《1.1.1任意角》教学案

1、任意角教学案三维目标1知识与技能(1) 推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；(2)理解象限角、坐标轴上的角的概念； (3)理解任意角的概念，掌握所有与角终边相同的角(包括 角 )的表示方法；(4)能表示特殊位置(或给定区域内)的角的集合；(5)能进行简单的角的集合之间的运算2过程与方法以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，类比初中所学的角的概念，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后， 将角放入平面直角坐标系； 引出象限角、 非象限角的概念，以及象限角的判定方法； 通过几个特殊的角， 画出终边所在的

2、位置， 归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习3情感、态度与价值观通过本节的学习， 使同学们对角的概念有了一个新的认识； 树立运动变化观点， 学会运用运动变化的观点认识事物； 揭示知识背景， 引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求重点难点1重点：理解正角、负角和零角及象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断2难点：把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来教学建议1任意角的概念：建议教师在教学过程中通过拨手表指针问题引导学生感受推广角的概念的必要性教学时，可以先让学生自己描述“

3、校准 ”手表的过程， 然后引导学生体会仅用0° 360 °之间的角已经无法解决当前的问题2象限角的概念：建议教师在教学过程中强调角与平面直角坐标系的关系，引导学生发现象限角所在的范围可以用不等式表示，并注意讲解“终边落在坐标轴上的角，它不属于任何一个象限 ”3终边相同的角的表示：建议教师在教学中应当让学生先通过自己的活动形成对“终边相同的角相差360°的整数倍 ”的直观感知，通过具体角寻找终边相同角的规律，归纳其一般表示形式教学时，有条件的可以利用信息技术，利用动态的观点，旋转角的终边，观察角的变化规律， 从而将数、 形联系起来， 使角的几何表示和集合表示相结合，

4、从而达到对终边相同角的认知的统一教学流程创设问题情境，复习初中角的定义，引出任意角的概念.?引导学生结合任意角的定义，理解正角与负角的概念并加以区分，理解角的分类. ?通过引导学生探究在直角坐标系中，按角的终边的位置不同定义不同的象限角，并理解终边相同的角的表示方法.?通过例 1及其变式训练，使学生掌握角的概念及其应用.?通过例 2及其变式训练，使学生掌握终边相同的角的表示方法及其注意事项.?通过例 3及其互动探究使学生掌握象限角的表示及其应用.?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.?完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.1.了解任意角的概念课标2理解象限角的概念及终边相

5、同的角的含义(重点 )解读3掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法(难点 )任意角的概念【问题导思】1在初中时我们是如何定义角的？【提示】有公共端点的两条射线组成的图形叫做角2如果你的手表慢了10分钟，你是怎样校准的？【提示】校准方法很多，由于分针转一圈为360°，故 10分钟分针需要转过60°，且要调快分针可顺时针转，故可让分针顺时针旋转60°.(1) 一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边(2) 按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转所

6、形成的角叫做负角 如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角象限角及终边相同的角【问题导思】1如果把一个角的顶点放在直角坐标系的原点，角的始边为 x轴正半轴， 那么角终边的位置在坐标系中有几种情况？【提示】在第一、二、三、四象限或与坐标轴重合2 0°角与 360 °角的终边相同吗？【提示】相同(1)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为 x轴正半轴， 建立平面直角坐标系这样，角的终边 ( 除端点外 )在第几象限，就说这个角是第几象限角(2) 终边相同的角：一般地，与角 终边相同的角的集合为 | k·360 °， kZ.角的概念及相关应用例

7、1 (1) 下列各命题正确的有 _ (填序号 )终边相同的角一定相等；第一象限角都是锐角；锐角都是第一象限角；小于 90°的角都是锐角(2) 下列说法正确的是 _ (填序号 )一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90°.将钟表调快一个小时，则分针转了360°.顺时针方向旋转形成的角一定小于逆时针方向旋转形成的角【思路探究】根据各种角的含义进行判断【自主解答】(1)对于， 60°角和 300°角是终边相同的角，但它们并不相等，应排除 .对于， 390°角是

8、第一象限角，但它不是锐角，应排除.对于， 60°角是小于 90°的角，但它不是锐角，应排除.锐角的集合是 |0 °90°，第一象限角的集合是 |k·360° k·360° 90°， k Z ，锐角是第一象限角正确(2) 如果一条射线绕端点顺时针方向旋转，则它形成负角，旋转的圈数越多，则这个角越小，故不正确在坐标系中，将 y轴的正半轴绕坐标原点旋转到 x轴的正半轴时，是按顺时针方向旋转，故它形成的角为 90°，故不正确将钟表调快一个小时，也是按顺时针转动，故分针转了 360°，不正确顺时

