高量-02 量子力学中的对称性

1、1高等量子力学高等量子力学年年月月2第一章第一章 量子力学中的对称量子力学中的对称性性年月年月31.2时间、空间平移坐标时间、空间平移坐标能量、动量守恒能量、动量守恒4时间平移对称时间平移对称能量守恒能量守恒与时间无关的物理条件，对应的哈密顿与时间无关的物理条件，对应的哈密顿量亦与时间无关量亦与时间无关显然，显然，在无穷小时间平移变换在无穷小时间平移变换下，不变下，不变从状态波函数在时间平移变换下从状态波函数在时间平移变换下的变化规律，导出时间平移算符的变化规律，导出时间平移算符) 1(d),(zyxH), ( tr)(dU),(zyxHH dtt5时间平移对称时间平移对称能量守恒能量守恒由由

2、得得在时间平移变换下哈密顿量的变化在时间平移变换下哈密顿量的变化能量守恒能量守恒),() ,(),()() ,(dtrtrtrdUtr及HdidU1)(6时间平移对称时间平移对称能量守恒能量守恒有限大小的时间平移可通过连续地作无限有限大小的时间平移可通过连续地作无限多次无穷小平移得到多次无穷小平移得到HieU)(),(),(),()1 (lim)1 ()1)(1 (),()(trtretrHniHdiHdiHditrUHinn7空间平移对称空间平移对称动量守恒动量守恒自由运动的例子自由运动的例子哈密顿量哈密顿量考虑坐标系沿方向作无穷小平移考虑坐标系沿方向作无穷小平移)(2),(2222222z

3、yxmzyxHHxzzyyidrrdxx8空间平移对称空间平移对称动量守恒动量守恒从状态波函数在空间平移变从状态波函数在空间平移变换下的变化规律，导出空间平移算符换下的变化规律，导出空间平移算符),(zyxxpdiedU)(9空间平移对称空间平移对称动量守恒动量守恒有限大小的时间平移可认为通过连续作有限大小的时间平移可认为通过连续作无限多次无穷小平移而得到无限多次无穷小平移而得到沿任意方向作平移沿任意方向作平移xpieU)(pnieU)(n101.3空间旋转对称空间旋转对称角动量守恒角动量守恒11空间旋转对称空间旋转对称角动量守恒角动量守恒许多物理条件在空间旋转变换下不变许多物理条件在空间旋转

4、变换下不变例：例： 自由运动自由运动 中心力场中心力场222mH)(222rUmH12空间旋转对称空间旋转对称角动量守恒角动量守恒 zzdydxydydxxdzxyzOcossinsincos角轴转绕考虑坐标系zzyxdyydxxd1若13空间旋转对称空间旋转对称角动量守恒角动量守恒用矩阵表示用矩阵表示还可表示为还可表示为几何转动算符几何转动算符zyxddzyx1000101rdRrze)(1000101)(dddRze14空间旋转对称空间旋转对称角动量守恒角动量守恒同样可证同样可证又又哈密顿量在旋转变换下不变哈密顿量在旋转变换下不变即，即，从波函数在坐标系旋转变换下的变化规从波函数在坐标系旋

5、转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符律，可导出旋转变换算符22 rr ),() , , (zyxHzyxH)(dUze15空间旋转对称空间旋转对称角动量守恒角动量守恒利用利用及及可得可得)()() (rdUrze)() (rRrzeLiddUz1)(16空间旋转对称空间旋转对称角动量守恒角动量守恒通过连续作无穷多次无穷小转动可得到通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符有限大小的转动算符绕任意轴转角的转动算符为绕任意轴转角的转动算符为LnineU)(nzzLinzneeLniU)1 (lim)(为幺正算符UUU117空间旋转对称空间旋转对称角动量守恒角动量守恒若若则必有则必有若哈

6、密顿量具有旋转对称性，就有若哈密顿量具有旋转对称性，就有角动量守恒角动量守恒)()() (rdUrze,)()()()() (1zeeLHdirHdUrHdUrHzz0,zLH18空间旋转对称空间旋转对称角动量守恒角动量守恒关于转动算符有不同的定义，但最后得关于转动算符有不同的定义，但最后得到同样的转动算符到同样的转动算符以上讨论的波函数为标量函数，所得角以上讨论的波函数为标量函数，所得角动量（仅）与轨道角动量有关动量（仅）与轨道角动量有关19空间旋转对称空间旋转对称角动量守恒角动量守恒关于矢量函数在旋转变换下的讨论关于矢量函数在旋转变换下的讨论) () () ()()()()()()() (

