变化的电磁场习题课

1、17章小结、习题课章小结、习题课一、基本概念一、基本概念1. 感应电动势感应电动势动生电动势（洛伦兹力动生电动势（洛伦兹力)感生电动势（感应电场）感生电动势（感应电场）2.感应电场、感应电场、3.自感自感 、4. 互感、互感、5.位移电流、位移电流、6.电磁场、电磁场、7.电电磁波、磁波、8.电磁场的能量、电磁场的能量、9.能流密度能流密度二、基本规律二、基本规律1.法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律tNttmmdd,dd,dd2. 楞次定律（判定感应电流和感应电动势的方向）楞次定律（判定感应电流和感应电动势的方向）3.Maxwell方程组方程组 SqSD0dStBlELSdd SSB0dS

2、tDjlHLSd)(d 0动生电动势的计算动生电动势的计算感生电动势的计算感生电动势的计算；）（lBvd 方向方向：正方向确定正方向确定；vB确定确定；楞次定律确定楞次定律确定。；lEid闭合、一段）(ddtm方向方向：正方向确定正方向确定；感应电场感应电场；楞次定律确定楞次定律确定。闭合、一段）(ddtm三、计算类型三、计算类型1. 感应电动势的计算感应电动势的计算形式形式麦克斯韦方程组的微分麦克斯韦方程组的微分 tDjHBtBED000 EjHBED 0,三个描述介质性质的方程三个描述介质性质的方程HBBHHBwm2121212122 VHBVwWWVmmmd21dd自感电动势的计算自感电

3、动势的计算互感电动势的计算互感电动势的计算tILdd tIMdd21 tIMdd12 2. 互感和自感的计算互感和自感的计算21212122IWL,IIM,ILm 3. 磁场能量的计算磁场能量的计算221LIWm4. 位移电流和位移电流和B的的计算计算StDjtIlHSDLd)(ddd 00位移电流密度位移电流密度tDjd四、特殊的结论四、特殊的结论无限长螺线管的自感无限长螺线管的自感VnL2 同轴电缆的自感同轴电缆的自感12ln2RRlL1.如图，两条平行导线和一个矩形导线框如图，两条平行导线和一个矩形导线框共面，且导线框的一个边与长导线平行，共面，且导线框的一个边与长导线平行，到两长导线的

4、距离分别为到两长导线的距离分别为r1,r2,已知两导已知两导线中电流都为线中电流都为II0sint,I0,为常数，导为常数，导线框长为线框长为a宽为宽为b，求导线框中电动势。，求导线框中电动势。tBrEi2tBrREi22AdxBIIxr2r10baxAdxBIIxr2r10bax解：对这类题目主要类型有解：对这类题目主要类型有I不变，线不变，线圈以圈以v运动；运动；I变化，线圈不动；变化，线圈不动；I变变化，线圈运动，都应先求出化，线圈运动，都应先求出B分布，然后分布，然后求出求出mm (t),最后求出最后求出d m /dt.选顺时针方向为选顺时针方向为的正方向，取面元的正方向，取面元dS=

5、adxxBaSBSBmdddd)(210022rrxIxIB )ln(ln2d)11(22211021011rbrrbrIaxrrxxIabrrm)ln(lncos2dd22110mrbrrbrtIat当当cost0时，时，0, 沿逆时针方向；沿逆时针方向；当当cost0, 沿顺时针方向沿顺时针方向。2. 如图，长直导线如图，长直导线AB中的电流中的电流I 沿导线向沿导线向上上,并以并以dI/dt=2A/s的变化率均匀增长的变化率均匀增长,导线导线附近放一个与之同面的直角三角形线框附近放一个与之同面的直角三角形线框,其其一边与导线平行一边与导线平行,位置及尺寸如图位置及尺寸如图,求线框中求线框

