社会统计学-概率与概率分布

1、 2021-10-291本章是推本章是推断统计的断统计的基础基础主主要要内内容容基础概率基础概率概率的数学性质概率的数学性质概率分布、期望值与方差概率分布、期望值与方差2021-10-292统计研究如何依据样本资料对总体性质作出推断，统计研究如何依据样本资料对总体性质作出推断，这是以概率论为基础的。这是以概率论为基础的。 随机原则随机原则总体参数总体参数统计量统计量推断估计推断估计参数估计参数估计检验检验假设检验假设检验抽样分布抽样分布 概率论起源于概率论起源于17世纪，当时在人口统计、人寿保险等世纪，当时在人口统计、人寿保险等工作中，要整理和研究大量的随机数据资料，这就需要一工作中，要整理和

2、研究大量的随机数据资料，这就需要一种专门研究大量随机现象的规律性的数学。种专门研究大量随机现象的规律性的数学。关于赌博的可能性：关于赌博的可能性： 参赌者通常想类似的问题，如果同时掷两颗骰子参赌者通常想类似的问题，如果同时掷两颗骰子 ，则点数之和为则点数之和为9 9 和点数之和为和点数之和为10 10 ，哪种情况出现的可能，哪种情况出现的可能性较大？性较大？ 例如例如1717世纪中叶，贵族德世纪中叶，贵族德梅尔发现：将一枚骰子连梅尔发现：将一枚骰子连掷四次，出现一个掷四次，出现一个6 点的机会比较多，而同时将两枚掷点的机会比较多，而同时将两枚掷2424次，出现一次双次，出现一次双6 的机会却很

3、少。的机会却很少。 2021-10-293 概率论的创始人是法国的帕斯卡概率论的创始人是法国的帕斯卡(1623-1662)和费尔马和费尔马(1601-1665)，他们在以通信的方式讨论赌，他们在以通信的方式讨论赌博的机率问题时，发表了博的机率问题时，发表了骰子赌博理论骰子赌博理论一书。棣莫一书。棣莫弗弗(1667-1754)发现了正态方程式。同一时期瑞士的发现了正态方程式。同一时期瑞士的伯努利伯努利(1654-1705)提出了二项分布理论。提出了二项分布理论。1814年，年，法国的拉普拉斯法国的拉普拉斯(1749-1827)发表了发表了概率分析论概率分析论，该书奠定了古典概率理论的基础，并将概

4、率理论应用于该书奠定了古典概率理论的基础，并将概率理论应用于自然和社会的研究。此后，法国的泊松自然和社会的研究。此后，法国的泊松(1781-1840)提出了泊松分布，德国的高斯提出了泊松分布，德国的高斯(1777-1855)提出了最提出了最小平方法。小平方法。 2021-10-2942021-10-295 随机现象具有一定随机现象具有一定条件呈现多种可能结条件呈现多种可能结果的特性。果的特性。 人们把随机现象的结人们把随机现象的结果以及这些结果的集合体果以及这些结果的集合体称作随机事件。称作随机事件。诞生的婴儿将是男孩。诞生的婴儿将是男孩。某人将活到某人将活到100岁以上。岁以上。明年报考劳动

5、关系学院的学生将超过明年报考劳动关系学院的学生将超过2千人。千人。明天将下雨。明天将下雨。 概率是这些随机事件发生可能性大小的数概率是这些随机事件发生可能性大小的数量表示。量表示。2021-10-2961.样本点样本点Ei2.样本空间样本空间所有样本点的全体称作样本所有样本点的全体称作样本空间空间(Sample space)，记作，记作随机试验的每一个可能随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件的结果，称为基本事件（或称样本点）（或称样本点） 例例 掷一颗骰子，试列出它的基本事件和掷一颗骰子，试列出它的基本事件和样本空间。样本空间。E1=出现出现“1”点；点；E2，E3，E4，E5，E6。=1

