《线性代数》复习

1、第一章行列式一、主要结论：定理1 :对换改变排列的奇偶性。推论：奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成 标准排列的对换次数为偶数定理2 : n阶行列式的定义为D八（-1）缶2哄定理3:行列式与它的转置行列式的值相等。定理4:互换行列式的两行，行列式变号。定理5:行列式的某行乘以k，等于行列式乘以k。定理6:行列式的两行元素成比例，行列式的值为零。定理7 :行列式的某行元素的k倍加到另一行上，值不变。定理8 :行列式等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。定理9 （克莱姆法则）：如果线性方程组 AnnX二b的系数行D列式D不等于零，则方程组有唯一解x-（j =1,2/ ,n）

2、<D定理10 :线性方程组 An<n X= 0有非零解二|A = 0。二、练习：1. 计算排列217986534的逆序数，并判断排列的奇偶性。（二佃，奇排列）2. 若a1ia32a54a2ja45是5阶行列式中带负号的一项，求i,j（3, j - 1 ）0a00abbb00b0babb(1)c000(abcd)(2)bbab000dbbba(a+ 3b)(a-b)3)102350423 .计算行列式:1(3)(4)(50)325-11141241-1112211012-34(一7)(6)2 a(a+ 1fa2fb2(b+仃b22)2 c(c+仃(c22)(5)xIIIIII( 4(

3、b - a)(c -a)(c - b)anann( x)n1C ax)iT4.设-730-2(2)M41M42IIIanX,求(1) A41A42A43A44；M43 M(0 ; (2) -28 )第二章矩阵及其运算、主要结论:1.矩阵的加法：设同型矩阵 A = (ajj)、B = (bij)Mmn，则A + B=(aij 士bj) e Mmn。数与矩阵的乘法：设A Mmn , k R，则kA = Ak = (kaij)mn。矩阵与矩阵的乘法：设矩阵 A- (aij)ms、B = (bj)sn，则sAB 二 C =(Gj)mn , W 八 aikbkj(i = 1,2, ,m;j "

4、,2,n)。k=12. 矩阵的转置：设矩阵A二(aij )mn，则A =(aji)nm。转置矩阵的运算律：(A J，A , (A B)，AB-,(kA)二 kA , (AB)二 B A。3. 方阵的行列式的性质人丁 = A，|kA = kn A，AB = A B。4. n阶方阵可逆5. 计算逆矩阵的方法：定义法：由AB二E或BA二E得A = B1 伴随矩阵求逆法：AnA (A|T)|a|r逆矩阵的性质：(A，) -A , (A )-(A1),A1 初等变换行变换法：(A £)(E 2冷(其中式，当 A不可逆时仍成立)7.矩阵方程的解法：AX = C -X = AC<r,(A C

5、) (E A_1C)rBCr E、&B JXB =C 二,AXB = C 二X =CBX = AJCB_1练习题1.F列命题正确与否广101、10、(1200-1X =02，求X。(X =-2 -4)-1-12J-2><0-211-r1-11、11/61/21、022X =110，求:X O (X =-1/6T/201-10<211<2310>解矩阵方程:)2.已知AX其中q0r20r020O ( X =030<161<162;)A =72 ,求(A 2E)-1.3.已知"AB,其中 B =：(A 2E) (E -B)二 E, (A

6、2E)0 1-3 34.A为三阶方阵，且|A*，计算(3A-2A*128)(275.均为n阶方阵,且A = 2, B =-3,计算3AB1(-6n4 )广210、6. 设A= 1 2 0矩阵B满足ABAJ2BA7E，其中A为AI。0 b的伴随矩阵，E是单位矩阵，求|B。1(由 (ABAJABAA + EA,得(3A-6E)B=A, B= )9广 100、7. A= 23 0 ,求(A1)，其中A"为A的伴随矩阵。256 ?1 0 0(A)J = 2 3 0 )183 5 68. 设 =21-1， 二-132 , .计算.求)n。-264 .(春丁 = | _132 i,_1 ,I 1

