二次型最优控制

1、目录1.绪论22.线性二次型最优控制原理23.最优控制的设计43.1系统模型的建立43.2原系统能控性、能观性、稳定性与性能指标分析63.2.1判断系统能控性、能观性与稳定性63.2.2原系统性能分析93.3最优控制的设计103.3.1进行最优设计的代码：103.3.2原系统的阶跃响应与最优控制后的阶跃响应的对比113.3.3对改进后的系统进行性能指标的分析123.4研究q矩阵、r矩阵参数变化对最优控制器设计的影响143.4.1计算按线性二次型最优控制设计后系统的传递函数143.4.2研究q矩阵参数变化对最优控制器设计的影响153.4.3研究r矩阵参数变化对最优控制器设计的影响193.4.4

2、q、r矩阵的最优参数204.simulink仿真验证214.1原系统仿真214.2线性二次型最优控制后系统的仿真模型224.3二次型最优调节器与传统双闭环pi调节器的对比245.设计小结256.参考文献251.绪论在工程实践中，直流电动机以其稳定的性能，良好的调速性，得到了工业生产的认可和应用，这就使得对直流电动机的控制成为了越来越多人研究的重点。目前，直流电动机的控制主要采用的为常规的 pid 控制技术， 但由于电动机的非线性，再加上pid 控制技术中 pid 参数的整定存在一定的复杂性，通常采用的是经验整定法以及实际调试改变参数，使得调试时间长，工程实践成本高，而且不能保证控制系统的优化，

3、在一定程度上阻碍了工业发展。随着生产和工业的发展， 现代控制理论应运而生，最优控制是现代控制理论的核心。所谓最优控制，就是在一定条件下，在完成所要求的控制任务时，使系统的某种性能指标具有最优值。根据系统不同的用途，可提出各种不用的性能指标。最优控制的设计，就是选择最优控制，以使某一种性能指标为最小。线性二次型最优控制设计是基于状态空间技术来设计一个优化的动态控制器。系统模型是用状态空间形式给出的线性系统，其目标函数是状态和控制输入的二次型函数。二次型问题就是在线性系统约束条件下选择控制输入使二次型目标函数达到最小。本次设计以直流电动机为控制对象,采用线性二次型调节器技术完成了直流电动机的转速控

4、制设计，利用获得的控制系统进行仿真并与常规pi控制设计效果进行了对比，结果表明lqr控制系统更好地实现了转速控制，适合直流电动机转速控制要求。2.线性二次型最优控制原理假设线性时不变系统的状态方程模型为 引入一个最优控制的性能指标，即设计一个输入量u,使得j=为最小。其中q和r分别为对状态变量和输入变量的加权矩阵; tf为控制作用的终止时间。矩阵s对控制系统的终值也给出某种约束，这样的控制问题称为线性二次型（linear quadratic，简称lq）最优控制问题。为了求解lq问题，我们取hamilton函数并利用变分原理推导出lq问题解满足的必要条件其中一种较为简便的解法为：令(t)=p(t

5、)x(t)而将对(t)的求解转化到对函数矩阵p(t)的求解，特别的，将(t)=p(t)x(t) 代入上述式子中可得函数矩阵p(t)因满足的微分方程如式（1） (1)假定方程(1)的唯一对称半正定解p(t),则lq问题的解u(t)如式（2）： （2）上述lq问题的一个特例是动态方程为定常的情形相应的控制向量取为而二次性能指标如式（3） （3）这里的q和r是给定的实对称正定（或半正定矩阵），他们规定了误差和控制信号能量消耗的模式这里的p是满足方程 的唯一对称半正定矩阵解。3.最优控制的设计3.1系统模型的建立本文研究的它激式直流电动机系统如图 1所示.我们在设计中取0。将电枢电流与转速作为状态变量

