南昌大学数字电路与逻辑设计课件第3章

1、第第3章章 3.1 概概 述述 逻辑函数的表示方法如下：逻辑函数的表示方法如下： 设输入逻辑变量为设输入逻辑变量为A、B、C、 ，输出，输出逻辑变量为逻辑变量为F。当当A、B、C、 的取值确定后，的取值确定后，F的值就被的值就被唯一的确定下来，则称唯一的确定下来，则称F是是A、B、C、 的的逻辑函数，逻辑函数， 记为：记为： F=f（A，B，C， ） 逻辑变量和逻辑函数的取值只能是逻辑变量和逻辑函数的取值只能是0或或1，没有其它中间值。，没有其它中间值。 逻辑函数逻辑函数 真值表真值表逻辑表达式逻辑表达式逻辑图逻辑图波形图和卡诺图波形图和卡诺图3.2 逻辑代数的运算规则逻辑代数的运算规则 3.

2、2.1 逻辑代数基本公理逻辑代数基本公理 公理公理1： 设设A为逻辑变量，若为逻辑变量，若A0，则，则A1；若；若Al，则，则A0。这个公理。这个公理决定了逻辑变量的双值性。在逻辑变量和逻辑函数中的决定了逻辑变量的双值性。在逻辑变量和逻辑函数中的0和和1，不是数，不是数值的值的0和和1，而是代表两种逻辑状态。，而是代表两种逻辑状态。公理公理2： 。式中点表示逻辑与，在用文字表述。式中点表示逻辑与，在用文字表述时常省略；加号表示逻辑或。时常省略；加号表示逻辑或。公理公理3： 。公理公理4： 。 。公理公理5： ； 。 0 001 11 ；1 1 1000 ；0 101 01 ；1 000 1 1

3、 ；01103.2.2 逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律 （1）0-1律：律： 。（2）自等律：自等律： 。（3）重叠律：重叠律： 。（4）互补律：互补律： 。（5）还原律：还原律： 。（6）交换律：交换律： 。（7）结合律：结合律： 。 001 1AA ；10AAAA ；1A AAAA；01A AAA；AAA BB AABBA；AB CA B CABCABC（）（） ；（）（） 以上各定律均可用公理来证明，方法是将逻辑变量分别用以上各定律均可用公理来证明，方法是将逻辑变量分别用0和和1代入，所得的表达式符合公理代入，所得的表达式符合公理2至公理至公理5。 3.2.2 逻辑代数的基本定律逻

4、辑代数的基本定律 （8）分配律分配律： 加（逻辑或）对乘（逻辑与）的分配律证明如下：加（逻辑或）对乘（逻辑与）的分配律证明如下： ()(1)(0 1()()()()()()()AB CABCBCAABACBCAAABACBCA ABC ABAB AC利用律和自等律）利用乘对加的分配律）利用重叠律利用乘对加的分配律利用乘对加的分配律ABCABACAB CABAC（）；（）（） （）3.2.2 逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律 （9）吸收律：吸收律： 证明：证明： AABAAABA； （）11AABABAA （）1AABAAABAABABA（）（）(10) 等同律：等同律： 证明：证明： AA

5、BABAABAB； （）1AABABABAABABAB AAAB（）（）3.2.2 逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律 （11）反演律（摩根定理）反演律（摩根定理） A BABABAB；采用真值表法证明，反演律成立。采用真值表法证明，反演律成立。ABABA B000011001101001110111100BAA B3.2.2 逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律 （12）包含律：包含律： ABACBCDABAC()()()(1)(1)ABACBCDABACBCD AAABACABCDABCDABABCDACABCDABCDACCDABAC证明：3.2.3 摩根定理摩根定理 （1）逻辑变量）

6、逻辑变量“与与”运算后取反等于各个逻辑变量分别取反的运算后取反等于各个逻辑变量分别取反的“或或”运算。运算。用公式表示如下：用公式表示如下： ABAB（2）逻辑变量）逻辑变量“或或”运算后取反等于各个逻辑变量分别取反的运算后取反等于各个逻辑变量分别取反的“与与”运算。运算。用公式表示如下：用公式表示如下： ABAB上述两个定理也适用于多个变量的情形，如：上述两个定理也适用于多个变量的情形，如： ABCABCABCABC3.2.3 摩根定理摩根定理 【例【例3-1】 应用摩根定理化简逻辑函数应用摩根定理化简逻辑函数 ()()FABCABC解：解：反复应用摩根定理可得：反复应用摩根定理可得： ()

