介质中的高斯定律电位移矢量

1、介质中的高斯定律电位移矢量NoImage2.4 介质中的高斯定律介质中的高斯定律 电位移矢量电位移矢量 一、极化与极化强度矢量一、极化与极化强度矢量 1）介质极化有关概念）介质极化有关概念 介质：内部存在不规则而迅速变化的微观电磁场的带电系统介质：内部存在不规则而迅速变化的微观电磁场的带电系统 电偶极子和电偶极矩：电偶极子和电偶极矩： 介质分子的分类：无极分子和有极分子。介质分子的分类：无极分子和有极分子。 在热平衡时，分子无规则运动，取向各方向均等，介质在宏观在热平衡时，分子无规则运动，取向各方向均等，介质在宏观上不显出电特性上不显出电特性 介质的极化：在外场影响下，无极分子变为有极分子，有

2、极分介质的极化：在外场影响下，无极分子变为有极分子，有极分子的取向一致，宏观上出现电偶极矩子的取向一致，宏观上出现电偶极矩电偶极子：由两个相距很近的带等量异号电量的点电偶极子：由两个相距很近的带等量异号电量的点电荷所组成的电荷系统。电荷所组成的电荷系统。电偶极矩电偶极矩 ：表示电偶极子。：表示电偶极子。ppql lqq介质中的高斯定律电位移矢量用极化强度矢量用极化强度矢量 表示电介质被极化的程度。表示电介质被极化的程度。 P式中：式中： ip表示表示i个分子极矩。个分子极矩。 物理意义：等于单位体积内电偶极矩矢量和。物理意义：等于单位体积内电偶极矩矢量和。 说明：对于线性媒质，介质的极化强度和

3、外加电场成正比关系，即说明：对于线性媒质，介质的极化强度和外加电场成正比关系，即 0:eePE 媒质极化系数2 2）极化强度矢量）极化强度矢量 二、极化电荷（束缚电荷）二、极化电荷（束缚电荷） 媒质被极化后，在媒质体内和分界面上会媒质被极化后，在媒质体内和分界面上会出现电荷分布，这种电荷被称为极化电荷。出现电荷分布，这种电荷被称为极化电荷。由于相对于自由电子而言，极化电荷不能自由于相对于自由电子而言，极化电荷不能自由运动，故也称束缚电荷。由运动，故也称束缚电荷。 体内出现的极化电荷成为体极化电荷，表体内出现的极化电荷成为体极化电荷，表面上出现的极化电荷称为面极化电荷。面上出现的极化电荷称为面极

4、化电荷。 VPPiV 0lim介质中的高斯定律电位移矢量 dS p l 介质被极化后，分子可视作一个电偶极子介质被极化后，分子可视作一个电偶极子 设分子的电偶极矩设分子的电偶极矩p=ql。取如图所示体积。取如图所示体积元，其高度元，其高度 等于分子极矩长度。等于分子极矩长度。l1 1）体极化电荷）体极化电荷 则负电荷处于体积中的电偶极子的正电荷必定穿过面元则负电荷处于体积中的电偶极子的正电荷必定穿过面元d dS S在空间中任取体积在空间中任取体积V V，其边界为，其边界为S S，则经，则经S S穿出穿出V V的正电荷量为的正电荷量为穿出整个穿出整个S S面的电荷量为：面的电荷量为： 由电荷守恒

5、和电中性性质，由电荷守恒和电中性性质，S S面所围电荷量为面所围电荷量为 SdPSdpnSdlnqdQSSSdPdQQSpSdPQqVVdPPp介质中的高斯定律电位移矢量2 2）面极化电荷）面极化电荷在介质表面上，极化电荷面密度为在介质表面上，极化电荷面密度为 式中：式中： 为媒质极化强度为媒质极化强度 为媒质表面外法向单位矢量为媒质表面外法向单位矢量 Pn 12SPnnPP 介质介质1介质介质2n讨论：若分界面两边均为媒质，则讨论：若分界面两边均为媒质，则SdPdSpSSspsp nPsp)(21PPnsp真空、金属真空、金属0P（1 1）介质）介质2 2是电介质而介质是电介质而介质1 1是

