1.1 应力分量ppt课件

1、第一章第一章 弹性力学基本方程弹性力学基本方程1.1 应力分量应力分量1.1 一点的应力状态一点的应力状态外力外力分为两类分为两类体力：体力：分布在物体体积内的力，如重力、磁力或运动物体的惯性力等，称为体力(body force)面力：面力：是分布在物体表面的作用力，例如一个物体对另一物体作用的压力，如水压力等，称做面力(surface traction)集中力集中力分布力分布力内力内力：物体在外力作用下产生变形，物体反抗物体的变形的、彼此间相互作用力，称为内力外力：外因外力：外因内力：内因内力：内因外因通过内因而起作用外因通过内因而起作用外力：起源因素外力：起源因素内力：决定因素内力：决定因

2、素材料力学：截面法内力内力外力外力内力内力外力外力外力外力外力外力外力外力外力外力?内力内力内力内力应力矢量：应力矢量：截面上任一点M邻域S上作用的力F 与S面积之比的极限值，也称全应力pN随截面的法线随截面的法线方向方向n的方向改变的方向改变而变化而变化 N0limSFpS p pN N问题：问题： p pN N的方向与截面的法线方向是否一致？的方向与截面的法线方向是否一致？ p pN N应力状态一点所有截面应力矢量的集合。显然，弹性体内某确定点各个截面的应力应力状态必然存在一定的关系。应力状态分析讨论一点截面方位改变引起的应力变化趋势。应力状态对于结构强度是十分重要的。准确描述应力状态，合

3、理的应力参数。为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解。应力矢量应力矢量沿坐标分解没有工程意义正应力和切应力正应力和切应力正应力正应力s N与切应力切应力t N 与结构强度关系密切根据截面方位不能完全确定切应力应力分量应力张量应力张量应力张量应力张量可以描述一点应力状态应力状态p pN N333231232221131211sssssssssstttstttsszzyzxyzyyxxzxyxij应力张量应力张量应该注意应该注意应力分量是标量应力分量是标量箭头仅是说明方向箭头仅是说明方向 NpNN=l .i+m .j+n .kl 、m 、n是什么?ABC的面

4、积为dSOAC的面积为mdSOAB的面积为ndSOBC的面积为ldSpN=pxi + pyj + pzkx轴平衡条件pxdS - x ldS - yx mdS - zx ndS=0px - x l -yx m- zx n=0px =x l +yx m+ zx npNNpx = x l + yx m + zx npy = xy l + x m + zy npz = xz l + yz m + z n 任一点的应力矢量可以用应力张量来描任一点的应力矢量可以用应力张量来描述，应力张量可以完全描述应力状态。述，应力张量可以完全描述应力状态。应力矢量与应力分量的关系应力矢量与应力分量的关系pNN公式表明

5、：已知应力张量，可以确定任意方位微分面的应力矢量。公式表明：已知应力张量，可以确定任意方位微分面的应力矢量。当然可以确定正应力当然可以确定正应力s s N与切应力与切应力t t N。jijinpspx = x l + yx m + zx npy = xy l + x m + zy npz = xz l + yz m + z npNNpNt t Ns s NNxyzPlP mPns22NNNPts切应力切应力正应力正应力1.2 主应力与主方向主应力与主方向 切应力为零的平面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力，主平面的法线方向称为主方向。主应力是强度分析的重要参考。220NNNPtsNNPss

6、主平面上应力矢量的三个分量px = l，py = m，pz = n0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyxsstttsstttss关于l，m，n的齐次线性方程组，非零解的条件为方程组的系数行列式等于零，即0sstttsstttsszzyzxyzyyxxzxyx032213IIIsss032213IIIssszyxIsss1其中：其中： 主元之和主元之和 ijs2222xzyzxyxzzyyxItttssssss代数主子式之和代数主子式之和zzyzxyzyyxxzxyxIstttsttts3应力张量元素构成的行列应力张量元素构成的行列式式主应力特征方程应力状态特征方程应