7、()FABCABCABCABCAB CA BCACBCABACABC3.2.4 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则 1代入规则代入规则 例例 : A（B+C）=AB+AC，等式中的，等式中的C都用都用（C+D）代替，代替，该逻辑等式仍然成立，即该逻辑等式仍然成立，即 A（B+（C+D）=AB+A（C+D） 任何一个含有变量任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现的逻辑等式，如果将所有出现A的位置都的位置都代之以同一个逻辑函数代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。，则等式仍然成立。 3.2.4 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则 2反演规则反演规则 对于任何一个逻辑表式对于任何一个逻辑

8、表式F，若将其中所有的与，若将其中所有的与“ ”变成或变成或“+”，“+”换成换成“ ”，“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，原变量换成反变量，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是反变量换成原变量，则得到的结果就是 。 F原则：原则： (1) 注意保持原函数中的运算符号的优先顺序不变。注意保持原函数中的运算符号的优先顺序不变。 【例【例3-2】 已知逻辑函数已知逻辑函数 ，试求其反函数。，试求其反函数。解：解： ()FAB CDE()FA BC DE而不应该是而不应该是 FABCDE2反演规则反演规则 原则：原则： (2) 不属于单个变量上的反号应保留不变。或不属于单个

9、变量上的不属于单个变量上的反号应保留不变。或不属于单个变量上的反号下面的函数当一个变量处理。反号下面的函数当一个变量处理。 【例【例3-3】 已知已知 , 求求 。 FABC DEF解法一：解法一： 解法二：解法二： ()FABC DEABCDEFA BCDEABACDE()()()FABC DEA B CDEA BCDEA BCDEABACDE3对偶规则对偶规则 对于任何一个逻辑表达式对于任何一个逻辑表达式F，如果将式中所有的，如果将式中所有的“ ”换成换成“+”，“+”换成换成“ ”，“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，而变量保持不变，而变量保持不变，原表达式中的运算优先顺序不变。

10、那么就可以得到一个新的表达式，这原表达式中的运算优先顺序不变。那么就可以得到一个新的表达式，这个新的表达式称为个新的表达式称为F的对偶式的对偶式F*。 【例【例3-4】 已知已知 ，求，求 。FABCD*F解：解： *()()FAB CD 【例【例3-5】 已知已知 ，求，求 。FA B C DE*F解：解： FABC DEABCDE*F()A B CDEABCDE3对偶规则对偶规则 对偶式的两个重要性质：对偶式的两个重要性质：性质性质1：若若F（A，B，C，）=G（A，B，C，），则），则 F*=G*性质性质2：（F* ）*= F 【例【例3-6】 证明函数证明函数 是一自对偶函数。是一自对

11、偶函数。证明：证明： ()()FAC BA BC*()()()()()() ()()() ()()()() ()()()() ()() FACB ABCAB CB AB A CAB BC A CA BC A CB BC A CBC AACBBC A CA BCB A CF3.3 逻辑函数表述方法逻辑函数表述方法 3.3.1 逻辑代数表达式逻辑代数表达式 ( , , ,)F A B C DABCABCABDABCD3.3.2 逻辑图表述逻辑图表述 【例【例3-7】 分析图分析图3-1逻辑图的逻辑功能。逻辑图的逻辑功能。解：解：由图可知由图可知 ABSC( , )()S A BAB AB( ,)C

12、 A BABAB图图 3-1 例例3-7的逻辑图的逻辑图 3.3.3 真值表表述真值表表述 【例【例3-8】 列出函数列出函数Y=AB+BC+CA的的真值表。真值表。解：解： 表表3-2 例例3-8的真值表的真值表ABCY00000010010001111000101111011111 从真值表中可以看出，这从真值表中可以看出，这是一个多数表决通过的逻辑函是一个多数表决通过的逻辑函数，当输入变量数，当输入变量A A、B B、C C中有中有两个或两个以上为两个或两个以上为1 1时，输出时，输出变量变量Y Y为为1 1。 3.3.4 卡诺图表述卡诺图表述 (a) 2变量卡诺图变量卡诺图 (b) 3