7、- 3 - 2 ；f-264 '丽 T)n=(1严-132 )<13 -2第三章矩阵的初等变换与线性方程组一、主要结论：1.矩阵秩的性质： 0岂R(Am n)乞minm,n, R(A )二 R(A)若 AB，则 R(A)二 R(B) 若 P ,Q 可逆，则 R(PAQ) = R(PA)= R(AQ)= R(A) max R(A),R(B)乞 R(A,B)乞 R(A) R(B) R(A B)空 R(A) R(B) R( A Bp mi： R( A), R(B)若Am nBn厂0，则R(A) R(B上n2 . n元线性方程组Ax=b : 无解二 R(A)=R(A,b) 有唯一解二 R

8、(A) = R(A, b) = n 有无限多解二 R(A)二R(A,b) ： n3. n元齐次线性方程组 Ax = 0 : 有非零解(即有无穷多解)= R(A)： n 没有非零解(即只有唯一的零解)= R(A)二n4 .线性方程组解的结构：定义(基础解系)：齐次线性方程组的解集的最大无关组。 若1、2是方程Ax = 0的解，则1 + 2也是Ax 7的解。 若i是方程Ax二0的解,k为实数，则k i也是Ax = 0的解. 若i、2、t是方程Ax=0的基础解系，则k! k2kt t是方程A)二0的通解。 若i、 2是方程Ax二b的解，贝V 1-2为Ax=0的解。 若 是方程Ax = b的解， 是方

9、程Ax二0的解，贝V + 仍是Ax = b的解。 若i、 2、t是方程Ax=0的基础解系，”是方程Ax二b的一个解，则Ax=b的通解为X 二 & ! k2 2kt t 。、练习题5 1-6 10、1 .设 A= 2 5 k -1 啲秩为 2，求 k。 (k= 3)12-1 k 丿2x ”x2 - x3 = 02. 人为何值时，线性方程组 几洛-X2 + X3 = 0 有非零解?4x1 5x2 - 5x3 二 041或时)'5丿Xt + ax2 + x3 = 03. 讨论a取何值时，方程组xX2 X3 =0有非零解？Xt + x2 + ax3 = 0在有非零解时，求其通解.1 1

10、 1、(A 0 a-1 0 , a1时，R(A) = 3,，方程组只有零解；I。0 a-1a时，R(A) = 1,方程组有非零解，11广sr-r此时，A0 0 0,通解：X2=Cf10 )<0 0 0g<0<1 >Xq + 2x2 _ x3 = 14. 已知2冬- X2 x3 = 4 求其导出组的基础解系及通(3x4 - 4x2 十 3x3 = 7解；求非齐次线性方程组的一个特解及通解。X1 (x2C皿丿-1/5 9/5 (c R)3/5 1+ -2/5 II 1 J I 0 J2Xj X2 + Xg + X4 = 15. 非齐次线性方程组 <人+2%2-沧+ 4

11、%4 = 2当九取何值时，Xq + 7x2 - 4x3 + 11x4 =九方程组有解？有解时，求出它的通解。12/42、(A 0 _5 3 7 -3故当丸=5时方程有解,e 000扎5351° >通解x-70<5广4/53/500x + 2y + kz = 16.确定k的值，使方程组$2x + ky-z=-2有唯一解；无x 3z = 3解；有无穷多解，并求其通解。(k- -5及k - 2时，k= -5k =2时,有无穷多解)1 2 - 26 .设A= 4 k 3 ，三阶矩阵B"满足AB=0,求k<411 >(k= 3)7.设三元非齐次线性方程组 Ax

12、二b的系数矩阵A的秩为2 ,且它的三个解向量1，2，3满足311 ,-T-3=2 0- 2 一，求 Ax=b 的通解。(=111,-101 - , x= k ,k R)第四章 向量组的线性相关性、主要结论：向量组的线性相关的性质1. 向量组的线性相关的定义及性质 定义：若存在不全为零的数ki，k2,，km，使1 k2 2 kmm = 0，则称1 ,2 ,八m线性相关。只有 K = k2 = 111 = km = 0 时，才有 kv 1 k22 kmm = 0， 则称"I ,2，III，'m线性无关。 向量组di,2,lll"m(m 一2)线性相关二：1厂2, m 中

