七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场

1、第七章第七章 chraged particles in magnetic fields 和中心势场7.1 coupling to the electromagnetic field7.2 the hydrogen atom7.3 the spectrum of hydrogen atoms7.4 current in the hydrogen atoms7.5 the magnetic moment7.1 coupling to the electromagnetic field 电量为e的带电粒子在电磁场中运动, 在经典力学中，h为)c(bvef e电场力和磁场强度可以用相应的势能来表示ab

2、ae,1tc式中，）是库仑势能。，（是电磁矢量势能，t),(rrat在经典力学中，带电粒子的运动由哈密顿函数描述为e)ce-(2m1h2ap（1）（2）（3）所受的洛伦兹力为由此看出，在哈密顿量中， 正则动量p 由p-(e/c)a代替，规范gauge不变性，我们将它称为minimal coupling。哈密顿量的正则动量p （canonical momentum） 是动量mv和和(e/c)a之之和。.avpcem 将正则动量p用-i代替，根据坐标表象的量子化规则，得到哈密顿量e)ce-(2m1h2ai（4）（5）计算平方，注意梯度和矢量势能不对易， 得到e2mce)(2imc2mh2222aa

3、ae（6）e2mce2mc2mc2mh2222aaaieiea和不是唯一的，而是规范相关的,特别是在库仑规范中. 0 a利用电磁场的横波条件, 成立.应用动量算符的等式-i22222mce2mce2mhapape22202mce2mchapaeh（7）h0表示粒子在电磁场中运动的哈密顿量。 粒子与电场的耦合由ap来表示。当场强较小时， 第三项可略去。如果a描述的是一个平面电磁波，上式中的耦合项将发生辐射跃迁（发射和吸收）。那么，粒子在电磁场中的态由薛定谔方程的解给出。tiemce2)/(2ap（8）ehrenfests theorem 对薛定谔方程也具有规范不变性.下面我们将予以证明. 规范不

4、变性意味着: 如果我们进行下面的势和变换. 薛定谔方程的解描述的是同一个物理态),(tc1- ),(tfandtfaarrf(r, t) 是任意函数. 通过引入矢量及其四分量之间的关联式（9）（10）4 , 3 , 2 , 1 , ,iaaxfaanx1=x, x2=y, x3=z, x4=ict 如果我们用h表示最初的哈密顿势，即tihh（11）和只是相因子不同。如果规范变换并不改变物理量，在 乘积中，只是相因子消失了。),(exp(trfcie（12）代入到（11）式中，)exp()exp()exp()()exp(2)/()/(2fcietfcefcietifcietfceefciemfc

5、eceap)(exp()(exp()exp()()(aaaapceifciefceceifciefciefceceice（13）（14）（15）再应用一次)/(apce算符，我们得到tihh这说明了通过规范变换，薛定谔方程（10）式tiemce2)/(2ap的解仍然描述了同一个物理量。态n和n只是相因子exp(ie/c)f(r,t)不同。由于物理观测量不受相因子的影响。显然，不是正则动量i（其表观值不是规范不变的）, 而是真正的动力学动量mv-i-(e/c)a （规范不变性）代表了观测量。这样，在物理问题中，如果存在电磁场， 出现动量算符p 算符 总是由 (e/c)a 来代替。这是量子力学保持

6、规范不变性的唯一的途径。然而，将势a和由量子力学来确定的话是不可能的。p p 下面我们对量子力学中的规范不变性基本思想进行总结。电磁场a(x)的规范变换为4 , 3 , 2 , 1 , ,iaaxfaan在这已经脱离了电磁观测量，即电场和磁场不发生变化。四动量算符为, ,321ceiictxxxipp（16）（17）appce 最小耦合通过下列替换实现（18）在量子力学中，规范变换（16）必须由波函数的相变换来补充)(exp()()(fciexxp)()(exp()()(exp()()(xcepxfciexxfciexfcecepcepaaa（19）（20）那么成立。)()()()()()(x