6、，2，3，4，5，62021-10-299简单事件简单事件：仅含样本空间中：仅含样本空间中一个样本点的事件。一个样本点的事件。复合事件复合事件：含样本空间中一：含样本空间中一个样本点以上的的事件。个样本点以上的的事件。随随机机事事件件随机事件是基本事件自身或由基本事件组成的随机事件是基本事件自身或由基本事件组成的集合。它是样本空间集合。它是样本空间 的某个子集。的某个子集。极端的极端的随机事件随机事件必然事件必然事件：从样本空间来看：从样本空间来看 ，该事件事件是由其全部基本事件该事件事件是由其全部基本事件所组成，记作所组成，记作S 。不可能事件不可能事件：从样本空间来看：从样本空间来看 ，不

7、含任何基本事件，记作不含任何基本事件，记作 。 0)(P1)(SP1)(0EP2021-10-2911 例例 对掷一颗骰子的试验，我们研究如下对掷一颗骰子的试验，我们研究如下事件：事件：A为为“点数是点数是3”；B为为“出现奇数点出现奇数点”；C为为“出现点数不超过出现点数不超过6”；D为为“点数是点数是7”。 解解 因为因为1，2，3，4，5，6，所，所以以 A3 ，为简单事件；，为简单事件； B1，3，5，为复合事件；，为复合事件； C1，2，3，4，5，6，为必然，为必然事件；事件； D7，为不可能事件。，为不可能事件。 在统计学中，有两种常见的确定概率的方在统计学中，有两种常见的确定概

8、率的方法：古典法和频率法。法：古典法和频率法。 （一）频率法（经验概率经验概率）随机事件具有两重性：一次试验或观察的结果具有偶然性；大量重复实验或观察的结果具有统计规律性。2021-10-2913 设想有一个与某试验相联系的事件设想有一个与某试验相联系的事件E，把这个试验一次又一次地做，把这个试验一次又一次地做下去，每次都记录事件下去，每次都记录事件E是否发生了。假如做了是否发生了。假如做了 N 次试验，次试验，而记录到事件而记录到事件E发生了发生了 n 次（即成功次（即成功 n 次），则频数与试验次），则频数与试验次数的比值，称作次试验中事件次数的比值，称作次试验中事件E发生的频率发生的频率

9、 ? f(E) ? 显然，频率具有双重性质：随机性和规律性显然，频率具有双重性质：随机性和规律性. 当试验或观察次数趋近于无穷时相应当试验或观察次数趋近于无穷时相应频率趋于稳定频率趋于稳定，这个，这个极极限值就是用频率法所定义的概率，即限值就是用频率法所定义的概率，即 频率稳定到概率频率稳定到概率这个事实，给了这个事实，给了“机会大小机会大小”即概率一个浅显即概率一个浅显而说得通的解释，这在统计学上具有很重要的意义。坚持这种而说得通的解释，这在统计学上具有很重要的意义。坚持这种观点的统计学派也就被称为频率学派。观点的统计学派也就被称为频率学派。 NnEf)(NnEfEPn)(lim)(2021

10、-10-2914比如：法国统计学家蒲丰（Buffon）把铜板抛了4040次，正面的次数是2048，比例是0.5069 。1900年，英国统计学家皮尔逊把硬币抛了24000次，正面的次数是12012，比例是0.5005南非数学家柯屈瑞在监狱时，把硬币抛了10000次，正面的次数是5067，比例是0.5067 。再如：保险公司会利用概率进行人寿保险经营，比如研究表明2024岁的男性中明年死亡的概率是0.0015，同龄的女性是0.0005，保险公司对男性的保费就多收一些。频率是试验值，因此具有随机性。概率是理论值，它由事件的本质决定，其数值是唯一的，能精确反映事件出现可能性的大小。在现实中，我们常遇