13、至少有一个向量可由其余 m 一1个向量线性表示。逆否命题为：向量组： 1八2，八m(m - 2)线性无关= 1,2,i,m中每个向量都不可由其余 m1个向量线 性表示。 向量组2,111, m线性相关二R(£, 2,111, m. 向量组乙2,lll,'m线性无关二R(Ullm)= m. m个n维向量：j ,，m形成的向量组，当m n时=向量组线性相关。 n个n维向量*1,*2,lll,*n线性相关=g宀,尸n = 0。 n个n维向量4 1,。2，宀线性无关二冋1,%，'n I。 若向量组12,，'nJ线性相关，而12八，5线性无关，则可由1 < 2&l

14、t; n线性表示，且表示法唯一。2 .两个向量组之间的线性关系设有两个向量组 A: ： 1 ,： 2 , , s, B: 1 , 2/ , t及向量b : 向量b能由组A线性表示=R(A)二R(A,b) 组B能由组A线性表示=R(A)=R(A,B) 组 B与组 A等价= R(A)= R(B)= R(A,B) 组B能由组A线性表示二R(B)R(A)二、练习题1 .求下列向量组的秩和一个最大线性无关组，并把其余向量用该最大无关组表示。已知： ai = 134-2、a2 = 2 1 31、a3 = 3 -1 2 0、亠Ta4 = 4- 3 1 1， ,(1 -1 2 4) , *2=(0 3 1 2

15、) , *3 = (3 0 7 14)， 匕珂1 -2 2 0)。r10 31 "10 3 1'(泌,也A d)0 3 3 -10 1100 1100 0 0 11<0 2 2410 0 0 0向量组的秩为3，最大线性无关组为1,2,4，且3=31)2.判断下列向量组是否等价：1 1 1 ,a2 = -11 2, a 3 3 6 与 1 0 -1,2 = 1 - 2 4 - ,3=2 -1 -1.3 .设向量组引二-5 1- 3 - , a? = 1 5 3 -,a 3 3 - 3 -,问，为何值时，a1, a2, a3线性相 关。'为何值时,a1 , a2 ,

16、 a3线性无关。(，=0,或=4 ,或，=9 = 0,且.=4，且，=9)4 .设 a厂11,a2=11,a3 二 3 - 2 ,已知-不能由a1 , a2, a3线性表示，求，。一2)5. 设向量组：1, ： 2, ： 3线性无关，又11 ： 2 一 2： 3 ,2 = 7-2 73 , 3=2 ,试证明：-1, - 2, - 3 线性无关。6 .设向量组：1 , :- 2 , 3线性无关，已知>2 + 2 3 ,1 2-3 , V = 21 2 + 3 3 ,试确定向量组-1、一: 2 >- 3线性相关性。7.判断向量组r S, >2 g,3心1的相关性，已知（1）向量组

17、：1，: 2，: 3线性无关；（2）向量组：1，: 2，: 3线性相关。第五章相似矩阵及二次型主要结论1. 两两正交的非零向量一定线性无关。2. 正交矩阵的性质A为n阶正交矩阵=A可逆，并且A J = AA的列向量组是n维向量空间Rn的一个规范正交基二A的行向量组是n维向量空间Rn的一个规范正交基3.线性无关向量组的规范正交化设 a1,a2,ar为向量空间V的一组基，施密特正交化方法令1 ,p _a-宀匕】忻 1, 1 1，则：1 ,： 2 / , ： r为向量空间V的一组正交基。规范化（单位化）e2er则ei, e2,，er为向量空间V的一组规范正交基。4. 特征值的性质设1 , '

18、2，-n是n阶方阵A的n个特征值，则二 ai1a22nn >1 >2 11卩 n = A 与A相关的方阵的特征值和特征向量:方阵A、 At特征值特征向量（属丸）（属丸）（属 f。）(属 2IA)A（属丸）其中 f (A)二 a0 ai Aam A， f()二 ao aiam m 矩阵A的对应于不同特征值的特征向量是线性无关的，特另I，当A有n个不同的特征值时，A有n个线性无关的特 征向量。5. 相似矩阵定义：给定n阶方阵A、B，若存在n阶可逆方阵P，使PAP二B，贝淋A相似于B , P称为相似变换矩阵。性质：若A与B相似，则|kE-A=|hE-B，特征值也相同若A与B相似，则A二B

