自编教材第七章材料弹性变形与内耗

1、第七章 材料弹性变形与内耗固体材料在受外力作用时，首先会产生弹性变形，外力去除后，变形消失而恢复原状，因此，弹性变形有可逆性的特点。材料的弹性变形是人们选择和使用材料的依据之一，近代航空、航天、无线电及精密仪器仪表工业对材料的弹性有更高要求，不仅要有高的弹性模量，而且还要恒定。另一方面，材料的弹性模量是组织不敏感参量，准确测定材料的弹性模量，对于研究材料原子的 相互作用和相变等都具有工程和理论意义。实际上，绝大多数固体材料很难表现出理想的弹性行为，或是材料在交变应力作用下，在弹 性范围内还存在非弹性行为，并因此产生内耗。内耗代表材料对振动的阻尼能力，作为重要的物 理性能，工程上有些零件要求材料

2、要有高的内耗以消振，如机床床身、涡轮叶片等，而有些零件 则要求材料有低的内耗，以降低阻尼，如弹簧、游丝、乐器等。另一方面，内耗是结构敏感性能， 故可用于研究材料的内部结构、溶质原子的浓度以及位错与溶质原子的交互作用等材料的微观结 构问题，是一种很有效的物理性能分析方法。第一节材料弹性变形一弹性模量及弹性变形本质在弹性范围内，物体受力的作用要产生应变，其应力和应变之间的关系符合胡克定律=E s,tG y P=K 0（7-1）式中，（X T和p分别为正应力、切应力和体积压缩应力； s 丫和0分别为线应变、切应变和体积 应变；比例系数E、G和K分别为正弹性模量（杨氏模量）、切变模量和体积模量。它们均

3、表示材 料弹性变形的难 易程度，即引起单位变形所需要的应力大小。在各向同性的材料中，它们之间的关系是(7-2)(7-3)E2(1厂二)E3(1 _2)式中，为泊松比，即当材料受到拉伸或压缩时，横向应变与纵向应变之比。可以证明，如果材料在形变时体积不变，则泊松比为0.5。大多数材料在拉伸时有体积变化（膨胀），泊松比为0.20.5。对于多数金属的 值约在0.250.35之间，G/E的实验值大约是 3/8。具有体心、面心立方和 密排六方结构的金属，在0K时，G/E近似地分布在一条直线上，只有立方结构金属的G/E偏大一些，约等于0.38。对于金属、陶瓷或结晶态和玻璃态的高分子聚合物，在弹性范围内，应力

4、和应变之间可以看 成单值线性关系，且弹性变形量都较小，对于橡胶态的高分子聚合物，则在弹性变形范围内，应 力和应变之间不呈线性关系，呈卷曲状的分子链在力的作用下通过链段的运动沿受力方向的伸展，且变形量较大。这些材料变形特点是由物质原子间相互作用力决定的。金属、陶瓷类材料弹性变 形过程微观机制可用双原子模型（见第二章）解释。材料在未受外力作用时，原子处于平衡位置，原子间的斥力和引力相平衡，此时原子具有最 低的位能。当外力不大时，只能部分原子克服原子间的相互作用力，使原子发生相对位移而改变 原子间距，产生弹性应变。外力去除后，原子将恢复到原先的平衡位置，即弹性应变消失。由此 可见，弹性模量的物理本质

5、是标志原子间结合力的大小。材料原子间结合力越大，其弹性模量越 高。反映物质原子间结合力的大小除弹性模量外，还有材料的特征温度 （D和材料的熔点Tm ,因此，材料的弹性模量与特征温度、熔点间存在一定关系，表现为Ex 铝，E X Tm高弹态（橡胶态） 是高聚物特有的力学状态 （详见绪论第六节） 。小分子固体溶化后变为液体， 进一步变为气体。而高聚物固体除了玻璃态或结晶态固体外，还存在高弹态固体。特有的高弹态 表现出高聚物独特的高弹性力学行为，是橡胶在高弹态时分子运动的表现。高聚物分子的链段是由主链上若干个6单键内旋转所形成的独立运动单元，象小分子一样，是一个无规热运动单元。在高弹态时，链段可以自由

6、运动，象小分子一样做“布朗运动”。在没有受到外力时，高分子链通常总是趋向使分子构象熵最大的卷曲分子构象；在受到外力作用时，高分 子链分子构象将随之改变， 形成一个应变状态。 如等温拉伸橡胶， 拉伸前高分子链呈卷曲分子构象， 分子构象数多， 构象熵大； 而拉伸后， 高分子链通过链段运动使高分子链转变为较伸展的分子构象， 分子构象数少，构象熵小。这样，高弹形变的过程就是分子构象熵减小的过程。而当拉伸外力被解 除后，高弹形变可完全回复。宏观上可以观察到显著的、可逆的高弹形变。高弹形变的回复是由于高分子链力图保持卷曲的分子构象而产生了反抗拉伸形变的回缩张力 （即橡胶的回弹力，宏观表现即为高弹模量）的作

7、用，使伸展的分子构象回缩到原来卷曲的分子构 象的结果。这一自发回缩的过程即是热力学熵增的原理。这种可逆的高弹形变又称为“熵弹性”。分子内能主要包括分子的热运动动能和分子的位能。等温拉伸时，温度不变，分子热运动动能不变。在平衡高弹形变限度范围内，只有链段运动而没有高分子链的相对位移，近似认为橡胶 体积保持不变。同时，橡胶类高分子多为弱极性或非极性分子，分子内邻近原子间的相互作用力 比较小，高弹态时链段已有足够高的热运动动能，高分子链不同微构象的能量差别也很小。当高 分子链的微构象转变所需活化能相对于热运动动能可以忽略不计时，高分子链类似于链段自由连 接的高斯链。因此，分子的位能也不变。这样，在等

