概率论与数理统计期末习题

1、概率论与数理统计期末习题概率论与数理统计期末习题2015.06.01第四章 随机变量的数字特征第五章 大数定律集中心极限定理第六章 样本及抽样分布第七章 参数估计目录目录第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征u4.（1）设随机变量X的分布律为 说明X的数学期望不存在。u （2）一盒中装有一只黑球，一只白球，作摸球游戏，规则如下：一次从盒中随机摸一只球，若摸到白球，则游戏结束；若摸到黑球放回再放入一只黑球，然后再从盒中随机地摸一只球，试说明要游戏结束的摸球次数X的数学期望不存在。u解：(1)因级数 不绝对收敛，按定义X的数学期望不存在。 (2)以 记事件“第k次摸球摸到黑球”，以 记

2、事件“第k次摸球摸到白球”，以 表示事件“游戏在第k次摸球时结束”，k=1,2,.依题意得,.,2 , 1,323) 1(1jjXPjjj1111111) 1(232*3) 1(3) 1(3) 1(jjjjjjjjjjjjjjXPjkAkAkCkkkAAAAC121.)()().().()(1122211121APAAPAAAAPAAAAPCPkkkkkuX=k时，盒中共有k+1只球，其中只有一只白球，故 若E(X)存在，则它等于 ，但 故X的数学期望不存在。kkkkkkkAPAAPAAAAPAAAAPAAAPkXPkkkkkk1112132.12111)()().().().()(11222

3、11121111)(kkXkP11111111)(kkkkkkkkXkPu6.(1)设随机变量X的分布律为 求E(X),E( ), E( )u (2)设 求u解：(1) (2)因 故2X532X),(X)11(XE4 .135)(3)53(8 . 23 . 023 . 004 . 0)2()(2 . 03 . 023 . 004 . 0)2()(222222XEXEXEXE),(X!kekXPk)1 (1) 1() 1!()!()!1()!1(!1111)11(0101000eeejejekekekekkXPkXEjjjjkkkkkkku7.(1)设随机变量X的概率密度为 求Y=2X;Y= 的

4、数学期望。u (2)设随机变量 相互独立，且都服从（0,1）上的均匀分布，求u 和 的数学期望u解：(1)由关于随机变量函数的数学期望的定理，知u (2)因 的分布函数为 因 相互独立，故 的分布函数为000)(xxexfxxe2nXXX,.,21,.,max21nXXXU ,.,min21nXXXV 31)()()(2)(2)2()(22dxxfeeEYEdxxxfXEYExxiiXniUX,.,2 , 1),1 , 0(1, 110 ,0, 0)(xxxxxFnXXX,.,21,.,max21nXXXU 1, 110 ,0, 0)(uuuuuFnUuU的概率密度为u 的分布函数为uV的概率

5、密度为其他, 010 ,)(1unuufnU1011)()(nndunuuduuufUEnU,.,min21nXXXV 1, 110 ,)1 (10, 0)(vvvvvFnV其他, 010 ,)1 ()(1vvnvfnV10111)1 ()()(ndvvnvdvvvfVEnVu9.(1)设随机变量(X,Y)的概率密度为 求E(X),E(Y),E(XY),u E( )u (2)设随机变量X,Y的联合密度为 求E(X),E(Y),E(XY)u解：(1)其他, 010 ,12),(2xyyyxf22YX 其他, 00, 0,1),()/(yxeyyxfyxy 10022541212),()(xGdy

6、xydxdxdyyxdxdyyxxfXE10032531212)(xGdyydxdxdyyyYE10032211212)(xGdyxydxdxdyyxyXYE100422222221516)(1212)()(xGdyyyxdxdxdyyyxYXEu(2)1)()(000/0)/(0dyedyyxdxeedxdyeyxXEyyxyyxy1)(000/0)/(0dyedydxeedxdyeYEyyxyyxy2)3()(0200/0)/(0dyeydydxxeedxdyexXYEyyxyyxy!)() 1()21(, 1) 1 (),() 1(, 0,)(01nnnndxexx注：u14.设随机变量