11、到是哪一个？（二）古典法（先验概率） 由普拉斯由普拉斯1814年提出。以年提出。以想象总体为对象，利用模型本想象总体为对象，利用模型本身所具有的对称性来事先求得身所具有的对称性来事先求得概率，故被称为先验概率概率，故被称为先验概率 。 条件：条件： （1）在一样本空间中，各样本）在一样本空间中，各样本点出现的机会均等；点出现的机会均等； （2）该样本空间只有有限（）该样本空间只有有限（n)个样本点。个样本点。2021-10-2917 这样对于含有这样对于含有m个样本点的事件个样本点的事件A，其出现的概率为，其出现的概率为nmAP)( 用古典法求算概率，在应用上有两个缺点：它只适用于有限样本点的

12、情况；它假设机会均等，但这些条件实际上往往不能得到满足。 例掷一枚均匀的硬币，求出现“正面朝上”的概率。解此随机试验有两个样本点，n=2。两个样本点出现的可能性是一样的，满足古典概型。 例 掷两枚均匀的硬币， 求“两枚都朝上”的概率； 求“一枚朝上，一枚朝下”的概率。例全班有9名同学，其中3名女生，求任抽一名是女生的概率。3.2.1 事件之间的关系事件之间的关系（1）事件的包含与相等）事件的包含与相等如果事件如果事件A的发生，必然导致事件的发生，必然导致事件B的发生，则称的发生，则称事件事件B包含事件包含事件A。两事件相等，它们之间必然是等价的。两事件相等，它们之间必然是等价的。 如果如果 则

13、则例例婚姻调查中，婚姻调查中，A=“自主婚姻自主婚姻”，B=“自己认识的自己认识的婚姻婚姻”，C=“经人介绍的婚姻经人介绍的婚姻”，问问A与与B之间的关之间的关系是什么？系是什么？BABA同时BA2021-10-2920（2）事件和（）事件和（Or conjunction)事件事件A与与事件事件B至少有一个事件发生所构成的事件至少有一个事件发生所构成的事件C称为称为A与与B的事件和，记作的事件和，记作 前面的例子前面的例子 ：“自主婚姻自主婚姻” （3）事件积）事件积(As-well-as conjunction)事事件件A与事件与事件B同时发生所构成的事件同时发生所构成的事件C称为称为A与与

14、B的事件积，记作的事件积，记作BABA或BAAB或2021-10-2921（4）互斥事件）互斥事件 事件事件A和事件和事件B不能同时发生，则称不能同时发生，则称B和和A是是互斥事件，或互斥事件，或互不相容事件互不相容事件( Mutually exclusive events)，记作，记作 (不可能不可能事件事件) BA2021-10-2922（5）对立事件（）对立事件（Complementary events）事件事件A与事件与事件B是互斥事件，且是互斥事件，且在一次试验中必有其一发生，称在一次试验中必有其一发生，称A与与B为对立为对立事件（逆事件），记作事件（逆事件），记作 AB=？ A+B

15、=？（6）相互独立事件）相互独立事件事件事件A的发生与事的发生与事件件B是否发生毫无关系，称是否发生毫无关系，称A与与B为相互独立事为相互独立事件，记作件，记作 BAAB或BAAABB/或2021-10-29231. 非负性非负性1)(0AP1)(SP0)(P特别对必然事件特别对必然事件和不可能事件有和不可能事件有2021-10-29252.加法规则加法规则如果事件A和事件B互斥互斥，那么 如果A和B是任何事件(不一定互斥不一定互斥)，加法规则更普通地表示为如下形式 )()()(BPAPBAP或)()()()(BAPBPAPBAP且或2021-10-2926 例例从一副普通扑克牌（未包括大小王