6、，控制电压作为输入变量，转速作为输出变量电机电枢回路电压平衡和电机运动平衡的一组微分方程式如式（4） （4）选择状态变量x1=i,x2=n，则系统的状态空间表达式如式（5） （5）由此可得系统的状态空间表达式如式（6） （6）系统建模的程序如下：a=-55.57 -0.151;5242.27 0;b=1.06 0'c=0 1;d=0;sys=ss(a,b,c,d)a = x1 x2 x1 -55.57 -0.151 x2 5242 0b = u1 x1 1.06 x2 0c = x1 x2 y1 0 1d = u1 y1 0continuous-time model.sys2=tf(s

7、ys)transfer function: 5557-s2 + 55.57 s + 791.6damp(sys2) eigenvalue damping freq. (rad/s) -2.78e+001 + 4.42e+000i 9.88e-001 2.81e+001 -2.78e+001 - 4.42e+000i 9.88e-001 2.81e+001 3.2原系统能控性、能观性、稳定性与性能指标分析3.2.1判断系统能控性、能观性与稳定性代码如下： %电机模型a=-55.57 -0.151;5242.27 0;b=1.06 0'c=0 1;d=0;n=length(a)判断系统能控

8、性、能观性与稳定性的代码如下：%判断系统的能控性qc=ctrb(a,b),nc=rank(qc)if n=nc,disp('系统是能控的！'),else disp('系统是不能控的！'),end%判断系统的能观性qo=obsv(a,c),no=rank(qo)if n=no,disp('系统是能观的！'),else disp('系统是不能观的！'),end%判断系统的稳定性z,p,k=ss2zp(a,b,c,d,1);flagz=0;for i=1:n if real(p(i)>0 flagz=1; endenddisp(&

9、#39;系统的零极点模型为');z,p,kif flagz=1 disp('系统不稳定');else disp('系统是稳定的');end执行结果如下：n = 2qc = 1.0e+003 * 0.0011 -0.0589 0 5.5568nc = 2系统是能控的！qo = 1.0e+003 * 0 0.0010 5.2423 0no = 2系统是能观的！系统的零极点模型为z = empty matrix: 0-by-1p = -27.7850 + 4.4245i -27.7850 - 4.4245ik = 5.5568e+003系统是稳定的由上分析可知

10、原系统是能控、能观且稳定的系统的阶跃响应曲线如图 2 step(sys2)图2 系统的阶跃响应曲线由阶跃响应图及damp命令输出的阻尼比，可知系统处于过阻尼状态，转速无超调。3.2.2原系统性能分析分析原系统性能指标的代码如下：a=-55.57 -0.151;5242.27 0;b=1.06 0'c=0 1;d=0;sys=ss(a,b,c,d);sys2=tf(sys);y,t=step(sys2);c=dcgain(sys2);y,k=max(y);%计算原系统峰值时间disp('系统峰值时间为')timetopeak=t(k)%计算原系统调节时间i=length(

11、t)while(y(i)>0.98*c)&(y(i)<1.02*c) i=i-1enddisp('系统调节时间为')settlingtime=t(i)运行结果如下：系统峰值时间为timetopeak = 0.3776系统调节时间为settlingtime =0.2021综上所述，原系统转速无超调，峰值时间为0.3776s，调节时间为0.2021s。3.3最优控制的设计3.3.1进行最优设计的代码：a=-55.57 -0.151;5242.27 0;b=1.06 0'c=0 1;d=0;q=217 0;0 18;r=0.00029;k,p,e=lqr(

12、a,b,q,r);disp('卡尔曼增益');k%阶跃响应k1=k(1);ac=a-b*k;bc=b*k1;cc=c;dc=d;figure(1)step(ac,bc,cc,dc)title('最优控制后的阶跃响应');运行结果如下：卡尔曼增益k = 1.0e+003 *1.7403 0.2490最优控制后的阶跃响应如图3图3 最优控制后的阶跃响应3.3.2原系统的阶跃响应与最优控制后的阶跃响应的对比原系统的阶跃响应与最优控制后的阶跃响应的对比程序如下a=-55.57 -0.151;5242.27 0;b=1.06 0'c=0 1;d=0;sys=ss(