7、力状态特征方程确定弹性体内部任意一点主应力和应力主轴方向。确定弹性体内部任意一点主应力和应力主轴方向。主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和边界条件等，与坐标轴的选取无关。主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和边界条件等，与坐标轴的选取无关。因此，特征方程的根是确定的，即因此，特征方程的根是确定的，即I1 1、I2 2、I3 3的值是不随坐标轴的改变而变化的。的值是不随坐标轴的改变而变化的。I1 1、I2 2、I3 3 分别称为应力张量的分别称为应力张量的第一、第二和第三第一、第二和第三不变量不变量。特征方程有三个实数根特征方程有三个实数根s s1 1，s s2 2，s s3 3分别表示这三个

8、根，代表某点三个主应力。分别表示这三个根，代表某点三个主应力。对于对于应力主方向应力主方向，将，将s s1 1，s s2 2，s s3 3分别代入分别代入和和 l2+m2+n2=1则可求应力主方向。则可求应力主方向。0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyxsstttsstttss主应力和应力主方向取决于结构外力和约束条件，与坐标系无关。因此特征方程的三个根是确定的。特征方程的三个根，即一点的三个主应力均为实数。根据三次方程性质可以证明。任意一点三个应力主方向是相互垂直的三个应力主轴正交的。应力不变量性质应力不变量性质坐标系的改变导致应力张量各分量变化，但应力状态不变。

9、应力不变量正是对应力状态性质的描述。l不变性l实数性l正交性主应力正交性证明：主应力正交性证明：下面证明下述结论：下面证明下述结论：1. 若若s1s2s3，特征方程无重根；特征方程无重根； 应力主轴必然相互垂直应力主轴必然相互垂直；2. 若若s1s2s3，特征方程有两重根；特征方程有两重根； s s1和和s s2的方向必然垂直于的方向必然垂直于s s3的方向。而的方向。而s s1和和s s2的方向可以是垂直的，也可以不的方向可以是垂直的，也可以不垂直；垂直；3. 若若s1=s2=s3，特征方程有三重根；特征方程有三重根； 三个应力主轴可以垂直，也可以不垂直，任何方向都是应力主轴。三个应力主轴可

10、以垂直，也可以不垂直，任何方向都是应力主轴。设s1，s2，s3 的方向分别为（l1，m1，n1），（l2，m2，n2）和（l3，m3，n3），则 0)(0)(0)(111111111111nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyxsstttsstttss0)(0)(0)(222222222222nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyxsstttsstttss0)(0)(0)(333333333333nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyxsstttsstttss分别乘以l2，m2，n2 分别乘以-l1,-m1,-n1六式相加，可得 0)(21212121nnmml lss

11、0)(0)(3131311333323232nnmml lnnmmllssss0)(21212121nnmml lss0)(0)(3131311333323232nnmml lnnmmllssss如果 s1s2s3000313131323232212121nnmmllnnmmllnnmmll3个应力主方向相互垂直 如果 s1=s2s300313131323232nnmmllnnmmll212121nnmmll可以等于零，也可以不等于零。 s3与s1和s2的方向垂直，而s1和s2的方向可以垂直或不垂直。s3的垂直方向都是s1和s2的应力主向。如果 s1=s2=s3则 l1l2+m1m2+n1n2 l2l3+m2m3+n2n3l1l3+m1m3+n1n3 均可为零或者不为零。任何方向都是应力主方向。 因此问题可证。1.若s1s2s3，应力主轴必然相互垂直；2.若s1s2s3，s1和s2必然垂直于s3。而s1和s2可以是垂直的，也可以不垂直；3. 若s1=s2=s3，任何方向都是应力主轴。1.3 最大切应力最大切应力莫尔圆莫尔圆233112maxmax,222Nsssssst应力球张量和应力偏张量应力球张量和应力偏张量应力张量的分解应力张量的分解应力球量改变单元体体积，应力球量改变单元体体积，应力偏量改变单元体形状。应力偏量改变单元体形状。 ijiiijsmssmmmm0000