16、）中抽一张从一副普通扑克牌（未包括大小王）中抽一张牌，求抽到一张红桃或者方块的概率。牌，求抽到一张红桃或者方块的概率。 例例 在一副在一副52张扑克牌中，求单独抽取一次抽到张扑克牌中，求单独抽取一次抽到一一张红桃或张红桃或A的概率。的概率。)()()(方块红桃红桃或方块PPP)()()()(BAPBPAPBAP且或21414113452152452132021-10-2927 例 某年级共有学生100名，其中来自广东的有25名，来自广西的有10名，问任抽一名，来自两广的概率是多少？ 例 根据上海市职业代际流动的统计，向下流动的概率是0.07，静止不动的概率是0.6，求向上流动的概率是多少？ 例

17、 为了研究父代文化程度对子代文化程度的影响，某大学统计出学生中父亲具有大学文化程度的占30，母亲具有大学文化程度的占20，而双方都具有大学文化程度的占有10，问从学生中任抽一名，父代至少有一名具有大学文化程度的概率是多少？2021-10-2928加法规则可推广到对两个以上的事件两个以上的事件，若事件A，B，CK都互斥，那么有 P (A+B+C+K)P(A)+P(B)+P(C) +P(K) 推论推论1：如果：如果A、B、C三个任何事件，不是互斥三个任何事件，不是互斥（不是互不相容的），则：（不是互不相容的），则： P (A+B+C)P(A)+P(B)+P(C） P（AB）P（AC）P（BC） +

18、P（ABC） 图示解释。 推论2：对于n个任意事件A1、A2An，有： P (A1+A2+An)2021-10-2929).() 1(.)()()(211111nnnintjitjinjijiiAAAPAAAPAAPAP【练习】某地对国外旅游者旅游动机进行了调查，发现旅游者出于游览名胜的概率为0.219，出于异族文化的吸引占0.509，而两种动机兼而有之地站0.102。问旅游动机为游览名胜或为异族文化吸引的概率是多少？P(A)=0.219P(B)=0.509P(AB）=0.102P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.219+0.509-0.102=0.626【练习】今天来上课的人有

19、50，其中对统计感兴趣的人30人，为了上课拿学分40人，为了考研究生来旁听10人，既为拿学分又有兴趣的人25人，既为了考研旁听又有兴趣的人为5人，现在任抽一名学生，问：（1）抽到旁听的人的概率（2）抽到感兴趣的人的概率（3）抽到为了拿学分或者有兴趣的人的概率 （4）抽到考研究生旁听或者感兴趣的人的概率 3.3.乘法规则乘法规则概率的乘法是研究事件积的概率与事件本身概率之间的关系。根据事件是否独立，分为两种。（1）简化 式 如果事件A与事件B是相互独立的，即A出现的概率与B是否出现是无关的。那么A和B同时出现的概率是A概率和B概率的乘积。 推论：如果A1A2An相互独立，则 P（ A1A2An

20、）= P（A1）P（A2）P（An） 2021-10-2932)()()(BPAPABP例：把二枚质地均匀的硬币同时扔掷，问二枚结果都朝上的概率是多少？例：根据统计结果，男婴出生的概率为22/43；女婴出生的概率为21/43。某单位有两孕妇，问两名孕妇都生男孩的概率是多少？都生女孩的概率是多少？其中一名孕妇生男孩、一名孕妇生女孩的概率是多少？例：街上有人拿牌赌博，52张牌洗匀后，抽到A就赢10块钱，先后有两个人来试运气；（a）第一个人抽到A的概率是多少？（b）第二个人抽到A的概率是多少？（c）两个人都抽到A的概率是多少？2021-10-29332021-10-2934（2）一般式）一般式 当事

21、件当事件A与事件与事件B不满足相互独立时，则事件不满足相互独立时，则事件A的发生与否将影响事件的发生与否将影响事件B的发生，反之亦然。的发生，反之亦然。 式中符号 和 代表条件概率。 应理解为，“在B已经发生条件下A发生的概率”。条件概率的意思是，A发生的概率可能与B是否发生有关系。换言之，B已经发生时A发生的概率可能有别于B没有发生时A发生的概率。 理解统计独立的概念，对于灵活运用概率的乘法规则 很重要。现在用条件概率来加以表达，统计独立是指 )/(ABP)/()()/()()(BAPBPABPAPABP)/(BAP）或BPABPAPBAP()/()/()/(BAP推论1：P（A1A2A3）