9、针方向旋转形成的角为负角，它一定小于逆时针方向旋转形成的正角，故正确【答案】 (1) (2)解答概念辨析题，一是利用定义直接判断；二是利用反例排除错误答案，要说明一个命题不正确，只需举出一个反例即可下列说法正确的是_ (填序号 )三角形的内角必是第一、二象限角；第一象限角一定是正角；第二象限角一定比第一象限角大；与 30°终边相同的角有无穷多个【解析】90°可以是三角形的内角，但它既不是第一象限角，又不是第二象限角，故错； 330°是第一象限角， 但不是正角， 故错； 120°是第二象限角， 390°是第一象限角，但 390°>

10、120°，故错；正确【答案】 终边相同的角例 2 在 0°360°范围内， 请指出与下列角的终边相同的角，并说出此角是第几象限角(1)430 °(2)909°(3) 60° (4) 1 550 °【思路探究】 k·360° (0 ° 360°)将所给角 写成 的形式，则即为所求【自主解答】(1)430 ° 1×360° 70°，所以在 0° 360°范围内与 430°终边相同的角为70°，此角为第一象限角(

11、2)909 °2×360 ° 189 °，所以在 0° 360 °范围内与 909 °终边相同的角为189 °，此角为第三象限角(3) 60° 1×360 ° 300 °，所以在 0° 360 °范围内与 60°终边相同的角为 300 °，此角为第四象限角(4) 1 550 ° 5×360 ° 250 °，所以在 0° 360 °范围内与 1 550 终°边相同的角为

12、 250 °，此角为第三象限角将任意角写成 k·360°(k Z，且 0° 360°)的形式的关键是确定k.可用观察法 (绝对值较小时 ) ，也可用除以 360°的方法要注意：正角除以 360°，按通常的除法进行，负角除以 360°，商是负数，余数是正数如图 1 1 1，分别写出终边落在所示直线上的角的集合图111【解】由于终边落在直线上的角都是180°的整数倍加上相应的角(0 °到 180°范围内 ) ，因此相对应的角的集合为：(1) S | 90° k·180

13、°， k Z ；(2) S | 45° k·180 °， k Z ；(3) S | 135 ° k·180 °， k Z ；(4) S | 45° k·180 °， k Z | 135 ° k·180 °， k Z | 45° 2k·90°， k Z | 45° (2k 1) ·90°， k Z | 45° k·90°， k Z 象限角的表示及其应用 例 3 已知 为第一象限角

14、，求2，2， 3所在的象限 【思路探究】用不等式表示 求 2， 2， 3的范围 分类讨论 得出结论【自主解答】 为第一象限角， 360°·k 360°·k 90°， kZ ， 360°·2k 2 360°·2k 180°， k Z， 2是第一或者第二象限角，或是终边在y轴正半轴上的角 180°·k 2 180°·k 45°， kZ ，当 k为奇数时， 2是第三象限角；当 k为偶数时， 2是第一象限角 2为第一或第三象限角又 120°&#

15、183;k 3 120°·k 30°，k Z ，当 k 3n(k Z)时， 360°·n 3 360°·n 30°，n Z， 3是第一象限角；当 k 3n1(k Z )时， 360°·n120° 3 360°·n 150°， nZ ， 3是第二象限角；当 k 3n2(k Z )时， 360°·n240° 3 360°·n 270°， nZ ， 3是第三象限角 3为第一、第二或第三象限角1用不等式表

16、示象限角的集合是解决这类问题的基本方法2 ， 2， 2终边位置关系：第一象限第二象限第三象限第四象限错误第一、三第一、三第二、四第二、四象限象限象限象限第一、二象第三、四象第一、二象第三、四象2限或 y轴限或 y轴限或 y轴限或 y轴的正半轴的负半轴的正半轴的负半轴把本例中条件改为“若 是第三象限角”，求角 2， 2所在的象限【解】 由角 是第三象限角可知， k·360° 180° k·360°270°， k Z，于是， 2k·360°360° 2 2k·360° 540°，

17、 k Z ，即 (2k 1) ·360° 2 (2k 1) ·360° 180°，k Z.所以 2为第一、二象限角或终边在y轴的正半轴上的角因为 k·180° 90° 2 k·180°135°， k Z ，当 k为奇数时，设 k 2n 1，n Z，则 n·360° 270° 2 n·360° 315°，n Z ，此时 2为第四象限角；当 k为偶数时，设 k 2n，n Z，则 n·360° 90°

18、2 n·360° 135°，n Z，此时 2为第二象限角因此 2为第二象限角或第四象限角区间角表示错误图112典例用角度表示顶点在原点上，始边与 x轴的非负半轴重合，终边落在图 11 2所示的阴影区域内的角的集合(含边界 )【错解】因为区域起始、终边边界分别对应的角为300°和 45°，所以它表示的角的集合为 |k·360° 300°k·360° 45°， k Z 【错因分析】因为 45°300°，所以上式是错误的，由于没有弄清角的大小而造成了错误，出现了矛盾不等式