6、中的感应电动势的大小和方向。的感应电动势的大小和方向。BAbIxyxdxdhh=20cmd=5cmb=10cm解：与上题类似，只是计算解：与上题类似，只是计算m 的难度的难度要增加，无新的物理意义。要增加，无新的物理意义。建立坐标系，规定顺时针方向为正。建立坐标系，规定顺时针方向为正。SBddm而直角三角形斜边的方程为而直角三角形斜边的方程为 y=-2x+h=-2x+0.2)(2dd,dd,)(200 xdxIyxySxdIBmxxxIxxxIxdxyIxdxIybbbbd05. 01 . 0d05. 02 . 022d2)(2d00000000mVtItm881018. 5dd1059. 2

7、dd方向为逆时针方向方向为逆时针方向IxxxxIb80010592050150050050 .d).( 3. 17-9 在半径在半径R=10cm的圆柱形空间充满磁感应强度均匀磁场的圆柱形空间充满磁感应强度均匀磁场B, B以以3.010-3T/s的恒定速率增加的恒定速率增加.有一长为有一长为L=20cm 的金属棒的金属棒放在图示位置放在图示位置,一半在磁场内部一半在磁场内部,另一半在磁场外部另一半在磁场外部,求求AB.解法一：取解法一：取dl,已知已知AC和和CB上的上的Ei 为为tBrEi2tBrREi22ltBhltBrlElEiiACddd2dcosdd2cosddtBRtBRtBRhlh

8、tBhRltBlhhRltBrhRltBrRlElERRRRiiCBdd12)63(dd2)33tan3tan(dd2tanart1dd2ddd)(2ddd2dcosdd2cosdd221122/32/22/32/222222tBRCBACABdd)(21243 )sin,(ddddRRhRACtBRtBACh23604322 C ABR0rrh解法二：作辅助线解法二：作辅助线OA,OB,OC,OB与圆周交点于与圆周交点于D,AOC和和扇形扇形OCD所围回路产生的电动势即为所围回路产生的电动势即为AB产生的电动势，产生的电动势，设方向为顺时针，设方向为顺时针，CABDO1203060tBStm

9、dddd222)1243(62160sin21RRRSSSCODOACVtBR5210121243 .dd)( R,如图所示如图所示,已知磁感应强度随时间的已知磁感应强度随时间的变化率为变化率为dB/dt,求长直导线中的感应电动势求长直导线中的感应电动势 ,并讨论其方向。并讨论其方向。ROaB221)(ddRtBBSttm由法拉第电磁感应定律：由法拉第电磁感应定律：若若tB为负，则电动势方向从右到左。为负，则电动势方向从右到左。若若tB为正，则电动势方向从左到右。为正，则电动势方向从左到右。ORaEl dBtBrERri2tBrRERri22lEidd cosdltBrR 22 ddtBRrt

10、BrR 2222 dd/ 2222tBR tBR 22tBR 22 在半径为在半径为R的圆柱形空间内的圆柱形空间内,充满磁感应强度为充满磁感应强度为B的均匀磁场的均匀磁场,B的的方向与圆柱的轴线平行方向与圆柱的轴线平行,有一无限长直导线在垂直于圆柱中心轴有一无限长直导线在垂直于圆柱中心轴线的平面内线的平面内,两线相距为两线相距为a,aR,如图所示如图所示,已知磁感应强度随时间已知磁感应强度随时间的变化率为的变化率为 ,求长直导线中的感应电动势求长直导线中的感应电动势,并讨论其方向并讨论其方向tB /解解:设设 为正为正,则感应电场的方向为逆时针方向则感应电场的方向为逆时针方向tB /方向从左向