13、a,b,c,d);sys2=tf(sys);step(sys2)gtext('原系统的阶跃响应');hold onq=217 0;0 18;r=0.00029;k,p,e=lqr(a,b,q,r);k1=k(1);ac=a-b*k;bc=b*k1;cc=c;dc=d;figure(1)step(ac,bc,cc,dc)gtext('最优控制后的阶跃响应');原系统的阶跃响应与最优控制后的阶跃响应的对比图如图4图4 原系统的阶跃响应与最优控制后的阶跃响应的对比图3.3.3对改进后的系统进行性能指标的分析对改进后的系统进行性能指标的分析的代码如下：a=-55.57

14、-0.151;5242.27 0;b=1.06 0'c=0 1;d=0;q=217 0;0 18;r=0.00029;k,p,e=lqr(a,b,q,r);ac=a-b*k;bc=b*k1;cc=c;dc=d;sys=ss(ac,bc,cc,dc);sys2=tf(sys);y,t=step(sys2);c=dcgain(sys2);y,k=max(y);disp('利用线性二次型改进后系统超调量为')percentovershoot1=(y-c)/cdisp('利用线性二次型改进后系统峰值时间为')timetopeak1=t(k)%计算改进后系统的调节

15、时间j=length(t)while(y(j)>0.98*c)&(y(j)<1.02*c) j=j-1;enddisp('利用线性二次型改进后系统调节时间为')settlingtime1=t(j)运行结果如下：利用线性二次型改进后系统超调量为percentovershoot1 = 0.0135利用线性二次型改进后系统峰值时间为timetopeak1 = 0.0046j = 67利用线性二次型改进后系统调节时间为settlingtime1 =0.0032由图4及以上对系统改进后的性能指标分析可得出，进行最优控制后，系统虽然有很小的超调，但系统的响应变得很快，电

16、机转速能够很快跟随给定，调节时间及峰值时间很小，系统总体动态特性变好。3.4研究q矩阵、r矩阵参数变化对最优控制器设计的影响如上图4，当q=，r=时最优设计后的系统各项指标较好。下面研究改变q和r的参数对改进后的系统的影响。3.4.1计算按线性二次型最优控制设计后系统的传递函数代码如下：disp('按线性二次型最优控制设计后系统的传递函数为')a=-55.57 -0.151;5242.27 0;b=1.06 0'c=0 1;d=0;syms k1 k2 s;k=k1 k2;y=c*inv(s*1 0;0 1-(a-b*k)*b*k1执行结果如下：按线性二次型最优控制设计

17、后系统的传递函数为y =(1527443257549442380*k1)/(1527443257549442380*k2 + 15274965288878080*s + 291370581360640*k1*s + 274877906944000*s2 + 217588614990533773)3.4.2研究q矩阵参数变化对最优控制器设计的影响改变q22后系统与原系统反馈增益与极点分布对照程序如下a=-55.57 -0.151;5242.27 0;b=1.06 0'c=0 1;d=0;q=217 0;0 18;r=0.00029;k,p,e=lqr(a,b,q,r);disp('

18、;卡尔曼增益');k%阶跃响应k1=k(1);ac=a-b*k;bc=b*k1;cc=c;dc=d;disp('系统极点为')p=eig(ac)'figure(1)step(ac,bc,cc,dc)title('最优控制后的阶跃响应');hold on%参数改变对照组代码q1=217 0;0 5;r1=0.00029;k1,p1,e1=lqr(a,b,q1,r1);k2=k1(1);ac1=a-b*k1;bc1=b*k2;cc1=c;dc1=d;disp('改变参数后系统极点为')p1=eig(ac1)'figure(1)