7、 zzyyxxzzyyxxeeererererererdUrdUrzzzzyxyyxxdzzyxyyxxeeeedeedeeeeededeedededzxyzOcossinsincos1角的变换轴转绕考虑坐标系20空间旋转对称空间旋转对称角动量守恒角动量守恒后式代入前式后式代入前式又又比较得比较得zzyxyyxxereedrederr) ()()() ( )()(1 )(1 )(1 ) () () ( rdrLidrLiddrLidrdrryxzyzxzyxxzzyyxxerererr) ( ) ( ) ( ) ( 21空间旋转对称空间旋转对称角动量守恒角动量守恒类似可得类似可得写成矩阵形式写

8、成矩阵形式)(1 ) ( )(1 )() ( rLidrrLidrdrzzzyzxy)()()()() ( ) ( ) ( rrrdUrrrzyxezyxz22空间旋转对称空间旋转对称角动量守恒角动量守恒其中其中0000000)1 (1000101)(ddILidLidLidddLiddUzzzzez23空间旋转对称空间旋转对称角动量守恒角动量守恒改写为改写为再令再令则则0000000)(iiILidIdUzez0000000iiSzzzzeJidISLidIdUz)()(24空间旋转对称空间旋转对称角动量守恒角动量守恒对应地，有对应地，有yyyxxxSLJSLJ;0000000;000000

9、0iiSiiSdyxyx角时，可得轴转和同理，当坐标系分别绕yexeJidIdUJidIdUyx)(;)(25空间旋转对称空间旋转对称角动量守恒角动量守恒若哈密顿量具有转动对称性，必有总角若哈密顿量具有转动对称性，必有总角动量守恒动量守恒JnineUn)(的转动算符转动有限大小角绕0,; 0,2JHJHn26空间旋转对称空间旋转对称角动量守恒角动量守恒由由知知当某微观粒子的状态需要用矢量函当某微观粒子的状态需要用矢量函数来描述的话，则该粒子自旋为。数来描述的话，则该粒子自旋为。例：光子例：光子ISSSSzyx22000200022222221S271.4空间反演对称空间反演对称宇称守恒宇称守恒

10、28宇称算符宇称算符定义与本征值定义与本征值定义定义本征问题本征问题)()(rrP)()(rPrP11)()()()(2222PPrPrrPrP奇宇称态偶宇称态)()()()()()()()(rrrrPrrrrP29宇称算符宇称算符厄米性与幺正性厄米性与幺正性厄米性厄米性幺正性幺正性PPdrrPdrrdrrdrrdrPrrr)()()()(*) )() (*)()(*)()(*112PPPPIP30空间反演对称性空间反演对称性宇称守恒宇称守恒各向同性谐振子位、库仑位等中心力场各向同性谐振子位、库仑位等中心力场在空间反演变换下不变在空间反演变换下不变空间反演变换空间反演变换笛卡尔坐标系下；球坐标

11、系下笛卡尔坐标系下；球坐标系下)(222rVmHrrzzyyxxrr31空间反演对称性空间反演对称性宇称守恒宇称守恒中心力场中运动的粒子在空间反演变换下中心力场中运动的粒子在空间反演变换下哈密顿量的变化哈密顿量的变化波函数的变化波函数的变化宇称守恒0,)()() ()()() (1PHrHPrHPrHrHrHrH)() 1(),()(),()()(rYrRYrRPrPnlmllmnllmnlnlm321.5对称性与力学量完全集对称性与力学量完全集33空间反演对称性空间反演对称性宇称守恒宇称守恒求解薛定谔方程总希望求解薛定谔方程总希望得到确定解得到确定解包含能量在内的力学量完全包含能量在内的力学

12、量完全集的共同本征函数集的共同本征函数例：库仑场例：库仑场)()(rErH)()(2222rErHrzemHnlmnnlm,)(2znlmLLHr 34空间反演对称性空间反演对称性宇称守恒宇称守恒若只求能量算符的本征函数，则无法完若只求能量算符的本征函数，则无法完全确定（与简并性相联系）全确定（与简并性相联系）为得到包含能量的力学量完全集，需分为得到包含能量的力学量完全集，需分析能量算符的对称性析能量算符的对称性例：对弹性力场例：对弹性力场构成力学量完全集构成力学量完全集0,; 0,; 0,22zzLLLHLH,2zLLH2222212rmmH351.5时间反演对称性时间反演对称性36时间反演