22、=P（A1A2）P（A3/A1A2） =P（A1）P（A2/A1）P（A3/A1A2）推论2：P（A1A2An）=?2021-10-29352021-10-2936 例例 某居民楼共某居民楼共20户，其中核心家庭为户，其中核心家庭为2户，户，（1）问访问两户都是核心家庭的概率是多少？）问访问两户都是核心家庭的概率是多少？（2）问访问第二户才是核心家庭的概率是多）问访问第二户才是核心家庭的概率是多少？少？【练习】还是抽牌赌博，要玩先交5元，洗匀后，连抽两张，如果第一张抽到红心赢5元，第二张抽到红心赢10元，问你在交了5元钱之后，（1）赢回15元的概率是多少？（2）赢回5元的概率是多少？（3）赢回

23、10元的概率是多少？ （4）赢不到钱的概率是多少？（5）设局的人输钱的概率是多少？（6）设局的人赢钱的概率是多少？白玩的概率是多少？解：A“第一张抽到红心” B“第二张抽到红心”（1）赢15元就要第一张抽到红心，第二张又抽到红心，因为是不独立抽取，所以第二张的概率是条件概率。P（AB）P（A）P（B|A） 13/5212/51=0.250.235=0.06（2）赢5元的概率是A发生而B不发生实际上赢10元实际上不赢钱 (3）赢10元的概率是A不发生而B发生实际上赢5元 (4)一分钱也赢不到的概率是A不发生且B不发生实际上输5元2021-10-2939 例例假定有下列假定有下列3000个社区的数

24、据，如果随机个社区的数据，如果随机地从这地从这个总体中抽取一个社区，得到一个中等的而且犯罪率个总体中抽取一个社区，得到一个中等的而且犯罪率低的社区的概率是多少低的社区的概率是多少? 2021-10-2940 回置抽样和不回置抽样回置抽样和不回置抽样 在抽样方法中还经常涉及到在抽样方法中还经常涉及到回置抽样回置抽样和和不回置抽样不回置抽样。所谓。所谓回置抽样，就是抽取的单位登记后又被放回总体中去，然后再进回置抽样，就是抽取的单位登记后又被放回总体中去，然后再进行下一次抽取。使用回置抽样法，先后两次抽取是彼此独立的。行下一次抽取。使用回置抽样法，先后两次抽取是彼此独立的。因为每一次抽取后抽取到的单

25、位都得返还，总体保持不变，前一因为每一次抽取后抽取到的单位都得返还，总体保持不变，前一次的结果不可能影响到后一次。所谓不回置抽样，就是不再把抽次的结果不可能影响到后一次。所谓不回置抽样，就是不再把抽取到的单位退还总体。这样先后两次抽取就不再独立了，必须使取到的单位退还总体。这样先后两次抽取就不再独立了，必须使用条件概率的概念。用条件概率的概念。 例例(1)用回置法从一幅普通扑克牌抽取两次，计算用回置法从一幅普通扑克牌抽取两次，计算得得到两张到两张A的概率。的概率。 (2)用不回置法从一幅普通扑克牌抽取两次，用不回置法从一幅普通扑克牌抽取两次，计算得到两张计算得到两张A的概率。的概率。2021-

26、10-2941用不回置法从一幅普通扑克牌抽取两次，计算得到两张A的概率。)()()(BPAPBAP且)/()()(ABPAPBAP且16915245242211523524 例例 某居民楼共某居民楼共20户，其中核心家庭为户，其中核心家庭为2户，问访问两户都是核心家庭的概率是多少？户，问访问两户都是核心家庭的概率是多少？ 考虑这个例子，问在什么条件下，可以近似地使考虑这个例子，问在什么条件下，可以近似地使用概率乘法的简化公式？用概率乘法的简化公式？2021-10-29422021-10-2943运用概率方法进行统计推断的前提运用概率方法进行统计推断的前提随机抽样随机抽样样本容量相对于总体来说，

