DFT的共轭对称性PPT演示课件

1、1第十讲3.2.5 dft的共轭对称性的共轭对称性3.3频域抽样理论频域抽样理论-抽样抽样z变换变换3.4.1 用用dft计算线性卷积计算线性卷积23.2.5 dft的共轭对称性与dtft对称性的区别tdtft以(-,+)为变换空间，所以在讨论对称性质中，以原点为对称中心，序列的移位范围无任何限制，因为无论如何不会移出变换区间；tdft以(0,n-1)为变换空间，所以在讨论对称性质中，序列的移位会移出变换区间，所以要在区间(0,n-1)上定义有限长序列的圆周共轭对称有限长序列的圆周共轭对称序列和反对称序列序列和反对称序列；tdft以(0,n-1)为变换空间，所以在讨论对称性质中，将会得出其对称

2、中心为n=n/2。31.周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量 周期为n的周期序列的共轭对称分量与共轭反对 称分量分别定义为 )()(21)()(21)()()(21)()(21)(*nnonnennxnxnxnxnxnnxnxnxnxnx同样，有)()()()()()()(*nxnxnxnxnxnxnxooeeoe4*1( ) ( )()2ex nx nxn*1( ) ( )()2ex nx nxn( )nx n*()nxnn52.有限长序列的圆周共轭对称分量有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量与圆周共轭反对称分量 有限长序列的圆周共轭对称分量与

3、圆周共轭反对称 分量分别定义为)()()(21)()()()()()(21)()()(*nrnnxnxnrnxnxnrnnxnxnrnxnxnnnnoopnnnneep由于)()()()()()()()()()(nrnxnrnxnrnxnxnrnxnxnonenoen所以)()()(nxnxnxopep 这表明长为n的有限长序列可分解为两个长度相同的两个分量。62.有限长序列的圆周共轭对称与有限长序列的圆周共轭对称与圆周共轭反对称性质圆周共轭反对称性质( )() 01( )() 01epepopopxnxnnnnxnxnnnn*1( ) ( )()21( ) ( )()2epopxnx nxn

4、nxnx nxnn 上式已给出有限长序列x(n)的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量的对称中心为n=n/2，其圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量可简写为：7共轭对称与共轭反对称序列示意图()(),01222()(),01222epepopopnnnxnxnnnnnxnxnn 83.有限长序列有限长序列x(n)的对称分量分解的对称分量分解及其及其dft表示表示: ( )( ) ( ) dft ( )( )( )( )1 ( ) ( )( )21dft( )( )()( )21 ( ) ( )( )21dft ( )( )()( )2riepoprrepiiopx nx njx nx nx k

5、xkxkx nx nx nx nx kxnkxkx nx nx nx nx kxnkxk若有则有：证明：9圆周共轭对称分量。的该序列复数序列实部的dftdft *圆周共轭反对称分量。的该序列的复数序列虚部乘以dftdftj*104.有限长序列有限长序列x(n)的实虚分解的实虚分解及其及其dft表示表示)(im)()(21 )(dft)()(21)( )(re)()(21)(dft)()(21)( :)()()()(dft:)( )()( :kxjkxkxnxnnxnxnxkxkxkxnxnnxnxnxkjxkxkxnxnxnxnxopopepepiropep证明则有若有115.实、虚序列的对称

6、特性实、虚序列的对称特性 当x(n)为实序列时，则 x(k)=xep(k)又据xep(k)的对称性：)()()(*krknxkxnnepep 当x(n)为纯虚序列时，则 x(k)=xop(k)又据xop(k)的对称性：)()()(*krkxkxnnopop)()()(*krknxkxnn)()()(*krkxkxnn12 序列 dft共轭对称性总结1： 复数序列的共轭对称性( )( )x nx kre ( )( )epx nxkim ( )( )opjx nxk( )re( )epxnx k( )im( )opxnjx k13 序列 dft共轭对称性总结2: 实数序列的共轭对称性re ( )(

7、 )( )epx nxkx kim ( )0( )0opjx nxk( )re( )epxnx k( )im( )opxnjx k14共轭对称性总结3: 纯虚序列的共轭对称性 序列 dftre ( )0( )0epx nxkim ( )( )( )opjx nxkx k( )re( )epxnx k( )im( )opxnjx k15 假设 x1(n)和x2(n)都是n点的实数序列，可用一次n点dft运算来计算它们各自的dft: 11( )( )dft x nx k22( )( )dft x nxk利用两序列构成一个复序列12( )( )( )w nx njx n12( ) ( )( )( )

8、w kdft w ndft x njx n则12( )( )dft x njdft x n12( )( )x kjxk6.共轭对称性的应用举例共轭对称性的应用举例161( )re ( )x nw n由得11( )( ( )epx kdft x nwk*1( )() ( )2nnnwkwnkrk2( )im ( )x nw n由得221( )( )( )opxkdft x nwkj*1( )() ( )2nnnwkwnkrkj17 3.3频域抽样理论-抽样z变换讨论： 时域抽样: 对一个频带有限的信号,根据抽样定理对其进行抽样,所得抽样信号的频谱是原带限信号频谱的周期延拓,因此,完全可以由抽样信