8、温拉伸橡胶的高弹形变过程中，可定性的认 为分子的内能几乎是不变的。所以，橡胶高弹形变的分子运动机理可认为是，在外力作用下，高分子链链段运动引起高分 子链熵值变化，而内能几乎不变。与金属和无机非金属材料的弹性行为相比，高聚物高弹性的主要特点表现如下:1）弹性形变很大，伸长率可高达 1000。而一般金属、陶瓷材料等的弹性形变不超过1。2）高弹模量低，一般为 0.1I.OMPa，且高弹模量随绝对温度的升高而增大。而金属材料的普弹 模量高达104105MPa，一般随温度升高而减小。3）快速拉伸时（绝热过程），高弹态高聚物通常温度会升高；而对于金属材料则温度一般下降。橡胶高弹性是聚合物特有的性能，其主要

9、用于减震、密封和阻尼等。表征高弹性的主要力学 物理量如静态力作用下的拉伸强度、断裂伸长率、定伸强度（表观模量）、永久变形等。二弹性模量与键合方式、原子结构的关系无机非金属材料大多由共价键或离子键或两种键合方式共同作用而成，原子间相互作用力很 强，材料难变形，因而有较高的弹性模量。金属及合金为金属键结合，也有较高的弹性模量；而 高分子聚合物的分子之间为分子键结合，分子键合较弱，高分子聚合物的弹性模量亦较低，如，55中碳钢 E=2.1 X 10 MPa，铜 E= 1.1X 10 MPa，橡胶 E= 0.20.78 MPa。对于金属元素，其弹性模量的大小还与元素在周期表中的位置有关，其变化规律如图7

10、-1所示，这种变化的实质与元素的原子结构和原子半径密切相关。从图7- 1中可以看出，第三周期中的Na、Mg、Al、Si等元素随原子序数的增加，价电子数增多，原子半径减小，弹性模量增高；图7-1弹性模量周期变化示意图同一簇元素中Be、Mg、Ca、Sr、Ba等，它们价电子数相等，由于原子半径随原子序数的增加而 增加，使原子相互作用力减弱，弹性模量减小。弹性模量E与原子间距离a近似地存在着如下的关系KE= （ 7-4）a式中，K和m均为常数。这个规律不适用于过渡金属，这是因为过渡属的d层电子所产生的原子间相互结合力都比较强，它们的弹性模量比普通金属大，并且还随原子半径的增大而增大。对于高聚物而言，其

11、结构因素和使用条件对高弹性力学性能有重要影响。通常，高弹性橡胶 材料要求具有柔性高分子链结构，其玻璃化温度要远低于室温。这样，在室温温度范围内，高聚 物处于高弹态，可满足大多数橡胶制品对高弹性力学性能的要求。如天然橡胶的玻璃化温度为- 70C, 丁苯橡胶的玻璃化温度为 60C，聚二甲基硅橡胶玻璃化温度为 120C。此外，橡胶高分子链间要进行适当的交联。适当交联或硫化的目的是为了防止在高弹形变过程中发生高分子链间的相对位移，从而产生不可逆的塑性形变。这种留下永久变形的程度也会橡 胶高弹性力学性能。用以表征橡胶交联网链结构的几个参数为：网链总数N，网链密度No（N°=N/V ,V为总体积

12、），交联点数目或交联点密度 肌，和网链的平均分子量 Mc。根据橡胶高弹性热力学统计理论可导出橡胶状态方程:弹性模量:RTMc3-RTMc或G =凹Mc(7-5)(7-6)其中，b为作用应力，p为高聚物密度，R为气体常数，T为绝对温度，入为拉伸比。可以看出，随着交联程度的增加（增大），网链平均分子量 Mc减小，或者说交联网链密度No增大，则橡胶的弹性模量增大，当同样的伸长率时所需的拉伸力或者说产生的回缩力（即回弹 力）增加，网链平均相对分子量的大小，或者说网链密度的大小，是由橡胶在交联（或硫化）过程中产 生的交联点数目决定的。如果能够弓I入数目已知的化学交联点，忽略经结的物理交联点的影响， 那么

13、就可根据热力学统计理论计算其模量的近似值，实现对橡胶弹性模量的设计和预测。但是， 要实现这一目标存在实验和理论两方面的困难。尽管许多学者进行了实验和理论方面的研究，但 迄今还没有确立起一个能精确表达模量的理论公式。从高弹性分子运动机理可以判断，随着橡胶交联密度的增大，网链平均相对分子量降低，链 段运动所受的阻力增大，即降低了链段的活动能力，使橡胶的玻璃化温度升高，降低了橡胶的耐 寒性。橡胶类高聚物一般应具有足够高的相对分子量，这样它所含的分子链的端链数目就很少，因 为端链是交联网中的不完善结构因素，它对弹性没用贡献。在一定温度下，橡胶的拉伸强度除与 交联后网链的平均相对分子量有关外，若增加交联

14、前的数均摩尔质量，使端链数目减少，则抗张 强度增大。常用的橡胶类高聚物，如天然橡胶平均相对分子量为70万，聚二甲基硅橡胶为 4070万等。这样经适度交联后，橡胶网链的平均相对分子量较大，以提供橡胶良好的高弹性能。三弹性模量与晶体结构关系单晶体材料的弹性模量与晶体点阵结构密切相关，同一种金属，点阵结构不同，弹性模量也不同。例如，在同一温度下，丫Fe的点阵原子排列比较致密，其弹性模量比a-Fe的高。同一种晶体点阵，沿不同的晶向原子排列紧密程度不同，其原子间相互结合力也不同，因而弹性模量有明 显差异，这种差异表明单晶体材料的弹性模量具有各向异性，例如，aFe晶体沿111晶向弹性模量为2.7X 105