27、是较小的样本容量相对于总体来说，是较小的总体中个体的组合具有被同等抽中的概率总体中个体的组合具有被同等抽中的概率在概括限定区域单位时，注意独立性问题在概括限定区域单位时，注意独立性问题2021-10-2944 简单随机抽样要求每一个个体拥有相同的被选入样本的机会。 严格来讲，由于我们实际上总是做不回置抽样，因此独立性的假定，是难以完全满足的。 只有在样本非常大，可以忽略。 一个随机样本具有以下的性质：不仅要给每一个个体以相等的被抽中的机会，而且要给每一种个体的组合以相等的被抽中的机会。 在要概括社区或其他空间上限定区域的单位的情况时，也必须注意到缺乏独立性的问题。2021-10-2945361

28、 随机事件及其概率回答的是随机现象某一局随机事件及其概率回答的是随机现象某一局部部结果，例如对给定的复合事件求先验概率。而概率结果，例如对给定的复合事件求先验概率。而概率分布则要在满足完备性分布则要在满足完备性(穷举穷举)和互不相容性和互不相容性(互斥互斥)的的前提下，回答随机现象一共会出现多少种结果，以前提下，回答随机现象一共会出现多少种结果，以及每种结果所伴随的概率是多少。及每种结果所伴随的概率是多少。 应该指出，在统计中，概率分布是就随机现象应该指出，在统计中，概率分布是就随机现象呈现的宏观结果而言的。所谓宏观结果，是指可以呈现的宏观结果而言的。所谓宏观结果，是指可以在宏观层次加以识别的

29、而与特定排列次序无关的样在宏观层次加以识别的而与特定排列次序无关的样本空间的子集。本空间的子集。随机变量随机变量：因为随机现象的结果是不断变化的，所以我们把随机现象看作是一类变量，叫随机变量。随机变量的取值（变量值）就是随机现象的结果（事件）。l这些取值表示的是试验或者观察的结果。l这些取值在观察前无法预知，只在观察后才确定。l这些取值随着各次观察或试验在变化。 随机变量的所有取值出现的可能性的分布叫做概率分布。概率分布。 （X1X1，p1p1） （X2X2，p2p2） . . . . . .例：从100户家庭中访谈3户，有核心家庭，非核心家庭，“三户中核心家庭的户数”就是随机现象，它可能的结

30、果是： 0户核心家庭1户核心家庭2户核心家庭3户核心家庭随机变量X： “核心家庭的户数”取值有四个：X=X1表示“访谈结果为0户核心家庭、 3户非核心家庭”X=X2表示“访谈结果为1户核心家庭、 2户非核心家庭”X=X3表示“访谈结果为2户核心家庭、 1户非核心家庭”X=X4表示“访谈结果为3户核心家庭、 0户非核心家庭”（X1，p1）（X2，p2）（X3，p3）（X4，p4）2021-10-29483611P 361366362363365361364362363364365 经验分布：经验分布：频率分布是经资料整理而来频率分布是经资料整理而来;频率分布随样本不同而不同频率分布随样本不同而不

31、同;频率分布有对应的频数分布。频率分布有对应的频数分布。 理论分布：理论分布：概率分布是先验的；概率分布是先验的；概率分布是唯一的；概率分布是唯一的；概率分布无频率分布概率分布无频率分布所对应的频数分布。所对应的频数分布。2021-10-29493.3.1 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布 离散型随机变量的取值是可数的，如果对离散型随机变量的取值是可数的，如果对X的每个的每个可能取值可能取值xi计算其实现的概率计算其实现的概率pi ，我们便得到了离散型，我们便得到了离散型随机变量的概率分布，即随机变量的概率分布，即iipxXP)(例：根据统计结果，男婴出生的概率为例：根据统计结