6、真空是真空: :01nPnspP2 （2 2）介质）介质2 2是电介质而介质是电介质而介质1 1是金属是金属: :01nPnspP2 介质中的高斯定律电位移矢量对介质极化问题的讨论对介质极化问题的讨论1 1）极化电荷不能自由运动，也称为束缚电荷）极化电荷不能自由运动，也称为束缚电荷 2 2）由电荷守恒定律，极化电荷总量为零；）由电荷守恒定律，极化电荷总量为零； 3 3）P=P=常矢量时称媒质被均匀极化，此时介质内部无极化电荷，极常矢量时称媒质被均匀极化，此时介质内部无极化电荷，极化电荷只会出现在介质表面上化电荷只会出现在介质表面上 4 4）均匀介质内部一般不存在极化电荷）均匀介质内部一般不存在

7、极化电荷 介质中的高斯定律电位移矢量2-4-2 有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移同时考虑自由电荷和束缚电荷产生的电场同时考虑自由电荷和束缚电荷产生的电场SSqq内)(1d00SE总电场总电场束缚电荷束缚电荷自由电荷自由电荷高高 斯斯介质中的高斯定律电位移矢量考虑关系考虑关系n把静电场把静电场Gauss定理变换一下定理变换一下 SSqSdP内SSSqqSdE内内11000SSSdPq内001SSSqSdPSdE内0001SSqSdPE内00)(PED0电位移矢量电位移矢量 SSqSdD内0S面内包面内包围 的 自围 的 自由电荷由电荷电位移矢量电位移矢量通量通量介质中的高斯

8、定律电位移矢量同时描述电场和电介质极化的复合矢量。同时描述电场和电介质极化的复合矢量。SSqSdD内0PED0有电介质时有电介质时的高斯定理的高斯定理如果把真空看作电介质的特例如果把真空看作电介质的特例ED00P00qSdES介质中的高斯定律电位移矢量SSqSdD内0有电介质时的高有电介质时的高斯定理积分形式斯定理积分形式 SVdVDSdD高斯散度定理高斯散度定理有介质高斯定理微分形式有介质高斯定理微分形式 D介质中的高斯定律电位移矢量nD的的Gauss定理：有电介质存在时，通过电介质定理：有电介质存在时，通过电介质中任意闭合曲面的电位移通量，等于闭合曲面所中任意闭合曲面的电位移通量，等于闭合

9、曲面所包围的自由电荷的代数和，与极化电荷无关包围的自由电荷的代数和，与极化电荷无关n公式中不显含公式中不显含P、q、E，可以掩盖矛盾，但没，可以掩盖矛盾，但没有解决原有的困难有解决原有的困难n若若q0已知，只要场分布有一定对称性，可以求出已知，只要场分布有一定对称性，可以求出 D，但由于不知道，但由于不知道P，仍然无法求出，仍然无法求出ESSqSdD内0PED0介质中的高斯定律电位移矢量PED0n需要补充需要补充D和和E的关系式，并且需要已知描述的关系式，并且需要已知描述介质极化性质的极化率介质极化性质的极化率 e，对于各向同性线性对于各向同性线性介质介质,有有EPe0n真空中真空中 EDr0

10、1 ，n有介质的问题总体上说，比较复杂有介质的问题总体上说，比较复杂n但就各向同性线性介质来说，比较简单。但就各向同性线性介质来说，比较简单。re1相对介电常数（与真空相对）相对介电常数（与真空相对）介介电电常常数数EEre00)1 (n一般一般 1, 0r介质中的高斯定律电位移矢量0qSdD,ED 1 。处处处处对对应应，且且方方向向一一致致与与ED0qSdD2 与与)qq(1SdEo 束束自自等价等价!3 以上讨论对任何形状的电介质都成立。以上讨论对任何形状的电介质都成立。2环路定理环路定理束缚电荷束缚电荷q束束产生的电场与产生的电场与自由电荷自由电荷q产生的电场相同产生的电场相同保守力场