19、【防范措施】表示区间角时，应先按逆时针方向，确定在(0 °， 360°)范围内区间的起始边界与终止边界所对应的角， ( )，再在所得到的范围 x| x 两边加上 k·360°，即得区域角的集合 x|k·360°x k·360° ， k Z 【正解】由题意可知300°角与 60°角的终边相同，所以它表示的角的集合为 |k·360°60°k·360° 45°， k Z 1对角的概念的理解关键是抓住“旋转 ”二字：(1) 要明确旋转的方向；(

20、2) 要明确旋转的大小；(3) 要明确射线未作任何旋转时的位置2在运用终边相同的角时，需注意以下几点：(1) k是整数，这个条件不能漏掉；(2) 是任意角；(3) k·360 °与 之间用 “ ”连结，如 k·360 ° 30°应看成 k·360 ° ( 30°)(k Z )；(4) 终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍1把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240 °所形成的角是 _【解析】一条射线绕着端点按顺时针方向旋转所形成的角是负角，且旋转了 2

21、40°，故填 240°.【答案】 240°2在 148 °， 475 °， 960 °， 1 601 °， 185 °这五个角中，属于第二象限角的个数是_【解析】148°显然是第二象限角而475° 360° 115°， 960° 3×360° 120°， 185° 360° 175°，都是第二象限角，而1 601 ° 5×360° 199°，不是第二象限角【答案】43

22、若角 2 008°，则与角 具有相同终边的最小正角为_，最大负角为_【解析】 2 008 °5×360° 208°，与 2 008 °角终边相同的角的集合为 | 208°k·360°， k Z ，最小正角是208°，最大负角是152°.【答案】208° 152°4求 0° 360 °范围内与 30°终边相同的角【解】与 30°角终边相同的角为k·360° 30°，k Z，取 k 1，得 1

23、5;360° 30° 330°，0°330 ° 360 °，因此所求角为330 °.一、填空题1(2013 ·泰安高一检测)钟表经过 4小时，时针转过的度数为_，分针转过的度数为 _1【解析】分针和时针均按顺时针方向旋转，其中分针连续转过4周，时针转过 3周【答案】 120° 1 440°2 543 °是第 _象限角【解析】543° 183°360°，又 183°是第三象限角，故543°也是第三象限角【答案】三3与 405 °

24、终边相同的角的集合为_【解析】405° 360° 45°405°k·360° 45° k.，故与角终边相同的角可表示为， Z【答案】 | k·360° 45°， k Z4 (2013 ·京高一检测南)已知角 3 000 ，°则与 终边相同的最小正角是_【解析】 |3 000 ° k·360° k与 终边相同的角的集合为，Z，与 终边相同的最小正角是当k 9时， 3 000 ° 9×360° 240°.所以与

25、 终边相同的最小正角为 240°.【答案】240°5若 是第二象限角，则180 ° 是第 _象限角【解析】因为 是第二象限角， 所以 k·360° 90° k·360° 180°，k Z，所以 k·360° 180° k·360° 90°， k Z，所以 180° 是第一象限角【答案】 一6 (2013 ·阜师大附中检测曲)在 720 ° 720 °内与 1 050角°终边相同的角是 _【解析】与

26、1 050°k·360° 1 050 °(k )，终边相同的角可表示为 Zk 1时，1×360° 1 050° 690°，k 2时， 2×360° 1 050° 330°，k 3时，3×360° 1 050°30°，k 4时，4×360° 1 050°390 °.【答案】 690°或 330°或 30°或 390°7在 360 ° 0°内

27、与 160 °角终边相同的角是_【解析】与 160°角终边相同的角 k·360° 160°， kZ. 360°0°，取 k 1，得 360° 160° 200°.故在 360° 0°内与 160°角终边相同的角是200°.【答案】 200°8x_若角 和角 的终边关于轴对称，则角可以用角表示为【解析】角 和角 的终边关于 x轴对称， k·360°(k Z) k·360° (k Z)【答案】k·36

28、0° (k Z)二、解答题9写出终边在如图1 13所示阴影部分(包括边界 )的角的集合图113【解】先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则(1) |30 ° k·360°150 ° k·360 °， k Z ；(2) |210 ° k·360°30° k·360 ° k， Z10写出与 15°角终边相同的角的集合， 并求该集合中满足不等式1 080° 720 °的元素 .【解】与15°S | 15° k·

29、;360° k，其中，满足1角终边相同的角的集合为，Z080° 720 °的元素有： k 3时， 1 065；°k 2时， 705 °； k 1时， 345 °；k 0时， 15°； k 1时， 375 °，集合中满足条件的元素有 1 065，° 705 °， 345°， 15°， 375°.11在角的集合 | k·90° 45°(k Z ) 中：(1) 有几种终边不相同的角？(2) 有几个大于 360 °且小于 360 °的角？(3) 写出其中是第二象限的角的一般表示法【解】(1