15、 MPa而沿100晶向弹性模量为1.25X 105 MPa ; MgO晶体在室温下沿111晶向弹55性模量为3.48X 10 MPa,而沿100晶向弹性模量为 2.48X 10 MPa,多晶体材料的弹性模量为各 单晶体的平均值，表现为各向同性，但这种各向同性称为伪各向同性。非晶态金属、玻璃等，弹 性模量是各向同性的。对于橡胶材料的柔性高分子链结构，若分子链的对称性差，且空间立构规整性也差，又没有 氢键作用时，即使在低温或高倍拉伸时也是不容易结晶的，如氟橡胶（偏二氟乙烯全氟丙烯共聚 物）、乙丙橡胶（乙烯和丙烯无规共聚物）等。而有些柔性高分子链具有一定的空间立构规整性 或链的对称性，在一定条件下就

16、会发生结晶作用。如顺式聚异戊二烯（天然橡胶）、顺式聚（1,4）丁二烯，聚二甲基硅橡胶等，在低温时发生结晶，或在高拉伸比时发生诱导结晶。一旦发生 结晶作用，橡胶高分子链则失去链段运动能力，即橡胶失去高弹性，但引起应力-应变曲线上强 度值的急剧上升，有利于提高其极限性能。升高温度可以抑制应变诱导结晶作用。另一方面，在 高于玻璃化温度的某低温区即发生结晶作用，会降低橡胶的耐寒性。四影响弹性模量的因素1. 温度的影响一般说来，随温度的升高，物质的原子振动加剧，原子间距增大，体积膨胀，原子间结合力减弱，使材料的弹性模量降低。例如，碳钢加热时，温度每升高100C,弹性模量下降35% 。温度变化时，材料若发

17、生固态相变，其弹性模量将发生显著变化。金属弹性模量与温度变化关系 如图7-2所示，552.2.D.o O5 4 3 11ml.图7- 2金属E-T曲线图7-3聚合物的E-T曲线从图中可以看出，其弹性模量随温度变化近似地呈直线关系，弹性模量随温度变化的关系常用温度系数表示，即n=dE/dT1/E，n近似地与线膨胀系数a成正比，an约等于4x 10-4。当温度高于0.52Tm时，弹性模量和温度之间不再是直线关系，而呈指数关系，即(7-7)E/ Q、x exp（-）ERT式中，Q为模量效应的激活能，与空位生成能相近。1000 C弹性模量降低约为 20%而钨只从图7-2可以看出，钨虽然熔点最高（约 3

18、400 C），但其弹性模量比铱要低得多。注意这些 金属升温是弹性模量降低的过程还可以看到，铱从室温到 降低约12%弹性模量迅速下降的还有铑，而铂与钨类似却降低得比较缓慢。值得注意的是，当加热到600C时，钯的弹性模量值仍保持接近于初始值，铂也有类似的情况。这说明该金属在高温下保持原子间结合力的能力较强，即弹性模量温度系数n绝对值较小。6如果不考虑相变的影响，一般金属的弹性模量温度系数n在-(3001000) x 10- / C范围，低熔点金属的n值较大，而高熔点金属与难熔化合物的n值较小，合金的模量随温度升高而下降的趋势与纯金属大致相同，具体数据可从材料手册中查到。高分子聚合物的物理性质与温度

19、和时间有密切的关系。随着温度的变化，在一些特定的温度 区间，某些力学性质会发生突然的改变，这种变化称为高聚物的力学状态转变。例如，玻璃态向 橡胶态转变、由橡胶态向粘流态的转变等。随着高聚物力学状态的转变，其弹性模数也相应产生 很大变化，如图7-3所示。此外，橡胶的弹性模量随温度的升高略有增加，这一点与其他材料不 同。其原因是温度升高时，高分子链的分子运动加剧，力图恢复到卷曲的平衡状态的能力增强所 致。2. 相变的影响材料内部的相变(如多晶型转变、有序化转变、铁磁性转变以及超导态转变等)都会对弹性 模量产生比较明显的影响，其中有些转变的影响在比较宽的温度范围发生，而另一些转变则在比 较窄的温度范

20、围引起弹性模量的突变，这是由于原子在晶体学上的重构和磁的重构所造成的。图7-4表示了 Fe、Co、Ni的多晶型转变与磁铁转变对弹性模量的影响。例如，当铁加热到910 C时发生a 丫转变，点阵密度增大造成弹性模量的突然增大，冷却时在900 C发生a Y的逆转变使3邑TUrrc图7-4相变对弹性模量与温度关系的影响弹性模量降低。钴也有类似的情况，当温度升高到480 C时从六方晶系的a-Co转变为立方晶系a-Co，弹性模量增大。温度降低时同样在400 C左右观察到弹性模量的跳跃。这种逆转变的温差显然是由于过冷所致。镍的弹性模量大小以及弹性模量的温度系数对于退火态和磁饱和态有不同的数值，当加热到190

21、200C时，退火镍的弹性模量降到最低值，进一步升高温度时，出现弹性模量增大直至 360C。在这之后镍的弹性模量重新开始下降，可以看出在360 C时，退火镍的正弹性模量和室温时几乎有相同的数值。磁饱和镍的弹性模量大小随温度升高单调地降低， 在居里点附近可以发现弹性模量-温度曲线有轻微的弯曲。在这一温度（360 C）下，铁磁性损失后所显示的弹性模量值才表征着镍晶体点 阵中原子间的结合强度。在居里点以上，镍的弹性模量变化服从一般规律，而在居里点以下，未磁化或未被磁饱和的 镍则表现出明显的反常现象。这种现象可作如下认识，铁磁性金属在居里点以下受外力作用发生 弹性变形时，将引起磁畴的磁矩转动，感生出磁性