11、保守力场0 l dE说明：说明：介质中的高斯定律电位移矢量电位移线起始于正自由电荷终止于负自由电荷。电位移线起始于正自由电荷终止于负自由电荷。与束缚电荷无关。与束缚电荷无关。电力线起始于正电荷终止于负电荷。包括自由电力线起始于正电荷终止于负电荷。包括自由电荷和与束缚电荷。电荷和与束缚电荷。电位移线：线上每一点的切线方向和该点电位移电位移线：线上每一点的切线方向和该点电位移的方向相同，并规定在垂直于电位移线的单位面积上的方向相同，并规定在垂直于电位移线的单位面积上通过的电位移线数目等于该点的电位移的量值通过的电位移线数目等于该点的电位移的量值 电位移线与电场线电位移线与电场线性质不同。性质不同。

12、介质中的高斯定律电位移矢量+电场线电场线电位移线电位移线介质中的高斯定律电位移矢量2-4-3 有电介质时的静电场的基本方程有电介质时的静电场的基本方程积分积分方程：方程：QSdDS 0 CldE微分微分方程：方程： D0 E本构本构方程：方程：EEDr 0介质中的高斯定律电位移矢量有电介质存在时的高斯定理的应用有电介质存在时的高斯定理的应用（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面，求出电位移矢量。，求出电位移矢量。（2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。（3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强

13、度）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度（4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。介质中的高斯定律电位移矢量3 解题一般步骤：解题一般步骤：由由q自自 自自qSdDD DEEPoe EEPnP 介质中的高斯定律电位移矢量例题例题1 一半径为一半径为R的金属球，带有电荷的金属球，带有电荷q0,浸埋在均匀浸埋在均匀“无限大无限大”电介质（介电常数为电介质（介电常数为），求球外任一点），求球外任一点P的的场强及极化电荷分布。场强及极化电荷分布。解解: 根据金属球是等势体，而根据金属球是等势体，而且介质又以球体球心为中心对且介质又以球体球心为

14、中心对称分布，可知电场分布必仍具称分布，可知电场分布必仍具球对称性，用有电介质时的高球对称性，用有电介质时的高斯定理来。斯定理来。 如图所示，过如图所示，过P点作一半点作一半径为径为r并与金属球同心的闭合并与金属球同心的闭合球面球面S，由高斯定理知，由高斯定理知RQ0rPS 介质中的高斯定律电位移矢量204 rqDrerqD204所以所以写成矢量式为写成矢量式为 SDdED , 所以离球心所以离球心r 处处P点的场强为点的场强为因因rrrerqerq200204424 rD0qDErE0SDd介质中的高斯定律电位移矢量rrrerqP1420 结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介结果表明：

15、带电金属球周围充满均匀无限大电介质后，其场强减弱到真空时的质后，其场强减弱到真空时的1/r倍倍.同时可求出电极化强度为同时可求出电极化强度为EP) 1(0rrrrerqerq20002044rEE0rrerqE2004介质中的高斯定律电位移矢量RQ0rPS 其其B点的电荷面密度为点的电荷面密度为nspeP BneneBE)(0reRqBE204)( 2004Rq00)(s 介质中的高斯定律电位移矢量00)(ssp )1 (0讨论讨论: : 1. 恒异号。恒异号。和和0ssp 2. ,0ssp 即交界面上极化电荷面密度在数即交界面上极化电荷面密度在数值上一定小于自由电荷面密度值上一定小于自由电荷

16、面密度. .3. 交界面上总的电荷面密度为交界面上总的电荷面密度为spss 0 )(100srs 0 即总电荷面密度减小到自由电荷面密度的即总电荷面密度减小到自由电荷面密度的r1这是这是离球心离球心r r处处P P点的场强点的场强减小到真空时的减小到真空时的1/1/r r倍的原因。倍的原因。介质中的高斯定律电位移矢量0102D电介质金属板金属板2S1Sne 例题例题2 2 平行板电容器两板如图所示，两板极之间充满平行板电容器两板如图所示，两板极之间充满介电常数为介电常数为的的电介质电介质, ,电容器两板极上自由电荷面密度电容器两板极上自由电荷面密度为为01 和02 (02= -01 )。求（。