13、变换时间反演变换概述概述反幺正变换，不变性不导致守恒量反幺正变换，不变性不导致守恒量应用应用核物理中的对关联理论；核物理中的对关联理论；固体的超导理论固体的超导理论具有时间反演不变性的情况具有时间反演不变性的情况强、电磁强、电磁作用作用不具有时间反演不变性的情况不具有时间反演不变性的情况核物理中光学模型；弱作用核物理中光学模型；弱作用37时间反演态时间反演态经典情况经典情况量子情况量子情况由薛定谔方程出发定义由薛定谔方程出发定义作代换，并把两边取复数共轭作代换，并把两边取复数共轭称为的称为的时间反演态时间反演态tt),(),(trHtrit),(*),(*trHtrit),(*),(trtrr

14、ev),(tr38时间反演态时间反演态是同一个薛定谔方程是同一个薛定谔方程的解的解凡实的哈密顿算符都具有时间反演凡实的哈密顿算符都具有时间反演不变性不变性),(),(*trtr和39反幺正算符反幺正算符反线性算符反线性算符反线性算符及其性质反线性算符及其性质反线性算符的代数运算规则反线性算符的代数运算规则、与复常数相乘、与复常数相乘、任意两个反线性算符的、任意两个反线性算符的和和仍为反线性算符仍为反线性算符nnnnnnAccA*CAAC21AAA21AA、40反幺正算符反幺正算符反线性算符反线性算符反线性算符的代数运算规则（续）反线性算符的代数运算规则（续）、任意两个反线性算符的、任意两个反线

15、性算符的乘积乘积为线性算符为线性算符、逆逆若，且存在使得若，且存在使得有有21AA、21AAAABB1AAB的逆算符，记为为称111111)(1ABCCBAAAAA41反幺正算符反幺正算符反线性算符反线性算符反线性算符的代数运算规则（续）反线性算符的代数运算规则（续）、厄米共轭厄米共轭的厄米共轭算符为称或，若有对反线性算符AAAAdAdAA)|( |)|( |)(*)(*42反幺正算符反幺正算符反幺正算符反幺正算符定义定义例一例一复数共轭算符复数共轭算符反线性的证明反线性的证明求逆求逆求厄米共轭求厄米共轭K为反幺正算符则满足或反线性算符AAAA143反幺正算符反幺正算符反幺正算符反幺正算符例二

16、例二幺正算符与复数共轭算符的乘幺正算符与复数共轭算符的乘积积反线性的证明反线性的证明求逆求逆求厄米共轭求厄米共轭UK44反幺正算符反幺正算符反幺正算符反幺正算符反幺正算符的性质反幺正算符的性质特例特例把反幺正算符看作一种变换把反幺正算符看作一种变换变换前后态矢的标量积互为复数共轭变换前后态矢的标量积互为复数共轭变换前后态矢的模不变变换前后态矢的模不变|*AA|*AA45反幺正算符反幺正算符反幺正算符反幺正算符算符的变化规律算符的变化规律另类证明另类证明特例：取算符为复常数特例：取算符为复常数*)*(*)(*dFdAFAdFAFAFFAFA*CAACACAC46时间反演算符时间反演算符算符定义算

17、符定义反幺正性的证明反幺正性的证明可证可证幺正？反幺正？幺正？反幺正？),(*),(),(trtrTtrrevTeTeHiHiT47时间反演算符时间反演算符可设时间反演算符为可设时间反演算符为的具体表达式例一的具体表达式例一自旋为零的粒子自旋为零的粒子UKT LTLTpTpTrTrT;LULULKULUKpUpUpKUpUKrUrUrKUrUKU48时间反演算符时间反演算符例一例一自旋为零的粒子自旋为零的粒子KTU1可取49时间反演算符时间反演算符的表达式例二的表达式例二自旋不为零的粒子自旋不为零的粒子须考虑自旋角动量须考虑自旋角动量在时间反演变换下，应与轨道角动量在时间反演变换下，应与轨道角动量有相同变化规律有相同变化规律写为分量形式，与上式比较有写为分量形式，与