22、，产生相应的磁致伸缩效应（这里因力引起的 磁致伸缩又称力致伸缩） ，即在拉伸方向产生了附加伸长。因此，它们的弹性模量比正常值低， 即E铁磁=E正常一E e（ 7-8 ）这里E'是应力感生磁致伸缩效应所对应的弹性模量 正因为铁磁性金属有弹性反常现象，所以，我们测定它们的弹性模量时，可通过磁化到饱和的方 法来消除铁磁性材料的弹性反常。必须指出，在某些合金（如 Invar 合金、 Elinvar 合金）中，当它们的磁化强度达到饱和时也 具有低的弹性模量和反常的温度关系。这主要是因为这些合金在磁化过程中，除产生技术磁化的 磁致伸缩外，还产生了真磁化过程的磁致伸缩，通过磁化到饱和的方法消除的也只

23、是技术磁化的 磁致伸缩部分， 而真磁化过程的磁致伸缩部分仍残留在铁磁性材料中，因此， 在饱和磁场作用下，具有低的弹性模量的弹性反常的现象仍然存在，要完全消除这类铁磁性材料的弹性反常只有使用 8 x 108 A/m数量级的强磁场进行磁化。3. 合金成分与组织的影响 材料成分的变化将引起原子间距或键合方式的变化，因此也将影响材料的弹性模量。一般加 入少量的合金元素和进行不同的热处理对弹性模量的影响并不明显，但如果加入大量的合金元素 也会使弹性模量产生明显的变化。1 ） 形成固溶体合金一般由点阵类型相同、 价电子书和原子半径相近的两种金属组成无限固溶体时，如， Cu-Ni 、Cu-Pt、Cu-Au

24、、Ag-Au 合金，其弹性模量和溶质浓度之间呈直线或近似直线关系；但如果溶质元 素是过渡元素，则弹性模量与溶质浓度之间明显偏离直线关系而呈向上凸起的曲线关系，这一现 象与过渡元素的 d 层电子未填满有关。形成有限固溶体时，根据梅龙（Melean）的观点，溶质对合金弹性模量的影响有三个方面： 由于溶质原子的加入造成点阵畸变，引起合金弹性模量的降低；溶质原子可能阻碍位错线的弯曲和远动，这又减弱了点阵畸变对弹性模量的影响而使弹性模量增大；当溶质和溶齐U原子 间结合力比溶剂原子间结合力大时，会引起合金弹性模量的增大，反之，合金的弹性模量减小。所以，溶质可能使固溶体弹性模量增大，也可能使之减小，因具体实

25、际情况而定。如，Cu、Ag、与B族元素组成的有限固溶体随溶质原子浓度的增加其弹性模量均呈直线降低，且随着组元原子价差的增大，弹性模量下降的趋势明显加剧，当两组元的原子价相近或相等而原子半径差较大时， 如Cu-Ag、Cu-Au、Cu-Mg合金，随溶质原子浓度的变化其弹性模量与原子半径差成正比。对 Mg、Al及Au固溶体的研究表明，当溶质原子浓度增加时，其弹性模量可能降低也可能增加。前面指出，弹性模量与熔点之间存在着正比关系，因此可以设想，加入使合金熔点降低的元素，合金的弹性模量也因降低，这已在以铜或银为基的固溶体合金中得到验证。合金的有序化和生成不均匀固溶体时，原子间结合力增强，从而导致弹性模量

26、增大，例如CuZn和Cu3Au有序合金的弹性模量都比相同成分无序态的高必须指出，形成固溶体合金的弹性模量与成分的关系并非总是符合线性规律，有时会很复杂。2）形成化合物的影响对化合物及中间相的弹性模量研究不多，但基本上可以认为，中间相的熔点越高，弹性模量也越大。例如，在 Cu-Al系中化合物CuAl2相的弹性模量比铝高，但比铜低；相反，丫相的正弹性模量差不多比铜高1.5倍。3）微观组织影响对于金属材料，在合金成分不变的情况下，显微组织对弹性模量的影响较小，多数单相合金的晶粒大小和多相合金的弥散度对弹性模量的影响很小，即在两相合金中，弹性模量对组成合金 相的体积浓度具有近似线性关系。但是，多相合金

27、的弹性模量变化有时显得很复杂，第二相的性 质、尺寸和分布对弹性模量有时也表现出很明显的影响，即与热处理和冷变形关系密切，例如， Mn-Cu合金就是如此。通过上面分析可以看出，合金基体组元确定后，很难通过形成固溶体的办法进一步提高弹 性模量，除非更换材料。但是，如果能在合金中形成高熔点、高弹性的第二相，则有可能较大地 提高合金的弹性模量。目前，常用的高弹性和恒弹性合金就是通过合金化和热处理来形成M3M0、Ni3Nb、Ni3（AI,Ti）、（Fe,Ni） 3Ti、FezMo等中间相，在实现弥散硬化的同时提高材料的弹性模量。例如，Fe-42%Ni-5.2%Cr-2.5%Ti （质量分数）恒弹性合金就