11、右方向从左向右若若tB为负，则电动势方向从右到左。为负，则电动势方向从右到左。5. 载有电流载有电流 I 的长直导线附近的长直导线附近,放一导体半圆环放一导体半圆环 M e N与长直导线与长直导线共面共面,且端点且端点MN 的连线与长直导线垂直。半圆环的半的连线与长直导线垂直。半圆环的半 径为径为 b ,环心环心 O 与导线相距为与导线相距为 a 。设半圆环以速度。设半圆环以速度 平行导线平移，求半圆环平行导线平移，求半圆环内感应电动势的大小和方向以及内感应电动势的大小和方向以及MN两端的电压两端的电压 。VNMUU IabeoVNM解：解： 根据动生电动势根据动生电动势 MNMeNlBvd为

12、计算简单，可引入一条辅助线为计算简单，可引入一条辅助线MN，构成闭合回路，构成闭合回路MeNM。0 NMMeN总总MNNMMeN 闭合回路总电动势闭合回路总电动势X babaIvxxIvlBvbabaMNMN lndd 2200方向与方向与x轴相反轴相反babalnIvMeN 20方向由方向由N指向指向 MbabalnIv-UUMNNM 206. 无限长直导线无限长直导线,通以恒定电流通以恒定电流I有一与之共面的直角三角形有一与之共面的直角三角形线圈线圈ABC已知已知AC边长为边长为b,且与长直导线平行且与长直导线平行,BC边长为边长为a若若线圈以垂直于导线方向的速度线圈以垂直于导线方向的速度

13、v 向右平移向右平移,当当B点与长直导线的点与长直导线的距离为距离为d 时，求线圈时，求线圈ABC内的感应电动势的大小和方向内的感应电动势的大小和方向. I v A B C a b c dabrabxy/)/(rarrarxaxbrabIxxyId)(2d200)ln(20rraabrbI解：建立坐标系，则斜边的方程为解：建立坐标系，则斜边的方程为 r 是是t 时刻时刻B点与长直导线的距离点与长直导线的距离0dd(ln)d2dIbarartarart E0(ln)v2IbadaadadE当当r =d时，时， 方向：方向：ACBA(即顺时针即顺时针)xyxdx7. 17-13 一三角形线框一三角

14、形线框ABC与无限长直导线共面，其与无限长直导线共面，其AB边与边与直导线平行，位置和尺寸如图，求二者之间的互感系数。直导线平行，位置和尺寸如图，求二者之间的互感系数。bABCa解：取面元解：取面元xxabxhSdtan)(dd)(xaIB 20 xxabxaISBdtan)()(2dd0abxxaxabI00dtan2abxxaxaxabI00d(tan2）)(lntan20ababbI)lntan20baabbIM（xdx8. 17-14 两导线的半径两导线的半径a，中心距离为，中心距离为d，载有大小相等方向，载有大小相等方向相反的电流，试证明长为相反的电流，试证明长为l的一段的自感为的一

15、段的自感为aadlL ln 0LIId)(rdIrIB 2200rlrdrISBSBd)(ddd 1120 rrdrIladad)( 1120 aadIl ln 0lnlnadaaadIl 20aadlIL ln 0课堂练习题课堂练习题载流长直导线与矩形回路载流长直导线与矩形回路ABCD共面，导线平行于共面，导线平行于AB，如图，如图所示，求下列情况下所示，求下列情况下ABCD中的感应电动势：中的感应电动势：（1）长直导线中的电流）长直导线中的电流I=I0不变不变, ABCD以垂直于导线的速度以垂直于导线的速度v从图示初始位置远离导线匀速平移到某一位置时（从图示初始位置远离导线匀速平移到某一位置时（t时刻）。时刻）。（2）长直导线中的电流）长直导线中的电流I=I0sint, ABCD不动。不动。（3）长直导线中的电流）长直导线中的电流I=I0sint，ABCD以垂直于导线的速以垂直于导线的速度度v远离导线匀速运动，初始位置也如图。远离导线匀速运动，初始位置也如图。IvablABCDxlxIxBlmd2dd00rbrlIxrlIbrrln2d120000m（1）xlxtIxBlmd2sindd00abatlIxxtlIbaaln2sind12sin0000m（2）xlxtIxBlmd2sin