7、xvxxxvxifif)()()()()()(xacepfxxacepfxifif我们可以确定，通过规范变换，上述观测量是不变的。对4，可取1，2，3（20）式的右边正好等于（13）的右边。（22）（21）the hydrogen atom 中心势场在氢原子中，电子和质子相互吸引，吸引力为e2/r2, 相应的势为e2/r，r为相对运动的坐标。我们选择质子为坐标系统的中心，质量m为电子的折合质量（折合质量（reduced mass）)183611 (/1epeemmmmm（23）由于为中心势，我们采用球对称坐标，则定态薛定谔方程为)2()(22rempvteh（24）)2(22rempe)11(

8、,22222rrrrrp动量算符的平方为222222zyxcos,sinsin,cossinrzryrx222)( ip根据p77页角动量算符在球坐标系中的表示)2(22rempererrrrrme2,2222)11(2relrrrrrme2222222)11(2,222222222sin1(sinsin1zyxllll（24a）remlrrrrrem222222222)11(2rerrrrrme2,2222)11(20)(2)11(2222222reemlrrrrr（24b）分成了径向部分和与角动量部分相关的转动部分，从而可以分离变量),()(),(yrrrr0),()(1,()()(2)(

9、1(2222222yrrrlryrrrreemrrrrrrr代入(24b)22222222222)(1)()()(1)()(1)()(1)(1rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr0),()(),()()(2)(12222222yrrrrlyrrrreemrrrr0),(),()()()(2)()(122322223ylyrrrrrrreemrrrrrrr等式两边同乘以如r3r(r )0),(),()(2)()(22222222ylyrreemrrrrrr),(),()(2)()(22222222yylrreemrrrrrr),(),(22ylyl)

10、1(22lll) 1(22lll) 1() 1()(2)()(22222222llllrreemrrrrrr两边同乘以r(r )/r2, 得0)() 1()()(2)(22222rrrllrrreemrrr0)(1) 1()(2)(22222rrrllreemrrr),() 1(),(,2.2mlmlyllyl 0)(1) 1()(2)(22222rrrllreemrrr 由于能量e值出现在径向部分，找到能谱，只需求解径向部分。对于球谐函数，能量只依赖于波函数的径向部分。由归一化1)()(, 10*rrrrdvll由球谐函数的分离性和正交性，我们只需确定束缚态（bound)， 它的能量本征值取

11、负值。(1)当r0， 角动量项取决定作用0) 1(222llrrllrr设r(r )可由幂级数展开，并略去高次项，.)1 ()(221rararrr0) 1(222llrrllrr代入上式得0) 1() 1(22rllr该方程的解为l+1, -l, 当-l， 为三维谐振子（oscillator）, l+1, 其解也一样。(2)当r， 角动量项取决定作用0)(1) 1()(2)(22222rrrllreemrrr02222llermrr02222llermrr为了方便， 做替换em222由于束缚态能量必须去负值，上式的解设为rrbeaeu由于当r， 第二项趋于无穷大， 我们取掉第二项， 取试解)

12、()(1rferrrrll0)(1) 1()(2)(22222rrrllreemrrr代入0)1()22(22fkldzdfzldzfdz22 ,2mekrz0)1()22(22fkldzdfzldzfdz与谐振子得出的方程非常相似，即kummers differential equation. p140页(18), divergent);2 ; 1(),;()(1111xccafbxxcafaxc取掉总结中的第二项， 得到)2 ; 22 ,1(11rlklfcf归一化，导致能量量子化.2 , 1 , 0 ,1rrnnkl0,1,2n, 1nlnkrn称为主量子数, nr称为径向量子数。l称为

13、角动量量子数.em22222mek ameanaenmee53. 0 ,2112220202224a0称为（bohr）玻尔半径n=1, 为氢原子的结合能（binding energy）evaee6 .1321020氢原子的波函数为),()( ),()2 , 22 ,()(11,lmnlnllmnrnrlnlmlnyrrrnyrlnfernr0221nanmen归一化常数为1,)2()!1(2)!(1212/302/3lnnalnnlnlnrlnnl显然, 波函数的径向部分取决于量子数n和l，l的关系是分离变量导出的，与引进的l(l+1)与转动部分有关.n的关系称为本征值方程，它是波函数为平方可