13、变量卡诺图变量卡诺图 (c) 4变量卡诺图变量卡诺图 图图3-2 2、3、4变量的卡诺图变量的卡诺图 m20m21m23m22m18m19m17m161010m28m29m31m30m26m27m25m241111m12m13m15m14m10m11m9m80101m4m5m7m6m2m3m1m00000100101111110010011001000 CDE CDEABAB图图3-3 5变量的卡诺图变量的卡诺图 3.4 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式 3.4.1 最小项表述最小项表述 1最小项的定义最小项的定义 设有设有n个变量，它们所组成的具有个变量，它们所组成的具有n个变量的个变量

14、的“与与”项中，每个变量以原项中，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次，则这个乘积项称为最小项。变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次，则这个乘积项称为最小项。 01215ABCDmABCDmABCDmABCDm， ，2最小项的性质最小项的性质(a) 对于任何一个最小项，只有对应的一组变量取值，才能使其值为对于任何一个最小项，只有对应的一组变量取值，才能使其值为“1”。(b) 相同变量构成的两个不同最小项逻辑相同变量构成的两个不同最小项逻辑“与与”为为“0”。(c) n个变量的全部最小项之逻辑个变量的全部最小项之逻辑“或或”为为“1”，即：，即：(d) 某一个最小项不是包含在

15、逻辑函数某一个最小项不是包含在逻辑函数F中，就是包含在反函数中。中，就是包含在反函数中。n个变量构成的最小项有个变量构成的最小项有n个相邻最小项。个相邻最小项。(e) 例，例， 与与 是相邻最小项。是相邻最小项。 1im ABCDABCD3.4.2 最大项表述最大项表述 1最大项的定义最大项的定义 设有设有n个变量，它们所组成的具有个变量，它们所组成的具有n个变量的个变量的“或或”项中，每个变量以项中，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次，这个原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次，这个“或或”项称为最大项称为最大项。项。 2最大项的性质最大项的性质(a) 对于任何一个最大

16、项，只有对应的一组变量取值，才能使其值为对于任何一个最大项，只有对应的一组变量取值，才能使其值为“0”。例例，只有变量，只有变量ABCD=0000时（每一变量都为时（每一变量都为0时），才有时），才有A+B+C+D为为“0”。(b) 相同变量构成的任何两个不同最大项逻辑相同变量构成的任何两个不同最大项逻辑“或或”为为“1”。例例，M4+M6=(c) n个变量的全部最大项之逻辑个变量的全部最大项之逻辑“与与”为为“0”，即：，即：(d) 某一个最大项不是包含在逻辑函数某一个最大项不是包含在逻辑函数F中，就是包含在反变量中，就是包含在反变量 中。中。(e) n个变量构成的最大项有个变量构成的最大项

17、有n个相邻最大项。个相邻最大项。例例， 与与 是相邻最大项。是相邻最大项。 () ()11A B C DA B C DA BD 0iMFABCDA B C D3最小项与最大项的关系最小项与最大项的关系 下标下标i相同的最小项与最大项互补，即相同的最小项与最大项互补，即 。例如，例如， ，即为：，即为： 。 iimMABCABC77mM3.4.3 标准与或表达式标准与或表达式 【例【例3-9】将】将 展开为最小项之和的形式。展开为最小项之和的形式。 FABCABD151464()()4,6,14,15FABCABDABC DDABD CCABCDABCDABCDABCDmmmmm 解：【例【例3

18、-10】将】将 写成标准与或表达式。写成标准与或表达式。 。 FABABC()3,6,7FABABCAB CCABCABCABCABCm 解：3.4.4 标准或与表达式标准或与表达式 【例【例3-11】将】将 =m（0，2，3，6）展展开为最大项之积的形式。开为最大项之积的形式。 FABCABCABCABC1,4,5,7()()()()1,4,5,7FABCABCABCABCmABCABCABCABCABC ABC ABC ABCABCABCABCABCM 解：【例【例3-12】 将将 写成标准或与表达式。写成标准或与表达式。 ()()FABABC()()()()()()()(0,2,3)FA

19、BABCABCCABCABCABCABCM 解：3.4.5 两种标准形式的相互转换两种标准形式的相互转换 对于一个对于一个n变量的逻辑函数变量的逻辑函数F，若，若F的标准与或式由的标准与或式由K个最小项相个最小项相或构成，则或构成，则F的标准或与式一定由的标准或与式一定由 个最大项相与构成，并且对个最大项相与构成，并且对于任何一组变量取值组合对应的序号于任何一组变量取值组合对应的序号i，若标准与或式中不含，若标准与或式中不含mi，则，则标准或与式中一定含标准或与式中一定含Mi。 2nK【例【例3-13】 将标准与或表达式将标准与或表达式 表示为表示为标准或与表达式。标准或与表达式。( , ,)