9、号恢复原信号。 频域抽样: 对一有限序列(时间有限序列)进行dft所得x(k)就是序列傅氏变换的采样.所以dft就是频域抽样。18问题:t能否由频域抽样x(k)恢复序列x(n)t能否由频域抽样x(k)恢复序列x(z)或t若能恢复其条件是什么？如何推导内插恢复公式?()jx e回忆时域内插恢复公式回忆时域内插恢复公式!19 ( )()( )knnknz wnx knwznxx zx对在单位圆上 点等间隔抽样，得周期序列：( )( )?x kx n分析：( )z( )( )nnx nx zx n z任意绝对可和的非周期序列，其 变换： 一一.由频域抽样恢复原序列由频域抽样恢复原序列20( )( )

10、nxnx kidfs令为的：101( )( )( )nnknnkxnidfs x kx k wn101( )nmknknnkmx m wwn 1()01( )nm n knmkx mwn()rx nrn1()0110nm n knkmnrnwmn其它r为任意整数21tx(n)为无限长序列混叠失真tx(n)为有限长序列，长度为m( )x k由频域抽样序列 还原得到的周期序列是原非周期序列 的周期延拓序列，其周期为频域抽样点数n。( )x n所以：时域抽样造成频域周期延拓同样，频域抽样造成时域周期延拓1 nm），不失真2nm），混叠失真讨论：22频率采样定理若序列长度为m，则只有当频域采样点数:时

11、，才有即可由频域采样 不失真地恢复原信号 ，否则产生时域混叠现象。nm( )( )( )( )( )nnnxn rnidfs x krnx n( )x k( )x n231101( )1n nkknzx knw z( )mx nnnm点有限长序列，频域 点等间隔抽样，且 1100( )( )( )mnnnnnx zx n zx n z11001( )nnnknnnkx k wzn11001( )nnnknnknx kwzn11011( )1nknnnkknwzx knwz内插恢复和表示二、由-)()()(jexzxkx1.由x(k)恢复x(z)则：241101( )( )1n nkknzx k

12、x znwz内插公式：111( )1nkknzznwz内插函数：10( )( )( )nkkx zx kz则内插公式简化为： 内插公式与内插函数内插公式与内插函数25内插函数的特性内插函数的特性 将内插函数写成如下式:)(11)(1knnnkwzzznz20,1,.,1jrnzern零点：，20 (-1)jknzen极点：， 阶 极点 与一零点相消。这样只有(n-1)个零点,抽样点 称作本抽样点。因此说，内插 函数仅在本抽样点处不为零,其他(n-1)个抽样点均为零。knjez2knje2262()( )()jjkkz eezkn ()jx e用频域采样 表示 的内插公式( )x k10()(

13、)( )()jnjjkz ekx ex zx ke12sin12 ( )sin2njnen内插函数：2.2728102 ()( ) ()njkx ex kkn 内插恢复过程描述：212 ()20kiknkniikn 293.4 dft的应用举例303.4.1 用用dft计算线性卷积计算线性卷积 112120( )( )( )( )()( )lllmy nx nx nx m xnmrn1122( )( )( )( )x kdft x nxkdft x n0kl-1则由时域循环卷积定理有 y(k)=dfty(n)=x1(k)x2(k), 0kl-1如果1.用dft计算循环卷积31t 由此可见， 循

14、环卷积既可在时域直接计算，在频域计算。 由于dft有快速算法fft， 当n很大时， 在频域计算的速度快得多， 因而常用dft(fft)计算循环卷积。 图 3.4.1 用dft计算循环卷积 32 在实际应用中， 为了分析时域离散线性非移变系统或者对序列进行滤波处理等， 需要计算两个序列的线性卷积，为了提高运算速度，也希望用dft(fft)计算线性卷积。 为此需导出线性卷积和循环卷积之间的关系以及循环卷积与线性卷积相等的条件。 假设h(n)和x(n)都是有很长序列， 长度分别是n和m。 它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下： 1010( )( )( )( ) ()( )( )( )( ) ()(

15、)nlmlcllmy nh nx nh m x nmy nh nx nh m x nmrn2.循环卷积与线性卷积循环卷积与线性卷积33t其中， lmaxn, m 1010( )( )()( )( ) ()( )nclmqnlqmy nh mx nmql r nh m x nmql r n ( )(),lqx nx nql可以看出， 上式中 10( ) ()()( )()( )nlmcllqh m x nqlmy nqly ny nql r n34图 3.4.2 线性卷积与循环卷积 0123451234h(n) x(n)nl 60123451234nl 867h(n) x(n)0123451234nl 1067h(n) x(n)（ d ）（ e ）( f )0123451234nn m1 867h(n) x(n)*nm 5012341x(n)nn 401231h(n)（ a ）（ b ）（ c ）89* * 189 1035图 3.4.3 用dft计算线性卷积框图 补l n个零点l点dft补l m个零点l点dftl点idfty(n)h(n)x(n)36 设序列h(n)长度为n， x(n)为无限长序列。 将x(n)均匀分段， 每段长度取m， 则