14、积平方可积的结果。nlm是薛定谔方程的本征函数，本征值为的en, 量子数n和l的取值范围分别为0l(n-1), -lml. 每个能量本征值的简并度为n2.21010) 12(nlmnlnlllm能量 (en)取决于以下三个可同时的观测量1. the energy en=(-me4/2)(1/n2)2. the squared angular momentum 3. the projection of the angular momentum ion the z axis l.能级en以主量子数n为特征，量子数l表示角动量的大小，量子数m为角动量的z 分量。en, , 三个量的本质值可完全决定波

15、函数nlm。2l2ll对波函数nlm，在体积元 中发现电子的几率为drddrdvsin2dvrdvrwnlmnlm2),(),(),()()(,lmnlnlmlnyrrrnr 代入dydrrrdrdrrwdvrwlmnlnlmnlm222),()(),(),(在r到r+dr两个球面之间发现电子的几率为wnl(r ) drrrdrrrwdrwnlnlmnl)()(22例如， 对100， 几率为drrendrrwar2/2210100)(n10是归一化常数， 氢原子的波函数也可以用来描述只有一个电子的粒子态he+, li+,唯一的差别是用ze2(类氢原子)取代e2。如果处理原子电荷数大于1的原子，

16、就用a0/z取代a0,几率的最大值趋于1z，即电子在较强的库仑力的作用下进入靠近原子核的轨道。 函数 电子的最可几几率半径100态给出)(2rrnlameaar53. 0,22000这就是经典的玻尔半径。很具经典理论， 电子在半径为a0的轨道上作圆周运动。随主量子子数n的增加，电荷最大值的分布逐渐偏离原子核。根据径向量子数nr,一般有几个极大值，主极大和次极大。7.3 the spectrum of hydrogen atom氢原子能级的能量特征值为ameanaenmee53. 0,2112220202224电子从能级en 向en 跃迁的过程中, 原子发射能量为en en 的一个光子。代入en

17、 向en 的值，得到nnnnmennmenn),11(2)11(222242234频率为)11(22nnrnnr=me4/43=3.2710+15s-1, 称为rydberg 常数en称为谱项（spectrum term）, 谱项之间的差决定了频率nn随主量子数的增加，能级之间的间距减小 0lim 0lim1nnnnneeande如果能量为正，能量值靠得很近。连续性描述的是电离的原子。电离能为负的结合能。)111(22nr氢原子的lyman 系列, 频率为7.4 currents in the hydrogen atom电流密度算符)(2 ij氢原子的本征函数immlnlnllmnlnlmln

18、eprrrnyrrrnr)()(),()()(,应用球坐标系sin1,1,rrr电流密度的径向分量)(2nlmnlmnlmnlmnlmrrrijnlmnlmnlnlmlnlimmlnlimmlnlnlnlmnlmrrrrrrrrpneprrrreprrrnr)()()()()()()(222)(2nlmnlmnlmnlmnlmrrrij0)(2nlmnlmnlmnlmnlmrrrij因为rnl(r )和)(mlp是实函数。则我们立即得到0)11(2nlmnlmnlmnlmnlmrrij即jr=j=0, 这是非常合理的。因为径向部分的电流可能引起电荷向原子核集中，也可能经过一段时间以后从原子向外

19、发射。)11(2nlmnlmnlmnlmnlmrrijnlmnlmnlmnlmrr112sin)(sin1)(sin1(2nlmnlmnlmnlmnlmnlmrmimrimrij这意味着方位角的电流方位角的电流主要由方位角量子数m决定，)sin1sin1(2nlmnlmnlmnlmnlmrrij7.5 the magnetic moment设d是垂直于电流方向的一个面元，通过该面元的电流为di，djdi 根据电动力学我们知道， 绕平面f作圆周运动的电流di， 引起的磁动量为,)/(dicfdm 在z方向的分量为fdjcdicfdmz1,用-e乘以粒子的粒子流流密度得到电子的电流密度电流密度.2

