合于定常系统、时变系统，具有极其一般的普遍意义变系统，具有极其一般的普遍意义。(5). 选取不唯一，但没有通用选取不唯一，但没有通用办法

49、，选取不当办法，选取不当 ，会导致，会导致 不定的结果不定的结果。 这仅仅是充分条件。这仅仅是充分条件。),(txV),(.txV(6). -单调衰减单调衰减(实际上是衰减振荡实际上是衰减振荡),(.txV),(txV 线性系统与非线性系统的稳定性比较线性系统与非线性系统的稳定性比较在线性定常系统中，若平衡状态是局部在线性定常系统中，若平衡状态是局部渐近稳定的，则它是大范围渐近稳定的渐近稳定的，则它是大范围渐近稳定的，然，然而而在非线性系统中，不是大范围渐近稳定的在非线性系统中，不是大范围渐近稳定的平衡状态可能是局部渐近稳定的平衡状态可能是局部渐近稳定的。因此，线。因此，线性定常系统平衡状态的

50、渐近稳定性的含义和性定常系统平衡状态的渐近稳定性的含义和非线性系统的含义完全不同。非线性系统的含义完全不同。 Lyapunov第二法的步骤：第二法的步骤：1)构造一个正定构造一个正定 二次型函数；二次型函数；2)求求 ，并代入状态方程；，并代入状态方程；3)判断判断 的定号性；的定号性；4)判断非零情况下，判断非零情况下， 是否为零。是否为零。),(txV),(.txV),(.txV.0 ( ;, ), V x t x t t渐近稳定渐近稳定李氏稳定李氏稳定不稳定不稳定5.5 线性定常系统渐近稳定性判别法线性定常系统渐近稳定性判别法1. 设系统状态方程为：设系统状态方程为： 为唯一平衡状态。为

51、唯一平衡状态。 设选取如下的设选取如下的正定二次型函数正定二次型函数 为李氏函数为李氏函数 则则：Axx A-非奇异矩阵非奇异矩阵0ex)(xV( )TV xx Px将将 代入：代入：Axx .( )()TTTTV xx Pxx P xxA PPA x令令 由渐近稳定性定理由渐近稳定性定理1，只要，只要Q正定正定(即即 负定负定)，则系统是大范围一，则系统是大范围一致渐近稳定。致渐近稳定。TA PPAQ QxxxVT)(.)(.xV 定理定理：系统系统 在平衡状态在平衡状态 大大范围渐近稳定的充要条件为范围渐近稳定的充要条件为: 给定一正定实对称矩阵给定一正定实对称矩阵Q，存在唯一，存在唯一的

52、正定实对称矩阵的正定实对称矩阵P使使 成立，则标量函数成立，则标量函数 为系统为系统的一个李氏函数。的一个李氏函数。 Axx TA PPAQ ( )Tx PxV x0ex方法方法1：1.给定正定矩阵给定正定矩阵Q，Q=I 2.设设P为实对称矩阵为实对称矩阵 3.解矩阵方程解矩阵方程 4.判断判断P的正定性，若的正定性，若P正定，正定，则系统渐近稳定，且则系统渐近稳定，且 为李为李氏函数。氏函数。 方法方法2：Q取正半定取正半定(定理定理2)允许单位矩允许单位矩 阵主对角线上部分元素为零阵主对角线上部分元素为零 负负半定。半定。 TA PPAQ ( )Tx PxV x)(xV 例例1：解：选取解

53、：选取xx11100ex( )TV xx PxTA PPAQ 11121112122212220101 11111001pppppppp 1212 p0221211ppp1222212 pp121212322121211pppp02311p0121212322121211ppppP正定正定 是大范围一致渐近稳定是大范围一致渐近稳定ex2211221(322)02TVx Pxxx xx)(2221.xxV 2.线性定常离散系统渐近稳定性判别线性定常离散系统渐近稳定性判别 设系统状态方程：设系统状态方程： 其中其中 - - 非奇异阵，非奇异阵， 是平衡状是平衡状态。态。 设设)() 1(kxkx0

54、ex ( )( )( )TV x kxk Px k ( ) (1) ( )(1)(1)( )( )( )( )( )( )( ) ( )TTTTTTV x kV x kV x kxkPx kxk Px kx kPx kxk Px kxkPP x k 令令TPPQ 李氏代数方程李氏代数方程)()()(kQxkxkxVT定理定理：系统：系统 渐近稳渐近稳定的充要条件为：定的充要条件为：)() 1(kxkx给定任一正定实对称阵给定任一正定实对称阵Q，存在一个正定实，存在一个正定实对称对称P，使式，使式 成立，成立，TPPQ 则则 是系统的一个李氏函数。是系统的一个李氏函数。( )( )Txk Px