20、(0,3,5,6)F A B Cm ( ,)(0,3,5,6)(1,2,4,7)F A B CmM 解：3.4.6 逻辑函数表达式与真值表的相互转换逻辑函数表达式与真值表的相互转换 1由真值表求对应的逻辑函数表达式由真值表求对应的逻辑函数表达式 12350467(1,2,3,5)(0,4,6,7)()()()()FmmmmmABCABCABCABCMMMMMABCABCABCABC M7M6M5M4M3M2M1M0m0m1m2m3m4m5m6m7011101000 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1最大项最大项最小项最小项FA B C表表3-3 真值表

21、真值表 3.4.6 逻辑函数表达式与真值表的相互转换逻辑函数表达式与真值表的相互转换 2由逻辑函数表达式求对应的真值表由逻辑函数表达式求对应的真值表 步骤步骤 在真值表中列出输入变量二进制值的所有可能取值组合在真值表中列出输入变量二进制值的所有可能取值组合 将逻辑函数的与或（或与）表达式转换为标准与或（或与）形式将逻辑函数的与或（或与）表达式转换为标准与或（或与）形式 将构成标准与或（或与）形式的每个最小项（最大项）对应的输出将构成标准与或（或与）形式的每个最小项（最大项）对应的输出变量处填上变量处填上1（0），其它填上），其它填上0（1） FABABCABCABCABC：111； ：110；

22、 :011 ABCABCABC在真值表中，输入变量二进制值在真值表中，输入变量二进制值111、110、011对应的输出变量对应的输出变量处填上处填上1，其它填上，其它填上0即得该函数的真值表。即得该函数的真值表。 例，例， 3.5 逻辑代数化简法逻辑代数化简法 3.5.1 并项化简法并项化简法 【例【例3-14】 化简化简 FABCABCFABCABCABCB解：（C+ ）= A 【例【例3-15】 化简化简 FABCABCBC()FABCABCBCAA BCBCBCBCB解： 【例【例3-16】 化简化简 ()()FA BCBCA BCBC()()()()()()FA BCBCA BCBCA

23、 BCA BCA BCA BCA解：1 AA3.5.2 吸收化简法吸收化简法 【例【例3-17】 化简化简 ()FABABCD EF()FABABCD EFAB解： 【例【例3-18】 化简化简 FABCACDBCD()()FABCACDBCDABCC AB DABCAB DABCABDABCD解： 【例【例3-19】 化简化简 ()FAABC ABCDBC()()()FAABC ABCDBCABCABCABCDABC解：AABAAABAB3.5.3 配项化简法配项化简法 【例【例3-20】 化简化简 FABACBC()()FABACBCABACABCABCABACABCABC AABABC

24、ABABC ABABC解： 【例【例3-21】 化简化简 FABBCBCAB()()()FABBCBCABAB CCBCBC AAABABCABCBCABCABCABABBCAC BBABBCAC解：方法方法 1AA3.5.3 配项化简法配项化简法 【例【例3-22】 化简化简 方法方法 FABCABCABCABC()()()FABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABACBC解：3.5.4 消去冗余项化简法消去冗余项化简法 ABACBCABAC 【例【例3-23】 化简化简 FA B CA B CA B CA B C1FA CA B C DA B CC DA B DA

25、CB DBC DA B DA CC DA B DA CC D解 ：（） 【例【例3-24】 化简化简 ()FABBCAC DEFG()FABBCAC DEFGABBC解： 【例【例3-25】 化简化简 FADADABACBDBEDEFADADABACBDBEDEAABACBDBEDEAACBDBEDEACBDBEDEACBDBE解：）3.5.4 消去冗余项化简法消去冗余项化简法 【例【例3-26】 化简化简 ()FABACBCCBBDDBADE FG()()()()()()()()FABACBCCBBDDBADE FGA BCBCCBBDDBADE FGA BCBCCBBDDBADE FGAB

26、CCBBDDBADE FGABC DDCBBDDB CCABCDBCDCBBDDBCDBCABDCDBC解：3.5.4 消去冗余项化简法消去冗余项化简法 【例【例3-27】 化简化简 ()()()()()FBDBDAG CE CGAEG解：解：(1) 先求出先求出F的对偶函数，并对其进行化简：的对偶函数，并对其进行化简： *FBDBDAGCECGAEGBDCECG (2) 求求 的对偶函数，便得的对偶函数，便得F的最简或与表达式的最简或与表达式: *F()()()FBD CE CG3.6 卡诺图化简法卡诺图化简法 3.6.1 与或表达式的卡诺图表示与或表达式的卡诺图表示 【例【例3-28】用卡