28、是通过Ni3（AI,Ti）相的析出来提高材料弹性模量的。五不同材料的弹性模量通过前面的分析讨论可以看到，不同材料的弹性模量差别很大，主要是由于材料具有不同的结 合能和键能。由表 7.1可以比较不同材料的弹性模量值。表7.1 一些工程材料的弹性模量、熔点和键型材料弹性模量E/GPa熔点Tm/ C键型铁及低碳钢207.001538金属键铜121.001084金属键铝69.00660金属键钨410.003387金属键金刚石1140.00> 3800共价键Al 2O3400.002050共价键和离子键石英玻璃70.00Tg1150共价键和离子键电木5.00共价键硬橡胶4.00共价键非晶态聚苯乙烯

29、3.00Tg1150范德瓦耳斯力低密度聚乙烯0.2Tg137范德瓦耳斯力表中Tg为玻璃化温度在这里主要介绍多孔材料的弹性模量和复合材料的弹性模量。1.多孔陶瓷材料的弹性模量多孔陶瓷用途很多，它的第二相主要是气孔，其弹性模量为零。显然多孔陶瓷材料的弹性模量要低于致密的陶瓷材料的弹性模量。图7.5给出了一些陶瓷材料的弹性模量与气孔体积分数的关系曲线，试图采用单一参量一气孔率来描述多孔陶瓷材料弹性模量的变化，但是材料的应力、 应变在很大程度上取决于气孔的形态及其分布。Dean和Lopez经仔细的研究提出一个半经验公式来计算多孔陶瓷的弹性模量E，即E=Eo(1-b a气孔)(7-9)式中：E0为无孔状

30、态的弹性模量；a气孔为气孔体积分数；b为经验常数，主要决定于气孔的形态。从图7.5可见，对于Al 2O3和Si3N4实验数据与拟合直线，有明显上凹的趋势。这可能是由 于人为确定气孔形貌引起的误差。2000004005000,1 0.2 0.3 0,4 0,5气孔率P002fcGShN40.1 02 0.3 0.4 0,5气孔率卩O52SJdD适00.0 0,1 0*2 0.3 0.4 0.5 气孔率P图7.5弹性模量E与气孔率关系，实线为最好的拟合直线2. 双相陶瓷的弹性模量弹性模量决定于原子间结合力，即键型和键能对组织状态不敏感，因此通过热处理来改变材料弹性模量是极为有限的。但是可以通过不同

31、组元构成二相系统的复相陶瓷，来改变弹性模量。总的弹性模量可以用混合定律来描述。图7.6给出两相层片相间的复相陶瓷材料三明治结构模型图。图7.6三明治结构复相陶瓷按Voigt模型假设两相应变相同图7.7弹性模量计算模型与实验数据比较 即平行层面拉伸时，二相陶瓷材料的弹性模量为E/=Ei a +E2 a（7-10）按Reuss模型，假设各相的应力相同，即垂直于层面拉伸时，二相陶瓷材料的弹性模量为E 丄=!1邑（7-11 ）EV' i ' E2 ： 2在（7-10）式和（7-11 ）式中：E2分别为二相的弹性模量；a, a分别为二相的体积分数。后来Hash in和shtrikman采

32、取更严格的限制条件，利用复相陶瓷的有效体积模量和切变模量来计算两相陶瓷的弹性模量取得了更好的结果，由于计算比较复杂，本书略去，只在图7.7中示出了三种模型与实验数据的比较。从图中可以看出，（7-10）和（7-11 ）两式表示的混合定律计算的复相陶瓷弹性模量与实验数据误差较大，这主要是因为等应力、等应变假设不完全合理。图7.8列出了 Al 2O3加入ZrO2和SQw增韧时的弹性模量变化。由图可见，在其他性能允许 的条件下，在一定范围内可以通过调整两相比例来获得所需的弹性模量。图7.8 Al 2O3+ZQ 2+SiCw复相陶瓷的弹性模量六弹性模量的测量与应用1.概述测量弹性模量的方法有两种：一种是

33、静态测量法，即从应力和应变曲线确定弹性模量，这是 一种传统的方法，测量的精度较低，其载荷大小、加载速度等都影响测试结果，也不适合对金属 进行弹性分析。此外，对脆性材料的测量，静态法也遇到了极大的困难。另一种是动态测量法， 这种方法是在试样承受交变应力产生很小应变的条件下测量弹性模量，用这种方法获得的弹性模 量称为动态模量。动态测量法的优点是测量设备简单，测量速度快，测量结果准确。因为动态法 测试时试样承受极小的应变应力，试样的相对变形甚小（10-510-7），故用动态法测定 E、G对高温和交变复杂负荷条件下工作的金属零部件尤其重要，适合用于对金属进行弹性分析。下面重点 介绍动态测量法。一般情况

34、下静态法测定的结果较动态法低。若动态法加载频率很高，可认为是瞬时加载，这 样试样与周围的热交换来不及进行，即几乎是在绝热条件下测定的。而静态法的加载频率极低， 可认为是在等温条件下进行的。二者弹性模量的关系是Mi M a:2tc?(7-12)式中Ei表示在等温条件下测得的弹性模量，Ea表示在绝热条件下测得的弹性模量，P是材料的密度，c表示材料的等压比热容，a为材料的热膨胀系数。按加载频率范围，动态法分为：声频法，频率在104Hz以下；超声波法，频率为 104108Hz。目前声频法应用较为广泛和成熟。应该指出，由于材料科学的发展，最近几年超声波法在国外愈 来愈引起人们的重视。2.动态法测弹性模量

