奥数 小二教案 38 二年级第九讲提高班教师版

1、第九讲 数阵图数阵图是小学奥数阶段一个很重要的专题。在这节课中，我们的教学目标就是让学生初步认识数阵，并能通过一系列的练习，找到解数阵的一般方法。今天我们重点研究的方法，就是通过找中心数来解题，会根据题目中给出的已知条件来求中心数。在例题的设计中，我们也是层层深入，让学生能通过简单的例题来发现规律找到解题的方法，通过例题难度的加深来拓展应用。希望这节课的学习能使学生的思维能力得到培养，能让学生对数阵产生兴趣，为今后的继续学习奠定基础。 课前复习1. 在下面的里填上适当的数，使每条线上的三个数之和都是16. 【答案】 【答案】 2. 在空格内填入适当的数，使得每行、每列和两条对角线上的三个数的和

2、都为18. 【答案】 3. 在空格内填上适当的数，使得图中每行、每列及两对角线上四个数的和都是64. 【答案】 在神奇的数学王国里，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷.它就是数阵.到底什么是数阵呢?我们先观察下面2个图：在空格内填上适当的数，使得图中每行、每列及两条对角线上三个数的和都是15. 认真观察，你发现每个图中的数字有什么特点？左上图有两条直线，每条直线上都有3个数字，它们的和都分别等于15；而右上图，将l9九个数字排成三行、三列，每一行、每一列、每一斜行上的3个数字的和都等于15. 数阵就是用数(一般指自然数)按一定的要求和规律，组成特定的形状或布成特定的阵势.

3、它一般分为辐射型(左上图)和封闭型(右上图).要把一些数字按一定的规则填入图形中，有没有巧妙的方法来填呢?今天这节课我们就一起来学习. 辐射型数阵图 【例1】 把1，2，3，4，5这5个数分别填入图中的圆圈内，使得横行3个数的和与竖列3个数的和都等于10. 【分析】横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数a被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次.因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于10，所以(1+2+3+4+5)+a=10×2，a=5.剩下4个数中每两个数之和应该等于5，1+4=2+3。 【例2】 把48这五个数填入图中(已填入6)，使两条直线上的三个数之和相

4、等. 【分析】方法一：把6除外，还剩4，5，7，8，这四个数，在这四个数中4+8=5+7，这样可以填出答案。方法二：与例1不同之处是已知“重叠数”为6，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数.可以先求出这个“和k”.(4+5+6+7+8)+6=k×2.K=18。 拓展训练把1，2，3，4，5这5个数分别填入图中的圆圈内，使得横行3个数的和与竖列3个数的和都相等.一共有多少种不同的填法？【答案】除了上面的一种填法外，还有两种方法，一共有三种不同的填法： 【例3】 把1，2，3，4，5，6，7这7个数分别填入右图的圆圈中，使得每条直线上的3个数的和等于12. 【分析】因为图中共有3条

5、直线，所以中心的重叠数重叠了2次，于是（1+2+3+4+5+6+7）+重叠数×2=12+12+12.重叠数就=（36-28）÷2=4.那么中间的数应该填4.剩下的6个数1，2，3，5，6，7中，2个数的和等于12-4=8的有1+7=2+6=3+5=8，答案如图. 【例4】 将1，2，3，4，5，6，7这7个数分别填入右图的圆圈中，使得每条直线上的3个数的和都等于10. 【分析】因为图中共有3条直线，所以中心的重叠数重叠了2次，于是（1+2+3+4+5+6+7）+重叠数×2=10+10+10.重叠数就=（30-28）÷2=1.那么中间的数应该填1.剩下的6

6、个数2，3，4，5，6，7，中，2个数的和等于10-1=9的有2+7=3+6=4+5=9. 【例5】 把17这七个数分别填入图中的各内，使每条线段上三个里数的和相等一共有多少种方法？【分析】例5是例4的拓展，可以用枚举法，分别列举出不同的方法.17七个数的和是28，中心圆的数要多加两次因此可得如下关系式: 28+2a=3k 用试验的方法，若a取2、3、5、6，此题无解；a取1、4、7时该数阵图成立三种基本解法. 拓展训练把19这9个数分别填入下图的圆圈中，使得每条直线上的3个数的和都等于15. 【答案】（1+2+3+4+5+6+7+8+9）+重叠数×3=15×4，重叠数=（

7、60-45）÷3=5.剩下的8个数1，2，3，4，6，7，8，9中，2个数的和等于15-5=10的有1+9=2+8=3+7=4+6=10，答案如图. 封闭型数阵图 【例6】 将1，2，3，4，5，6这6个数分别填入下图中，使两个大圆上4个数的和都等于14.【分析】我们先计算出这两个重叠数的和是多少.（14+14）（1+2+3+4+5+6）=7，在已知的6个数中，两数相加之和为7的有1与6，2与5，3与4.所以两圆的重叠数可以是1与6，2与3，3与4.这三种情况分别如下图： 拓展训练 把1，2，3，4，5，6，7，8这8个数分别填入下图中，使得每个大圆上的5个数的和都等于20. 【答案