27、诺图表示下面的标准与或表达式：】用卡诺图表示下面的标准与或表达式：FABCABCABC1010101011111001010000001 10 0 CD CDABABABCABCABC图图3-4 标准与或表达式的卡诺图标准与或表达式的卡诺图 解：解：3.6.1 与或表达式的卡诺图表示与或表达式的卡诺图表示 【例【例3-29】 用卡诺图表示逻辑函数：用卡诺图表示逻辑函数：解：解： 图图3-5 非标准与或表达式的卡诺图例子非标准与或表达式的卡诺图例子 FABCDABDACDAB()()()()1,4,6,8,9,10,11,15FABCDABDACDABABCDAB CC DA BB CDAB C

28、C DDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDm 3.6.1 与或表达式的卡诺图表示与或表达式的卡诺图表示 【例【例3-30】用卡诺图表示逻辑函数：】用卡诺图表示逻辑函数： 图图3-6 非标准与或表达式的卡诺图非标准与或表达式的卡诺图 FADBC解：解：在变量在变量A、D取值均为取值均为00的所有方格中填入的所有方格中填入1；在变量；在变量B、C取值分别为取值分别为0、1的所有方格的所有方格中填入中填入1，其余方格中填入，其余方格中填入0。 3.6.2 与或表达式的卡诺图化简与或表达式的卡诺图化简 1卡诺图化简原理卡诺图化简原理 图图3-7 逻辑相邻最小项的概念逻辑相

29、邻最小项的概念 m10m11m9m81010m14m15m13m121111m6m7m5m40101m2m3m1m000001010111101010000 CD CDABAB3.6.2 与或表达式的卡诺图化简与或表达式的卡诺图化简 2卡诺图化简的步骤卡诺图化简的步骤 步骤步骤1：对卡诺图中的：对卡诺图中的“1”进行分组，并将每组用进行分组，并将每组用“圈圈”围起来。围起来。 步骤步骤2：由每个圈得到一个合并的与项。：由每个圈得到一个合并的与项。 步骤步骤3：将上一步各合并与项相加，即得所求的最简：将上一步各合并与项相加，即得所求的最简“与或与或”表达表达式。式。 3.6.2 与或表达式的卡诺

30、图化简与或表达式的卡诺图化简 【例【例3-31】用卡诺图化简法求出逻辑函数：】用卡诺图化简法求出逻辑函数：F（A, B, C, D）=m（2, 4, 5, 6, 10, 11,12,13, 14, 15）的最简与或式。的最简与或式。 图图3-8 例例3-31的卡诺图的卡诺图110010101111111110110101100000001010111101010000 CD CDABABBCCDAC解：解： F（A, B, C, D）= BCACCD 【例【例3-32】某逻辑电路的输入变量为】某逻辑电路的输入变量为A、B、C、D，它的真值表如表所，它的真值表如表所示，用卡诺图化简法求出逻辑函数

31、示，用卡诺图化简法求出逻辑函数F(A, B, C, D)的最简与或表达式。的最简与或表达式。解：解： ABCDFABCDF00001100010001010010001001010100110101100100111001010111101001100111000111011111表表3-4真值表真值表 FCDABDABCABCD图图3-9 例例3-32的卡诺图的卡诺图 CDABCDABDABC100110100101111100110101000100001010111101010000 CD CDABAB3.6.2 与或表达式的卡诺图化简与或表达式的卡诺图化简 【例【例3-33】用卡诺图化简法求出逻辑函数：】用卡诺图化简法求出逻辑函数：F(A, B, C, D) =m(0, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 14) 的最简与或式。的最简与或式。 解：解： BCD110110101001111110010101110100001010111101010000 CD CDABAB图图3-10 例例3-33的卡诺图的卡诺图 F（A，B，C，D）= BCD3.6.3 或与表达式的卡诺图化简或与表达式的卡诺图化简 1或与表达式的卡诺图表示或与表达式的卡诺图表示 解：解： 图图3-11 标准或与表达式的卡诺图标准或与表达式的卡诺图 【例【例3-34】用卡诺图表示下