7、 的概率密度分别为 u(1)求u(2)又设 相互独立，求u解:若X服从以 为参数的指数分布，其概率密度为u u 故u (1) u (2)因为 相互独立，u 21,XX0, 00,2)(21xxexfx0, 00,4)(42xxexfx)32(),(22121XXEXXE21, XX)(21XXE其他, 00,1)(/xexfx2222)()(,)(XEXDXE81)41(2)(,41)(,21)(22221XEXEXE85)(3)(2)32(43)()()(2212212121XEXEXXEXEXEXXE21, XX81)()()(2121XEXEXXEu17.设X为随机变量，C为常数，证明

8、,对于 .（由于u ,上式表明 当C=E(X)时取到最小值。）u证：u等号仅当C=E(X)时成立。)()(2CXEXD)(XEC )()(2XEXEXD)(2CXE)()()()(2)()()()(2)()2()(2222222222XDCXEXDCXCEXEXEXECXCEXECCXXECXEu20.设随机变量X服从几何分布，其分布律为 其中u0p1是常数，求E(X),D(X).u解：因为：u 两边对x求导得：u 两边对x求导得：,.,2 , 1,)1 (1kppkXPnppppnppnpnXnPXEnnnnn1)1 (1 1)1 ()1 ()(2111111.,.1112xxxxxk1.,

9、.321)1 (1122xkxxxxk231112)1 (1 2)1)(1() 1()1(ppppnnpnXPnnXXEnnn1.,) 1(.3221)1 (223xkxkxxk222221)()()1()() 1()()()(ppXEXEXXEXEXXXEXEXEXDu23.五家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量分别为u已知 u相互独立。u(1)求五家商店两周的总销售量的均值和方差。u(2)商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存多少千克该产品？u解：以Y记为五家商店该种产品的总销售量，即u(1)按题设 相互独立且均服从正态分布

10、，即有54321,XXXXX5432154321,),270,320(),265,260(),225,180(),240,240(),225,200(XXXXXNXNXNXNXNX54321XXXXXY)5 , 4 , 3 , 2 , 1( iXi1225270265225240225)()(1200320260180240200)()(5151iiiiXDYDXEYEu(2)设仓库应至少储存n kg该产品，才能使该产品不脱销的概率大于0.99，按题意，n应满足条件u由于 故有u因而上述不等式即为u从而u即需取n=1282 kg.99. 0 nYP),35,1200(2NY)351200(35

11、1200351200nnYPnYP)33. 2(99. 0)351200(n55.128133. 2351200nnu24.卡车装运水泥，设每袋水泥重量X服从 ,问至多装多少袋水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05.u解：设至多能装运n袋水泥，各袋水泥的重量分别为 ，则u故卡车所装运水泥的总重量为u按题意n需满足u对于像这样的实际问题，认为 相互独立是适宜的，此时u 于是，u从而，u即un至多取39.)5 . 2 ,50(2NnXXX,.,21niNXi,.,2 , 1),5 . 2 ,50(2nXXXW.2105. 02000WPnXXX,.,21nWDnWE25 . 2)(,50)(

12、)5 . 2 ,50(2nnNW)645. 1 (105. 0)5 . 2502000(12000nnWP483.39645. 15 . 2502000nnnu27.下列各对随机变量X和Y，问哪几对是相互独立的？哪几对是不相关的？u解：(1)其他其他的概率密度为若, 010 , 10 ,2),()5(, 010 , 10 ,),()4(),(),()2 , 0(,sin,cos)3(),1 , 1()2(),1 , 0() 1 (22yxyyxfyxyxyxfyxfYXUVVYVXXYUXXYUX不相互独立，相关故YXYEXEXYEYXCovdxxXEXYEdxxXEYEXE,0)()()()