35、的原理测量动态弹性模量是根据共振原理。当试样在受迫进行振动时，若外加的应力变化频率与试 样的固有振动频率相同，则可产生共振。测试的基本原理可归结为测定试样（棒材、板材）的固 有振动频率或声波（弹性波）在试样中的传播速度。由振动方程可推证，弹性模量与试样的固有 振动频率平方成正比，即2 2E =K 1f1G =K2f t（7-13）式中，f1为纵向振动固有振动频率，仁是扭转振动固有振动频率，K1、K2是与试样的尺寸、密度等有关的常数。关系式（7-13）是声频法测定弹性模量的基础。为测试E、G,激发试样振动所采用的形式也不同，如图7-9所示，图（a）表示换能器激发试样做纵向振动（拉一压交应变力），

36、同样（b）为试样做扭转振动（切向交变应力），（c）为试样的弯曲振动（也称横向振动）。激发（或接受）换能器的种类比较多，常见的有电磁式、静电式、磁致伸缩式、压电晶体（石英、钛 酸钡等）式。A纵向振动（"扭转振动2弯曲駆动图7-9激发试样纵向、扭转、弯曲振动原理1-试样 2-电磁换能器 3-支点 4-铁磁性金属片1）纵向振动共振法用此法可以测定材料的杨氏模量E。如图7-9（a）所示，设有截面均匀棒状试样，其中间被固定，两端处自由。试样两端安放换能器2,其中一个用于激发振动，另一个用于接受试样的振动。以电磁式换能器为例，当磁化线圈通上声频交流电，则铁芯磁化，并以声频频率吸引和放松 试样（如

37、试样是非铁磁性的，需在试样两端面粘贴一小块铁磁性金属薄片），此时试样内产生声频交变应力，试样发生振动，即一个纵向弹性波沿试样轴向传播，最后由接收换能器接收。当棒状试样处于如右图 7-9（ a）所示状态，其纵向振动方程可写成，:t(7-14)其中u（x,t）为纵向位移函数，解该振动方程（具体解法略），并取基波解，经整理可得2 2E =4 pL fi（7-15）式中，L为试样长度。由（7-15）可以看出长棒状试样受迫产生振动时，弹性模量E和共振频率f存在的关系，为了求出 E,必须测出和。利用不同频率的声频电流，通过电磁铁去激发试样做纵 向振动，当f工f1时，接收端接收的试样振幅很小，只有f = f

38、1时在接收端可以观察到最大振幅，此时试样处于共振状态。2）扭转振动共振法此法用于测量材料的切变模量G ,如图7-9 （ b）所示。一个截面均匀的棒状试样，中间固定;在棒的一端利用换能器产生扭转力矩，试样的另一端（图中只画出试样的一半，另一半略）装有 接收换能器（结构与激发换能器相同），用以接收试样的扭转振动。同样可以写出扭转方程并求解，最后仍归结为测定试样的扭转振动固有频率仁，G的计算式为2 2G =4 PL fT（7-16）3）弯曲振动共振法(7-17)如图7-9 （c）所示，一个截面均匀棒状试样，水平方向用二支点支起（图中只画出试样的一 半）。在试样一端下方安放激发换能器，使试样产生弯曲振

39、动，另一端下方放置接收换能器，以 接收试样的弯曲振动。两端自由的均匀棒的振动方程为El .:t2.:x4式（7-14 ）是一个四阶偏微分方程，其中I为转动惯量，S是试样截面。最后得到满足于基波的圆棒（直径为d）的弹性模量计算式为E =1.262L4f(7-18)式中L和d分别为试样长度和直径，p为试样的密度。同样测出试样弯曲振动共振频率f之后，代入上式计算E。在高温测试弹性模量时，考虑到试样的热膨胀效应，其高温弹性模量计算式为纵向振动E =4pL2（1+ oT）1（7-19）扭转振动G =4 p2f T（1+ 汀）1（7-20）弯曲振动E =4 pL4d2（1+ 汀）（7-21）式中，o是试样

40、的热膨胀系数，T为加热温度。3. 悬挂法测弹性模量悬挂法测弹性模量是弯曲共振法测量的一种。常采用如图7-10的装置进行测量。用这种装置测量时，首先由音频讯号发生器发出交变讯号并传给换试样图7-10悬挂共振法测弹性模量示意图能器（激发），换能器通过悬丝把转换成的机械振动传给试样，由此驱使试样产生弯曲振动，试 样振动的频率与音频讯号发生器发出的讯号频率相同。在试样的另一端通过悬丝把试样的机械振 动传给换能器（接收），再由换能器把机械振动转换成电讯号，通过放大器，由毫伏表给出数字 显示，与此同时，由示波器将振动图形显示出来。测量时调整讯号发生器的输出频率，当讯号的测频仪把共振频率记录下来，通过式（7

41、-18）便可计算出弹性模量E。算式中的试样密度P常以y轴可观察到最大振幅，由频率与试样的固有频率相同时，试样便处于共振状态，此时示波仪的其他物理量来表征，这样式（7-18）经整理后最后写成圆棒试样-8 L m 2E =1.6388 X10 () f(kg/mm)(7-22)d L矩形试样8 L m 2G =0.9655 X 108() f2 (kg/mm)(7-23)h b式中，L为试样长度（mm）, d为圆棒直径（mm） ,m是试样的质量（g）, h、b是矩形截面试样的高和宽（mm）。如果将悬丝的端点固定（可用点焊等方法）在试样两侧，其两固定点的连线应为通过是试样 轴心水平面的对角线。此时试

42、样将同时进行两种形式的振动：弯曲振动和扭曲振动。这种悬丝方 法可以在一根试样上同时测出E、G值。同理式（7-13）经整理可写成圆棒试样G =5.1934 X 108 丄2mfT （kg/mm）（7-24）d矩形试样G =4.081 X 10 f T （kg/mm）（7-25）b h一般测量试样的尺寸满足L/d=2025 , L通常为150200mm, d为38mm。悬丝用直径小于0.2mm、长为100300mm的不具有强谐振的细软丝制成。一般室温测试采用丝棉线、卡普龙线，高温测试用铂金丝效果较好。温度低于600700C以下可选用铜线，直径0.050.1mm左右。将悬丝悬挂于距试样两端0.224