17、求（1 1）电介质中的电场，交界面）电介质中的电场，交界面的的（2 2）电容器的电容）电容器的电容. .SSDd1SDn内Sq0101SneD01neDE01介质左右的极化电荷面密度为介质左右的极化电荷面密度为:neP1neE0010neP20101极化电荷面密度与自由电荷密度异号极化电荷面密度与自由电荷密度异号,且绝对值比后者小且绝对值比后者小.解解:010介质中的高斯定律电位移矢量0102D电介质金属板金属板2S1Sne(2)电容器的电容UqC0EdU d01Sq010UqC00CrdSdSr0介质中的高斯定律电位移矢量例题：圆心在原点，半径为例题：圆心在原点，半径为R R的介质球，其极化

18、强的介质球，其极化强度度 ，试求此介质球内束缚电荷密度，试求此介质球内束缚电荷密度和球表面束缚面电荷密度。和球表面束缚面电荷密度。)0( mraPmr解：在球坐标系中，由于极化强度只与解：在球坐标系中，由于极化强度只与r r有关，具有关，具有球对称性，所以有球对称性，所以时时当当Rr Pp )(122marrrr 1)2( mrma时时当当Rr nPps mrrRaa mR 介质中的高斯定律电位移矢量NoImage zrePO分析：驻极体是指外场消失后，仍保持极分析：驻极体是指外场消失后，仍保持极化状态的电介质体。化状态的电介质体。解：在驻极体内：解：在驻极体内：驻极体在表面上：驻极体在表面上

19、：0cosP求半径为求半径为a a，永久极化强度为，永久极化强度为 的球形驻极体中的极化电荷的球形驻极体中的极化电荷分布。已知：分布。已知：0zPPeP例例nPsp 0 Pp rzeeP 0 cosrzee 介质中的高斯定律电位移矢量NoImage 半径为半径为a a的球形电介质体，其相对介电常数的球形电介质体，其相对介电常数 , , 若在球心处存在一点电荷若在球心处存在一点电荷Q Q，求极化电荷分布。，求极化电荷分布。4r解：由高斯定律，可以求得解：由高斯定律，可以求得0PDE在媒质内：在媒质内：023316rQeEr24rQeEr体极化电荷分布体极化电荷分布: :221()0rr Prr面

20、极化电荷分布面极化电荷分布: :2316Qa例例 SQdSD24 reQDr Pp rspeP 介质中的高斯定律电位移矢量NoImage 在线性均匀媒质中，已知电位移矢量在线性均匀媒质中，已知电位移矢量 的的z z分量为分量为 ，极化强度，极化强度 求：介质中的电场强度求：介质中的电场强度 和电位移矢量和电位移矢量 。220/zDnC m292115/xyzPeeenC mDED解：由定义，知：解：由定义，知：00DEPDP1(1)rPD4zrzzDPD1rrDP43P014ED例例介质中的高斯定律电位移矢量NoImage3.5 介质中的高斯定律介质中的高斯定律 边界条件边界条件 一、介质静电

21、场基本方程一、介质静电场基本方程 真空中的高斯定律：真空中的高斯定律：在介电常数为在介电常数为 的介质中，类似地，有：的介质中，类似地，有：介质中的高斯定律介质中的高斯定律 在介质中，静电场仍然为保守场在介质中，静电场仍然为保守场0E介质中的环路定律介质中的环路定律 0qSdESqSdES0qSdES0qSdDS D0Cl dE介质中的高斯定律电位移矢量NoImage二、介质的电位方程二、介质的电位方程 在均匀、各向同性、线性媒质中（在均匀、各向同性、线性媒质中（ 为常数）为常数）()E 2 介质中的泊松方程介质中的泊松方程 三、静电场的边界条件三、静电场的边界条件 在两种介质界面上，介质性质