20、2sinrf dzrsinrdrcmedrrcmefdjcdmnlmnlmzsinsinsin122222sinnlmnlmrmj设通过d面元的电流源的体积为dv， dv2rsind则z方向的磁动量分量方向的磁动量分量为cmemz222sinrf 归一化波函数的积分为1cemcmemmbbz2 ,2因为归一化波函数的整个积分为1， 在原子中没有其他的补充电补充电流流。则磁动量就是在z方向的分量。b称为玻尔磁子（bohr magneton）, 磁动量最大值的绝对值为bl, 最小值为0。角动量的z分量值lzm, 则相对于角动量的回旋因子（gyromagnetic factor, 又称为g因子），

21、它为磁动量m的绝对值与角动量 m 的比值。/zbzlmgbzmmm lz /因此， g=1， 磁动量以b为测量单位，角动量以为测量单位7.6 hydrogen like atom (213) 我们将最外壳层中有一个电子的离子或原子称为类氢原子一个电子的离子或原子称为类氢原子. 目前先暂时不考虑电子的自旋。 考虑到内部电子屏蔽效应屏蔽效应和原子核势能作用, 我们应用有效原子核电荷数zeff.代替原子核中的质子数z 。则) (24402202nlmrnlmreffdrrrzdrrezz为整个空间的电荷密度，求和是对所占据的外壳层外壳层进行求和。实际上，有效电荷数是由实验确定的，这为碱金属谱的提供了

22、一种可能描述方法。其定态薛定谔方程为ziedverzempiiijzjjijjjiiij,.2 , 1,)(22(1222r rr rr r第二、三项分别表示电子与原子核的互作用能和电子i与其余电子之间的互作用能。 通常用哈特（hartree method ）计算方法, 即某个电子i的势能为中心库仑势ze2/ri 和剩余的电子势能的叠加。7.7 spectrum of a diamtomic molecule m1m2r1r2r 我们定性地讨论双原子分子的能谱.假设双原子分子的势能是局域性的，并且不显含时间.则势能为位置的函数),(21rrvv 薛定谔方程中的laplacian 符号同样是双原

23、子分子的坐标的二次微分=1+22222222121zyx2222222222zyx与时间无关的定态薛定谔方程表示为),(),(),(),()22(21212121222112rrrrrrrrevmm为了求解问题方便,我们引入质心坐标r和相对坐标r, 是双原子双原子问题变成单原子问题问题变成单原子问题来处理。则下面的关系成立212211 ,mmmmmmrrr r21rrr只考虑x方向的分量， 质心在x方向的分量坐标212211 ,xxxmxmxmx则对x1和x2的导数为xxmmxxxmmx2211 ,222222222222121222)22(xxmxmxm21111mm称为折合质量（reduc

24、ed mass）),(),()(),()2),(2(22rrrrrrrrrevmrr薛定谔方程为rrrrrreeeff ),()(),(将薛定谔方程),(),()(),()2),(2(22rrrrrrrrrevmrr分成质心方程和相对运动方程质心方程和相对运动方程)()(22rrrrem)()()()(22rrrrrfefvfr 质心的运动方程中无势能无势能项，即质心的运动是自由的，可以用自由平面波来描述。 )()(22rremrrpr)exp()(icfp2 =2mer表示分子以整体形式在空间作自由运动。)()()()(22rrrrrfefvfr对相对运动部分，含中心势，通常应用分离变量法),()(),()(lmyrrrrffr其径向部分可以表示为)()()(2222rrrerwrrmrl22) 1(2)()(rllrvrwlwl(r )为有效势，它是真正势能v(r )和转动能l2/2r2之和。 为了得到能量本征值的定性描述， 我们来构建一个比较合理的势能：两原子相距较近时，它们之间存在排斥力排斥力（repulsive）；相距比较远时具有吸引力(attra