43、L0.174L范围内，即靠近振动的结点处。作为研究金属的一种方法，在实际应用中，有时用扭摆仪测量试样的切变模量G,由于 Gf2,常用自由振动频率 f2代表G来分析金属内部的变化。这种测量方法的优点是测量速度快而且方便，具体测量的原理及条件可 参看内耗的测量部分。4. 超声波脉冲法由于近代超声波技术的发展，目前超声波法可以应用在小块试样的测量上，这对稀贵金属、难加工材料和研究单晶体材料很重要。图7-11介绍了一种超声波脉冲法测定超声波速度和衰减的 原理图。试样中超声波振动可以是连续波和脉冲波（直角形和钟形波） 。超声波的波速可以通过 测定超声波在试样中的传播时间及已知试样的长度而求得 （2L=

44、c T。根据超声波纵向传速和横向 传速同试样弹性模量的关系，可求得1 2(7- 26)(7-27)(7-28)E = 3-2 Q(c1 / Cf)- 1 2G = pCr= 1(C1/c.)2-22 G/c.)2-11-高频振动发生器 2-脉冲信号发生器3-脉冲调制4,6-放大器5-定标衰减器7-检波器8-示波器K-换能器0-试样图7-11超声波脉冲法装置示意图1发生高频振动。借助于脉冲信号发生器2给出直角形或钟形电脉冲，高频信号振动发生器 脉冲调制3，将咼图7-12示波器显示一组脉冲衰减信号频振动脉冲经过放大器 4放大后，送 至试样一端k石英压电晶体，在此转 换成超声波脉冲。再通过试样 0,

45、每 个超声波脉冲在试样中（试样底面间） 多次反射。试样另一端的 K石英压 电晶体，把超声脉冲转换成电的振 动信号，这些电的振动信号经过定标 衰减器5、放大器6和检波器7之后 送至带触发扫描的示波器 8，并同脉冲信号发生器 2的扫描发射同步。在示波器上观察到一组电 的脉冲幅值衰减，即相对应在试样中超声波脉冲多次反射，见图 7-12。由超声波法的原理可知, 纵波和横波在试样中传播速度的测量精确度直接影响弹性模量测试结果。弹性模量的测量可用于高温合金的研究中。对一些金属的测量表明，大部分金属室温下的硬度和弹性模量之间呈直线关系。只有W、Mo、Ti、Zr等少数几种金属偏离上述的规律，这是由于它们在室温

46、下，产生了变形强化所引起的，见图7-13。温度升高，W、Mo等金属便产生去强现象，因此当温度升高到500 C时，W和Mo的硬度和其他金属一样也都落到直线上。当温度提高到800C时，除了在测量硬度的过程中产生晶界粘滞性效应的金属之外，大多数金属的硬度和 弹性模量之间都符合直线关系，而且弹性模量愈大，硬度也愈高。这意味着原子间的结合力对金属在高温下抗塑性变形的能力起主要作用。而弹性模量的大小反映了原子间结合力的强弱，因此可根据弹性模模量和温度的关系研究原子间结合力的变化条件及原因，用于估算合金的高温强度。£?/GPa图7-13硬度和弹性模量关系第二节材料内耗前面分析的弹性变形过程中，应变

47、对应力的响应服从虎克定律，即：d =M刍且应变对应力的响应是单值线性、同位相（瞬时）的，弹性变形时材料储存弹性能，弹性恢复时材料释放弹性 能，循环变形过程没有能量损失，这是一种理想的弹性行为。实际上，绝大多数固体材料常因内 部存在各种微观的非弹性行为，表现出非理想弹性性质，应变落后于应力。由于应变的滞后，材 料在交变应力作用下就会出现振动的阻尼现象。实验也证明，固体的自由振动即使在真空中也会 逐渐停止，其振动的能量逐渐转化为热能。这种由于固体内部的原因使机械能消耗的现象称为内 耗。根据内耗产生的原因，可把内耗分为滞弹性内耗、静滞后内耗和位错阻尼型内耗。一. 滞弹性内耗1 .材料滞弹性材料在交变

48、应力作用下应变落后于应力的现象，称为滞弹性，由滞弹性引起的内耗称为滞弹 性内耗。对一金属试样在弹性范围内突然施加一个一定大小的拉应力龟，试样除瞬间产生一个应变£外,还会产生一个随时间变化的应变£，如图7-14所示，这个现象称为弹性蠕变。同样，当去除拉应力 d后，应变也不是全部立即恢复，而是先恢复一部分，还有一部分应变逐渐恢复，见 图7-14，这个现象称为弹性后效。显然，弹性蠕变和弹性后效都是弹性范围内的非弹性现象，即 滞弹性，亦称弛豫。从上面分析可以得出， 金属在弹性范围内受力后产生的总应变£= £ + £因8的弛豫，使总应变 £落后

49、于应力。图7-15应变滞后应力示意图图7-16应力-应变回线图7-14应变、应力与时间的关系高分子材料在实际使用时， 也往往会受到大小和方向不断变化的外力作用，例如轮胎、齿轮、减震器、消声器等在使用时都会受到复杂的动态交变应力的作用。高分子材料在这种动态交变应 力或应变作用下的黏弹性力学行为也表现为滞后现象和力学损耗现象，这称为动态黏弹性。滞后 现象产生的分子运动机理是由于高聚物分子链的链段运动时，受到分子内和分子间相互作用的内 摩擦阻力和无规热运动影响，使链段运动跟不上外力的变化，所以应变滞后于应力。内摩擦阻力 越大，链段运动越困难，应变也越跟不上应力的变化，滞后相位角也会越大。不同化学结构