8、】这两个重叠数的和是：（20+20）（1+2+3+4+5+6+7+8）=4，在已知的8个数中，两数相加之和为4的只有1与3.20-4=16=8+6+2=7+5+4，如图： 【例7】 把1，2，3，4，5，6这6个数分别填入右图的6个圆圈中，使得三角形每条边上的3个数的和都等于10. 【分析】我们先计算出3个重叠数的和是多少.（10+10+10）-（1+2+3+4+5+6）=9，在16这6个自然数中，3个数的和等于9的有（1，3，5）；（1，2，6）；（2，3，4）.如果3个重叠数是1，2，6，那么根据每条边上3个数的和都等于10，可算出每条边中间的数，我们会发现所填数有大于6的数，同样，当重叠

9、数是2，3，4时，会出现重复的数.当重叠数是1，3，5时，可得到符合题意的填法.如图： （ 不符合题意） （ 不符合题意） （ 符合题意） 【例8】 将16这六个自然数分别填入下图的六个中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等.还有几种不同的填法？ 【分析】这道题是上一题的拓展，除了上面的方法，另还有三种不同的方法.1+2+3+4+5+6=21.21+a+b+c=3k 因为每边的三数之和是整数，所以重叠数之和应是3的倍数.考虑到重叠数是16中的数，所以三个重叠数之和只能是6，9，12或15，对应的每条边上的三数之和就是9，10，11或12.与例6的方法类似，可得四种填法. 拓展训练把49这6个

10、数分别填入下图的6个圆圈中，使得三角形每条边上的3个数的和都等于21. 【答案】先计算出3个重叠数的和是多少.（21+21+21）-（4+5+6+7+8+9）=24，在16这6个自然数中，3个数的和等于24的有7，8，9.当重叠数是7，8，9时，可得到符合题意的填法.如图： 【例9】 把2、3、4、5、6、7、8、9、10填入方格里，使每一横行、每一竖行、每一斜行的3个数的和都是18.【分析】每一横行、每一竖行、每一斜行3个数的和是18，那么第二列、第二行、两个斜行的总和是18+1 8+18+18=72(如图1).而2+3+4+5+6+7+8+9+10=54，72与54相差18.这是因为方格正

11、中间的数被算了4次，即多算了3次.由于18÷3=6，所以正中间的数应填6.186=l2，组成12的算式有2+10=12，3+9=12，4+8=12，5+7=12，填法见图(2)通过例题分析，我们发现，填数阵不是七拼八凑就能写出答案的.而是一般先考虑正中间的数、顶角上的数.不管解哪一种数阵图，只要我们紧扣住“重复使用的数字”这一关键来进行分析，就能解决很多复杂巧妙的数阵问题. 附加题 （以下提供的内容，供老师参考使用）【附1】将1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字分别填入图中的小圆圈里，使得每条边上4个数字的和是17. 【分析】我们先计算出这三个重叠数的和是多少.（17+17+

12、17）-（1+2+3+4+5+6+7+8+9）=6，在已知的9个数中，只有1+2+3=6，所以三个角应该填1，2，3.答案如图：【附2】 把18这八个数分别填入图2611中的圆内，使每条线上的三个数相加的和等于12.【分析】图形中四个角上的数各重复计算了一次.八个数的和是：1+2+3+4+5+6+ 7+8=36，36+a+b+c+d=12×4，a+b+c+d =4836=12，这12就是四个角的四个数的和.在这八个数中有：1+2+3+6=12，因此把1，2，3，6这四个数分别填入四角的圈内.再来试算可得1+8+3=12，1+5+6=12，6+4+2=12，3+7+2=12. 【附3】

13、将1、2、3、4、5、6六个数填在图中的空灯里，使每个大圆上的四盏灯里的数相加都等于14.【分析】在这些数中，四个数的和是14的有14=6+5+2+1，14=6+4+3+1，14=5+4+3+2，根据找两个圆中相互重复的数字，我们可以得到结果，如图：【附4】将自然数1至9，分别填在下图 的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等. 【分析】方法1：此题为一三阶幻方.可按口诀"九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，载九履一，五居中央."填出答案.（此方法到三年级会进一步学习）方法2：按照数的分拆:三行的总和=1+2+3+4+9=45， 所以每行三个数的和是45

14、÷3=15.找到所有3个数和为15的情况如下: 1+5+9,1+6+8,2+4+9,2+5+8,2+6+7,3+4+8,3+5+7,4+5+6.图中E代表的数字是关键数.有4条线通过它，因此要求E出现在4个算式之中.容易找出这个数字是5.位于A、C、G、I位置的数字出现3次，它们是2、4、6、8.方法3：或者先看成辐射图.那么第二列、第二行、两个斜行的总和是15×460.而1+2+3+4+5+6+7+8+945，45+3a=60 a=5正中间的数应填5.155=10，组成10的算式有9+1=8+2=7+3=6+4.试验可解. 练 习 九1. 把5，6，7，8，9这5个数填在

15、下图的内，使横行、竖列3个数的和都等于( )中的数.答案： 2. 将19填入小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等. 答案有以下7种，任写其中一种即可.3. 把10，20，30，40，50，60，70这7个数填在圆圈里，使每条直线上和每个圆周上的三个数的和都是140.答案：4. 把3、5、7、9、1 1、13、1 5这7个数分别填入图中的圆圈内，使每条直线上的3个数都等于27. 答案： 5.把16填入里，使每个圆圈上的四个数之和都相等16. 答案： 6.将18填入中，使得每条边上的三个数之和都等于15. 答案： 填数五连环小朋友们都知道，奥林匹克运动会的会标是象征着全世界人民团结奋进的主题.今天，做一个“填数五连环”游戏每个圆