概率第四章课件(三)

1、第四章 随机变量及其分布四、连续型随机变量四、连续型随机变量( )( )xttF xfd ,使得使得),( 对于随机变量对于随机变量 X ,如果存在非负可积函如果存在非负可积函数数f ( x) , x 则称则称 X 为连续型随机变量为连续型随机变量 ， 称称 f (x)为为 X 的概率密度函数，简称为的概率密度函数，简称为密度函数密度函数.这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f (x) 是否为某是否为某 X 的的概率密度函数的充要条件概率密度函数的充要条件.概率密度函数的性质概率密度函数的性质1 o0)(xf2 o1)(dxxf1 kkp3()( )( )P aXbF bF a

2、。 f (x)xoxabyo f (x) xdttfxF)()(1( )bf x dx bb( )( )abaf x dxf x dx xdttfxF)()(,使得使得),( 对于随机变量对于随机变量 X ,如果存在非负可积函如果存在非负可积函数数f ( x) , x 称称 X 为连续型随机变量为连续型随机变量 ， 称称 f (x)为为 X 的概的概率密度函数，简称为密度函数率密度函数，简称为密度函数.( )1f x dx ()( )( )P aXbF bF a ( )baf x dx 对对 f ( x)的进一步理解的进一步理解:1)()( ),()()(),(),xF xf t dt F x

3、FxfxfxF x 称称为为上上限限函函数数在在（ ）连连续续点点成成立立必必连连续续 其其图图形形是是一一条条连连续续曲曲线线 。ox 1)(xF1 3/2 611 2 3 xxxdttfxxXxP )()(.)(.,)(近近取取值值的的概概率率大大小小点点附附在在的的大大小小可可以以反反映映出出的的密密集集程程度度点点概概率率分分布布在在而而是是的的概概率率不不是是xXxfxXxXxf 2)若若x是是 f (x)的连续点，的连续点，)(10)(1lim)(1lim)(lim000 xfxxxfxdttfxxxxXxPxxxxxx 3. ()( )baP aXbf x dx 要注意的是，密度

4、函数要注意的是，密度函数 f (x)在某点处在某点处a的的高度，并不反映高度，并不反映X 取值的概率取值的概率. 但是，这个但是，这个高度越大，则高度越大，则X 取取 a 附近的值的概率就越大附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度率集中在该点附近的程度. f (x)xo即：即：, 0)( aXPa为任一指定值为任一指定值这是因为这是因为)(lim)(0 xaXaPaXPx xaaxdxxf )(lim00 连续型随机变量取任一指定值的概率为连续型随机变量取任一指定值的概率为0.需要指出的是需要指出的是:3.()

5、( )baP aXbf x dx 0()lim()xP XxP xXxx 0lim()( )xF xxF x ( )dF x *()( )( )P XxdF xf x dx ( )( )f xxF xx如如果果在在 点点连连续续，则则在在点点 可可导导一一元元函函数数在在某某点点可可导导与与可可微微是是一一回回事事对连续型随机变量对连续型随机变量)()(bXaPbXaP)(bXaP)(bXaP由由P(A)=0, 不能推出不能推出 A由由P(B)=1, 不能推出不能推出 B =称称A为为几乎几乎不可能事件，不可能事件，B为为几乎几乎必然必然事件事件.:102( )0;( );(1.52.5).X

6、kxxf xk F xPX 例例 已已知知连连续续型型随随机机变变量量的的概概率率密密度度是是其其他他求求 1)(dxxf.21 k222001(1)()222kkxdxxxk (1.52.5)PX 22.51.521(1)02xdxdx1.16 00 xdx 0 x 002010(1)21(1)24xxdxxdxxxdxx 02x02022010(1)021(1)12xdxxdxdxxdx 2x xdxxfxF)()( 其其他他020121)(xxxf( )F x ) 5 . 145 . 1(1) 5 . 1 () 5 . 2() 5 . 25 . 1 (2 FFP 200( )02412x

7、xF xxxx 20重要的连续型随机变量重要的连续型随机变量（1）若）若 X 的概率密度为：的概率密度为：则称则称X 服从区间服从区间( a, b )上的均匀分布，上的均匀分布，记作：记作： X R(a, b) 它的实际背景是：它的实际背景是： X 取值在区间取值在区间(a, b) 上，上，并且取值在并且取值在(a, b) 中任意小区间内的概率与这个中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，与小区间的位置无关小区间的长度成正比，与小区间的位置无关.)(xfab1,( )0 ,axbbaf x 其其它它()( )dcP cXdf x dx dc 公交线路上两辆公共汽车前后通过某公交线路上两辆

8、公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等. .均匀分布常见于下列情形：均匀分布常见于下列情形：均匀分布的分布函数，看书均匀分布的分布函数，看书p.411 o0)( xf2 o 1)(dxxf容易证明：容易证明：1,( )0,axbf xba 其其它它)(11ababdxabba 例例1 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7时起，每时起，每15分分钟来一班车，即钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间间 X 是是7:00 到到 7:30 之间的均

9、匀随机变量之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于试求他候车时间少于5 分钟的概率分钟的概率.依题意，依题意， X R ( 0, 30 ) 以以7:00为起点，以分为单位为起点，以分为单位 其其它它, 0300,301)(xxf 为使候车时间为使候车时间X 少于少于 5 分钟，乘客必须在分钟，乘客必须在 7:10 到到 7:15 之间，或在之间，或在7:25 到到 7:30 之间到达车站之间到达车站.所求概率为：所求概率为：从上午从上午7时起，每时起，每15分钟来一班车，即分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，等时刻有汽车到达汽车站，10152530PXPX 其

10、其它它, 0300,301)(xxf1530102511303013dxdx 即乘客候车时间少于即乘客候车时间少于5 分钟的概率是分钟的概率是1/3. 则称则称 X 服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布.记作记作X E（） 指数分布常用于可靠性统计研究中，指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命如元件的寿命.（2）若）若 X 具有概率密度具有概率密度 000)(xxexfx 0 0000 xxtXxF xf tdtedtx 的的分分布布函函数数：（ ）（ ）指数分布指指数数分分布布的的分分布布函函数数为为 . , 00 ,e1其他，xxFx指数分布的概率密度及分布函数分别如图所示指数分布的概率密度及分布函数分别如图所示 1 o0)( xf2 o 1)(dxxf容易证明：容易证明： 000)(xxexfx 001xxedxe 例例3 3()1/1000,31000X已知某种电子元件寿命单位：h 服从参数的指数分布 求 个这样的元件使用小时至少有一个已损坏的概率。解：解：的概率密度为X . 0 , 0, 0 ,e1000110