50、的高聚物材料的滞后现象也有明显的差异。柔性链高聚物（如橡胶材料）的滞 后现象严重，而刚性链高聚物材料（如各类塑料）一般滞后现象不太明显。同时，滞后现象还强 烈的依赖于外界条件，如外力作用频率、温度高低等2 .滞弹性内耗上面讨论的滞弹性是在材料受到一个恒定的拉应力作用下产 用时，应力和应变都随着时间不断变化。数学上，对各种复杂若干个正弦函数的组合来描述，因而动态力学实验一般是对试样施加正弦应力或正弦应变的条件下进行的。显然，由于滞弹性的影响，应变总是落后于应力，应变和应力之间便存在着一个位相差，如图7-15所示。从图中可看出，当应力变为零时，应变还有一个正的OA值；当应力的方向反转之后，应变才逐

51、渐地变为零，这样便产生了阻尼作用，由此导致能量消耗。如果应力变化一 个周期，应变和应力的变化便形成一个封闭的回线，如图7-16、17所示。回线所包围的面积代表振动一周所产生的能量损耗，回线的面积愈大，能量损耗也愈大。当应变和应力之间位相差为零 时，材料相当于理想弹性体，回线的形状相当于一条直线，故不产生内耗。a D 和 gF图7-17硫化橡胶拉伸和回缩的应力一应变曲线由滞弹性产生的内耗称为滞弹性内耗，内耗的基本量度是振动一周期在单位弧度上的相对能量损耗。设3为应变和应力之间的位相差，一般这个位相差都很小，可用tan 3表示内耗值，实际中还常用Q1来表示内耗，即& 丄 °1 W

52、Q = tan 3=（7-29）2兀 W式中， W为振动一周的能量损耗，W为最大振动能。从式（7-29）可以看到内耗为无量纲的物理量。现以材料受正弦变化的应力为例，分析滞弹性内耗的度量。设3为应变和应力之间的位相差，do、©分别为应力和应变变化的最大值，有cosin wt（7-30）(7-31)e= aosi n( wt 3)根据式（7-29）中各个量的物理意义，有W=/ d focsin wtd( esin( W 3)= n or ©osin 3(7-32)(7-33)(7-35)(7-34)把式（7-32 ）、（7-33）带入（7-29 ）有W=sin 3W3很小,通过

53、推导可知，内耗 Q1与位相差s成正比，位相差 s愈大，回线面积愈大，内耗也愈大, 而内耗与应变振幅无关。实际中直接测量 s角比较复杂，而且测量精度也不高，所以实际上测量时通常通过自由衰减振动时的振幅对数减量来确定内耗，即In_ 1Q = tan S=AnAn诘1(7-36)式中，An为第n次振动的振幅,An+i为第n+1次振动的振幅。当试样在受迫振动时，内耗可用共振频率求得，即_ 1Q = tan S=1 .：.3 (7-37)式中， 丫为共振曲线峰两侧最大振幅一半处所对应的频率差，y为共振频率。3.内耗峰及内耗谱对多数固体材料来说，在与振幅无关的情况下，根据弛豫理论可以导出内耗与模量亏损“、

54、应变角频率3、弛豫时间T四者之间的关系tan S= m1 (J2(7-38)条件下的弹性模量，Mr豫模式中， M= Mu M1R2 , Mu为未弛豫模量，可理解为只产生(MuMr)量，是充分产生条 件下的弹性模量。式(7-38)为内耗的理论公式，从此式也可以看出弛豫型内耗与应变振幅无关。作出内耗QT、 M对3T勺关系图，见图 7-18，它表明了内耗的 基本特征。当 3 T>1 或3T <<时，tan S都趋向 于零；只有当3 =1时，tan S才出现极大值，它被 称为内耗峰。这是因为，图7-18内耗峰示意图(1) 当3T >>即T >1时，弛豫时间远大于振动

55、周期，意味着应力的变化非常快，以至co于材料来不及产生弛豫过程，即£ =0，相当于理想弹性体，所以内耗趋于零。(2) 当3T <1<即T <2时，弛豫时间远小于振动周期，应力的变化非常慢，这时有充分CO时间使 £产生，使应变和应力同步变化，应力和应变组成的回线趋于一条直线，但斜率较低， 内耗也趋向于零。(3) 当3为中间值，即在上述两种极限情况之间，因为驰豫应变跟不上应力变化，所以应力与应变曲线不是单值函数，而是形成了一椭圆，如图7-12所示，椭圆面积正比于内耗。 当3=1时，内耗曲线达到峰值，Q 1ma>=A 1椭圆面积达到最大。2弛豫时间T可以理解为受力材料从不平衡达到平衡状态，内部原子扩散和重排所需要的时间，它和温度的关系为t = p exp ( H/RT )(7-39)式中，H为扩散激活能，R为气体常数，T为热力学温度，为材料常数。从式(7-39)不难看出， T随着温度的升高而变小。根据式(7-38)所描述的关系，显然，要得到内耗曲线有两种途径：一是改变角频率3,得到Q1 - 3 的关系曲线；二是改变温度，得到Q1 - T的关系曲线。实际测量时上述两种方法都在应用。金属及合金中可能有不同的物理机制引起弛豫的产生，而每一弛豫过程都对应一弛豫时间， 因此对应不同的频率会出现一系列的内耗峰，如图7-1