19、step(ac1,bc1,cc1,dc1)disp('卡尔曼增益');k1当q22=5,18,100，q11=217,r=0.00029时系统的阶跃响应如图5图5 仅改变q22时系统的阶跃响应图由图可知，增大q22，系统的幅值减小，超调量增大，调节时间减小；反之，减小q22，系统的幅值增大，超调量减小，调节时间增大。分析如下：当q22=18时系统的卡尔曼增益及极点分布如下卡尔曼增益k = 1.0e+003 * 1.7403 0.2490系统极点为p = 1.0e+002 * -9.5014 - 6.9400i -9.5014 + 6.9400iq22=100时系统的卡尔曼增益及

20、极点分布如下：p1 = 1.0e+003 * -1.3572 - 1.1920i -1.3572 + 1.1920i卡尔曼增益k1 = 1.0e+003 * 2.5084 0.5871由上知，q22增大后系统的极点离虚轴远了，因此系统响应加快，调节时间变短，又系统传递函数及卡尔曼增益k可知系统的闭环增益减小，因此系统幅值减小。q22不同时，系统输出响应有差异这是因为输出仅与x2有关,因此在指标中加大x2权值, 表示控制u 对x2的作用增强,因此输出建立时间短。当然, q22太大, 系统的超调也增大, 因此, 不能无限制增加q22 , 以缩短输出建立时间。当q11=500,217,50，q22=

21、18,r=0.00029时系统阶跃响应曲线如图6所示：图6 仅改变q11时系统的阶跃响应由图知，增大q11，系统的幅值增大，超调量减小，调节时间增大；反之，减小q11，系统的幅值减小，超调量增大，调节时间减小。分析如下：当q11=217时系统的卡尔曼增益及极点分布如下卡尔曼增益k = 1.0e+003 * 1.7403 0.2490系统极点为p = 1.0e+002 * -9.5014 - 6.9400i -9.5014 + 6.9400i当q11=500时系统的卡尔曼增益及极点分布如下改变参数后系统极点为p1 = 1.0e+003 * -1.0848 - 0.4555i -1.0848 +

22、0.4555i卡尔曼增益k1 = 1.0e+003 * 1.9945 0.2490由上分析可知q11增大后，系统的极点距虚轴更远，系统响应加快，但由于k1/k2增大系统的幅值增大。表明在指标中加大x1的权值，说明控制u对x1的作用增强，保证电流的变化减小，能够很好抵抗外界的干扰，使转速更加平稳，超调更小。3.4.3研究r矩阵参数变化对最优控制器设计的影响r=0.008,0.00029,0.0005时阵时系统的阶跃响应曲线对比如图7图7 改变r阵时系统的阶跃响应由图7可得，将r矩阵的参数放大，系统超调量增大，调节时间增大，且稳态值增大很多；反之，若r矩阵的参数减少，系统超调量减少，调节时间减小，

23、且稳态值减小。当r=0.00029时，系统的极点及卡尔曼增益如下：系统极点为p = 1.0e+002 * -9.5014 - 6.9400i -9.5014 + 6.9400i卡尔曼增益k = 1.0e+003 * 1.7403 0.2490当r=0.008时系统的极点分布及卡尔曼增益如下：改变参数后系统极点为p1 = 1.0e+002 * -3.7388 - 3.5185i -3.7388 + 3.5185i卡尔曼增益k1 = 653.0125 47.2919由上分析及线性二次型最优设计后的系统的传递函数可得，r增大后，闭环系统极点距虚轴更近，k增大，因此系统幅值增大，调节时间增大，响应变慢。r规定了控制信号的能量消耗的模式，由上分析也可知，r越小，系统的动态响应越好，这正验证了最优控制使用最小的能量是系统恢复到了平衡点。3.4.4 q、r矩阵的最优参数综上的一系列对比与分析，我们得到了关于二次型最优调解器设计中q与r的一组最优值，如下：此时系统的阶跃响应与原系统的对比图如图8图8 最优参数矩阵下系统的阶跃响应与原系统的对比图4.simulink仿真验证4.1原系统仿真原系统的状态空间模型为得到最优控制的反馈矩阵k=829.0396 114.4007；增加最优控制以后的系统矩阵变为原系统的仿真模型如图9图9 原系统的仿真模型原系统启动过程中