22、有突变，电磁场也会突变在两种介质界面上，介质性质有突变，电磁场也会突变 分界面两边电场按照某种规律突变，称这种突变关系为电场的边分界面两边电场按照某种规律突变，称这种突变关系为电场的边值关系或边界条件值关系或边界条件 推导边界条件的依据是静电场基本方程的积分形式推导边界条件的依据是静电场基本方程的积分形式 DEE)(E介质中的高斯定律电位移矢量1) 的边界条件的边界条件 D 在分界面上取一个扁盒，将在分界面上取一个扁盒，将 应用于此盒，并考虑应用于此盒，并考虑h h0 0，得，得qSdDSSnDSnDSdDS21SqssnDD)(21snnDD21介质中的高斯定律电位移矢量 为分界面上自由电荷

23、面密度，不包括自由极化电荷。为分界面上自由电荷面密度，不包括自由极化电荷。 s120nnDD 若媒质为理想媒质，则若媒质为理想媒质，则 ， 满足边界条件满足边界条件0sD对对 边界条件的讨论边界条件的讨论D 结论一：若边界面上不存在自由电荷，则结论一：若边界面上不存在自由电荷，则 法向连续。法向连续。 D 电位移法向分量的不连续，与分界面的自由面电荷的存在有关电位移法向分量的不连续，与分界面的自由面电荷的存在有关电位移法向分量的边界条件用电位可表示为电位移法向分量的边界条件用电位可表示为1212|snn界面1211112222nnnnDEDEnn 介质中的高斯定律电位移矢量当分界面的自由面电荷

24、不存在，电位移法向分量连续当分界面的自由面电荷不存在，电位移法向分量连续对于各向同性的线性介质，有对于各向同性的线性介质，有 n221n1EE此式表明：此式表明：在两种各向同性的线性介质形成的边界上电场强在两种各向同性的线性介质形成的边界上电场强度的法向分量不连续度的法向分量不连续。 可导出边界上束缚电荷与电场强度法向分量的关系为可导出边界上束缚电荷与电场强度法向分量的关系为 )(n1n20EES在在S S = 0= 0时，时，电位移法向分量的边界条件用电位可电位移法向分量的边界条件用电位可表示为表示为02211nn介质中的高斯定律电位移矢量NoImage2) 2) 的边界条件的边界条件 E

25、在分界面上作一矩形回路，将在分界面上作一矩形回路，将 用于此回路，且考虑用于此回路，且考虑h h0 0，得，得结论二：在两种媒质分界面上，结论二：在两种媒质分界面上， 切向连续。切向连续。 E0Cl dE021lElEl dEClnSl0)()(21lnSElnSE0)()(21EnSEnS21EnEnttEE212211sinsinEE介质中的高斯定律电位移矢量对于各向同性的线性介质对于各向同性的线性介质 2112ttDD电场强度的切向分量连续，意味着电位是连续的，用电位可表电场强度的切向分量连续，意味着电位是连续的，用电位可表示为示为 21在边界上，电位移的切向分量是不连续的。在边界上，电

26、位移的切向分量是不连续的。 设区域设区域 1 1 和区域和区域 2 2 内电场线与法向的夹角分别为内电场线与法向的夹角分别为1 1、2 2，2121tantan分界面处的折射定理分界面处的折射定理 折射定理表明，电场线在分界面上通常要改变方向。折射定理表明，电场线在分界面上通常要改变方向。在在S S = 0= 0时，由时，由电位移法向分量和场强的切向分量的边界条电位移法向分量和场强的切向分量的边界条件有：件有： 介质中的高斯定律电位移矢量0s理想媒质和导体的静电场边界条件理想媒质和导体的静电场边界条件 理想介质分界面的边界条件（理想介质分界面的边界条件（ ） 理想介质：导电率为理想介质：导电率为0 0的媒质。因此在理想介质内部和表面的媒质。因此在理想介质内部和表面均不存在自由电荷分布，故边界条件为：均不存在自由电荷分布，故边界条件为： 12120nnttDDEE0nstDE 导体边