55、k例：设离散时间系统的状态方程为例：设离散时间系统的状态方程为 试确定系统在平衡点处是大范围内渐近稳试确定系统在平衡点处是大范围内渐近稳定的条件。定的条件。解：根据稳定定理知解：根据稳定定理知)(00) 1(21kXkXIPPGGT 1001000022121211212212121121ppppppppP为正定。即为正定。即 满足上述条件必有满足上述条件必有 即只有当传递函数的极点位于单位圆内，系统即只有当传递函数的极点位于单位圆内，系统在平衡点处才是大范围内渐近稳定的。在平衡点处才是大范围内渐近稳定的。 1001)1()1()1()1(2222211221122111pppp1)1 (0)

56、1 (1)1 (222221122111ppp0, 0212221111PPPP11, 1121 二、线性时变系统的稳定性分析二、线性时变系统的稳定性分析定理：定理：若系统若系统 的矩阵的矩阵A是是 t 的函数（即时变函数），则系统的函数（即时变函数），则系统在平衡点在平衡点Xe=0 处是大范围内渐近稳处是大范围内渐近稳定的充要条件为：对于任意给定连续定的充要条件为：对于任意给定连续对称正定矩阵对称正定矩阵Q(t)，存在一个连续对，存在一个连续对称正定矩阵称正定矩阵P(t)，使得，使得)()(tXtAX )()()()()()(tQtAtPtPtAtPT而系统的李亚普诺夫函数是而系统的李亚普诺

57、夫函数是)()()(),(tXtPtXtXVT证明证明：设李亚普诺夫函数是)()()(),(tXtPtXtXVT则则P(t)必是正定且对称矩阵，其必是正定且对称矩阵，其)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()( )()()()()()()(tXtQtXtXtAtPtPtPtAtXtXtAtPtXtXtPtXtXtPtAtXtXtPtXtXtPtXtXtPtXtXtPtXtXtPtXtVTTTTTTTTTTTT 由定理可知，由定理可知，当当P是正定对称矩阵时，若是正定对称矩阵时，若Q也是一也是一个正定对称矩阵，则个正定

58、对称矩阵，则 是负定的，系统便是渐是负定的，系统便是渐近稳定的。近稳定的。),(tXV)()()()()()(tAtPtPtPtAtQT) t (Q)()()()()(PtAtPtPtAtT矩阵方程属于黎卡蒂矩阵方程属于黎卡蒂(Riccati)矩阵微矩阵微分方程，其解为分方程，其解为 ttTTdtQttttPtttP0),()(),(),()(),()(000 式中，式中， 是时变系统是时变系统 的状态转移矩阵的状态转移矩阵),(t )()()(tXtAtX )(0tP是黎卡蒂矩阵方程的初始条件。是黎卡蒂矩阵方程的初始条件。若取若取IQtQ )( ttTTdtttttPtttP0),(),()

59、,()(),()(000所以根据所以根据P(t)是否具有连续、对称和正是否具有连续、对称和正定性来分析线性定性来分析线性时变系统的稳定性。时变系统的稳定性。且李氏函数为且李氏函数为)()()(),(tXtPtXtXVT 如果要检验非线性系统平衡状态的渐近稳定性，则如果要检验非线性系统平衡状态的渐近稳定性，则非线性系统的线性化模型稳定性分析远远不够。必非线性系统的线性化模型稳定性分析远远不够。必须研究没有线性化的非线性系统。有几种基于须研究没有线性化的非线性系统。有几种基于Lyapunov第二法的方法可达到这一目的，包括用第二法的方法可达到这一目的，包括用于判断非线性系统渐近稳定性充分条件的克拉

60、索夫于判断非线性系统渐近稳定性充分条件的克拉索夫斯基方法、用于构成非线性系统斯基方法、用于构成非线性系统Lyapunov函数的函数的Schultz-Gibson变量梯度法、用于某些非线性控变量梯度法、用于某些非线性控制系统稳定性分析的鲁里叶制系统稳定性分析的鲁里叶(Lure)法等。下面仅讨法等。下面仅讨论克拉索夫斯基方法。论克拉索夫斯基方法。5.6 Lyapunov第二法在非线性系统第二法在非线性系统中的应用中的应用定理定理:（克拉索夫斯基定理）（克拉索夫斯基定理）考虑如下非线性系统考虑如下非线性系统( )xf x式中，式中，x为为n维状态向量，维状态向量， 为为 )(xfnxxx,21的非线