32、果，男婴出生的概率为22/43；女婴出生的概率为女婴出生的概率为21/43。某单位有两孕妇某单位有两孕妇，求两孕妇生女婴数的概率分布。，求两孕妇生女婴数的概率分布。 （设设X=“出生女婴数出生女婴数”。它的取值。）它的取值。）2021-10-2950【例例】我们掷一枚骰子，出现的点数形成一我们掷一枚骰子，出现的点数形成一个概率分布：个概率分布：(1(1，1/6)1/6)(2(2，1/6)1/6)(3(3，1/6)1/6)(4(4，1/6)1/6)(5(5，1/6)1/6)(6(6，1/6)1/6)概率分布的性质：概率分布的性质：1 p1 pi i0 02 2 p pi i1 13.3.2 连续

33、型随机变量的概率分布只有定距变量才可能是连续的对于连续型变量：0)(ixXP将这个比值称为随机变量X的概率密度即xxxXxxPxX)22(lim)(0)(x2021-10-2954所以概率所以概率密度的性密度的性质有：质有：21)()(21xxdxxxXxP0)(x1)(dxx1)()(PXP)(x2021-10-29553.3.3 分布函数分布函数 为了从数学上能够统一对随机变量的概率进行研究引入分为了从数学上能够统一对随机变量的概率进行研究引入分布函布函数数 的概念，它被定义为的概念，它被定义为 有了分布函数，就可以很容易得到随机变量有了分布函数，就可以很容易得到随机变量X取值在任意区取值

34、在任意区间间x1 ，x2上的概率，即上的概率，即 )(xFxxXdxxXPxF)()()()()(xXPxF)()()(1221xFxFxXxP2021-10-2956 例例 求两颗骰子点数的分布函数。求两颗骰子点数的分布函数。 3611P36103623613633613643653663615362636213633363036363635362363365364363366)(xF)(ixXP)(x)(xF3.3.4 数学期望（Expectation）（总体均值）数学期望是随机变量最基本的数学特征之一，反映随机变量平均取值的大小，也称作总体均值。也可以界定：数学期望也可以界定：数学期望，

35、是反映随机变量，是反映随机变量X取值的集取值的集中趋势的理论均值中趋势的理论均值(算术平均算术平均)，记作，记作E(X)。离散型随机变量的数学期望是niiinnpxpxpxpxXE12211.)(连续型随机变量的数学期望是：dxxxXE)()(【例】甲和乙名次的概率分布甲123p0.20.50.3乙123p0.30.30.41 . 23 . 035 . 022 . 01)(1XE E(X乙乙)=1X0.3+2X0.3+3X0.4=2.1E(X甲)解：我们可以说，两人的平均水平一样。2021-10-2959他们的射击技术分别为甲、乙两个射手,例例 谁的技术比较好谁的技术比较好?乙射手乙射手击击中

36、中环环数数概概率率10982 .05 .03 .0甲射手甲射手击击中中环环数数概概率率10983 . 01 . 06 . 0解解.,21XX 、为乙射手击中的环数分别设甲)(3 . 96 . 0101 . 093 . 08)(1环XE)( 1 . 93 . 0105 . 092 . 08)(2环XE故甲射手的技术比较好故甲射手的技术比较好 数学期望也常常记为数学期望也常常记为 ，在推论统计中等同总，在推论统计中等同总体均值的记号，而体均值的记号，而 则在推论统计中被作为样本均则在推论统计中被作为样本均值的记号。数学期望和总体均值一样，都是唯一的，不值的记号。数学期望和总体均值一样，都是唯一的，不过它是一个先验的理论值。由于它是用随机变量各取值过它是一个先验的理论值。由于它是用随机变量各取值分别乘以取值的概率来计算的，因此数学期望又可称为分别乘以取值的概率来计算的，因