19、 , R（A）=R（B）6. 矩阵的相似对角化n阶方阵A与对角矩阵相似(此时，称 A能对角化)= A有n个线性无关的特征向量= A的每个ki重特征值对应的线性无关的特征向量的个数为ki。推论：A有n个互异的特征值 =A能对角化。实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交。n阶实对称矩阵A一定能对角化，且一定存在正交矩阵使A能对角化。(AT=A-1)7. 二次型及其矩阵表示定义：含有n个变元Xi , X2，,Xn的二次齐次函数称为二次型。上述二次型可用矩阵表示为f = x-Ax，其中ai1ai2a21a22XiX2,且A为实对称矩阵，则称<an1an2A为二次型f的矩阵。二、练习题1 .

20、设，是n阶方阵A的一个特征值，求矩阵A2 , A2 5A- 3E的一个特征值。('2 ,2 5 - 3)若A可逆，求2E - A1 , (A )2 E的一个特征值。(“1， 2_ 2+ 1 )2 .已知3阶方阵A的特征值为1,T,2，设B二A3 -5A2，求B , A -5E o(设f (x) = x3 - 5x2，则B= f (A)，故B的特征值为f 、f(1)、f(2),得设 f(x) = x-5，贝U f(A) = A-5E , f(A)的特征值为 f(1)、f(1)、 f(2)，得A-5E| = |f(A) = f(1)f(-1)f(2)= -72 )J 2 0 0、3矩阵A与

21、矩阵B相似，其中A=2 x 2 ,i311丿I 0 0020 丨，求 x, y.(因 »E-A=|&E-B 得10 0 y丿5 a 1、0 、矩阵a =a 1 b ,与矩阵B =1J b 1丿< 24.,相似，求a,b . (B的特征值为0,1,2，因此得E-A=0, A = 0,得 a = 0.b 二 0 )5.设二(1,0,-1)丁,矩阵 A =T,n 为正整数，求 aE-An(A的特征值为0,0,2，故aE - An的特征值为a - 衬(i =1,2,3),即为 a,a,a -2n, aE - A* = a?(a -2“).)广 122'6设A=224 ，

22、求a的特征值，特征向量。24-2丿-2I -1 I,P20丿20 I, P3=J丿1I-2 )27 .设'1，'2是n阶方阵A的特征值，且12，而Xi和X2分别 对应于1和2的两个线性无关的特征向量，证明 X! + X2不 是A的特征向量8 .设 1=1 1 1 1,2=1 2 2 1,3=2 3 1 6 ,试用施密特正交化方法把它们化为规范正交基。r_2、-11-11- 11("21，e2 = 21,e35-1.)J丿l 0 1P3单位化得e 1/圧li/妃< 2丿2 0 0 9.设A= 0 3 2 |,判断A能否对角化；若A能对角化，试<0 2 3将

23、P1、P2、1e210求一个正交矩阵P，使p'ap为对角阵。（因A为实对称矩阵，故可对角化。广0、入1 = 1 ,人2 = 2，九3=5，特征向量P1 =1,P2 =0 , P3 =10e3r 0 0 11/411,取 p=1/V201-1/V2 0012即为正交矩阵，有1 210 0、P，AP = 0 2 0。)<0 0 5丿001110.设A= x 1 y有三个线性无关的特征向量，求x与y应0 0 一满足的条件)(»-E - A = -x-10-12K-1_y =(扎 _1 )仏 +1) = 00 扎得到A的特征值为1 = '2=1，'3-1因此，=

24、1必有2个线性无关的特征向量，故r(E-A)=1_10-们10-11E A =-x0_y00_x _ y-1011 100011.已知二次型，有 x y = 0 )f (冬,*2，X3) = 4x23x3 4x1x4x1 x3 8x2x3，写出二1.次型f的矩阵表达式f 02(f = X TAX，其中 A =244X =5x2)-24-3>g丿n(n-1川|321的逆序数为n)()判断题:排列2. 设D为6阶行列式，贝S a 61 a52a43a34a25a16是d中带负号的项。( )3. 四阶行列式中含因子623的项为811823834342和a”a23a32a444.5.&7.&9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.若矩阵A满足A2 =0,则A=0若 A2 二 B2，贝卩 A = B 或 A =