13、,(41)()(,31)()(,21)(01330122u(2)u(3)不相互独立，不相关故YXYEXEXYEYXCovdxxXEXYEdxxXEYEXE,0)()()(),(021)()(,3121)()(, 0)(01331122不相互独立，不相关故YXYEXEXYEYXCovdVEVVEXYEdYEdXE,0)()()(),(02sin2121)2(sin21)sin(cos)(0sin21)(, 0cos21)(202020u(4)不相互独立，相关故不相互独立，在平面上几乎处处相等，与其他其他其他YXYEXEXYEYXCovdxdyyxxyXYEYEdxxxXEYXyfxfyxfyyd

14、xyxyfxxdyyxxfyxyxyxfYXYX,0)()()(),(31)()(127)(,127)21()(,)()(),(, 010 ,21)()(, 010 ,21)()(, 010 , 10 ,),(1010101010 u(5)相互独立，不相关故其他其他其他YXyfxfyxfyyyfxxfyxyyxfYXYX,),()(),(, 010 ,2)(, 010 , 1)(, 010 , 10 ,2),(u33.设随机变量 且设X,Y相互独立，试求u的相关系数。u解：),(),(22NYNXYXZYXZ21和222221222222222222221222222221)()()()(),

15、(2)()()()()(),(2)()()()()()()(),(),(),(),(),(),(21ZDZDYXCovYDXDYXDZDYXCovYDXDYXDZDYDXDYYCovXYCovYXCovXXCovYXYXCovZZCovZZ故而u34.(1)设随机变量u求常数 使E(W)为最小，并求E(W)的最小值。u (2)设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且有 证明当u随机变量 相互独立。u解：(1)u (2)因为(X,Y)是二维正态变量，而W与V分别为X,Y的线性组合，故由n维正态随机变量的性质3知(W,V)也为二维正态变量，现在 ，故知有5 . 0,16)(, 4)(, 0)()(

16、,)3(2XYYDXDYEXEYXW,)(,)(22YXYDXD222/YXYXVYXW,为最小值。时，故当）（故108)(31083-414424-4)(4)()()()(),()(16)()()(4)()()()(9)(6)()3()(2222222222WEWEYDXDYEXEYXCovXYEYEYDYEXEXDXEYEXYEXEYXEWEXY222/YXu即知W,V不相关，又因(W,V)是二维正态变量，故知W与V是相互独立的。0),(),(),(),(2222YXYYCovXXCovYXYXCovVWCov第五章第五章 大数定律集中心极限定理大数定律集中心极限定理u4.设各零件的重量都

17、是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg,均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少。u解：以记第i个零件的重量，以W记5000个零件的总重量：u 按题设 ，由中心极限定理，可知u 近似服从N(0,1)分布，故求概率为50001iiWX2(X )0.5,D(X )0.1iiE5000 0.55000 1W W25101W2510PP 5000 0.525105000 0.515000 15000 1WP 25105000 0.51()1( 2)5000 1 =1-0.9213=0.0787u8.一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所

18、组成，在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10，为了使整个系统起作用，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率。u解：将观察一个部件是否正常工作看成解：将观察一个部件是否正常工作看成 一次实验，由于各部件是否正常工一次实验，由于各部件是否正常工作是相互独立的，因而观察作是相互独立的，因而观察100100个部件是否正常工作是做个部件是否正常工作是做100100重伯努利实验，重伯努利实验，以以X X表示表示100100个部件中正常工作的部件数，则个部件中正常工作的部件数，则Xb(100,0.9)Xb(100,0.9)，按题设需求，按题设需求概率概率u由棣莫弗由棣莫弗-拉普拉斯定理知拉

19、普拉斯定理知 近似地服从标准正态分布近似地服从标准正态分布N(0,1),N(0,1),故故85XP1 . 09 . 01009 . 0100XX8585X85 100 0.9100 0.9100 0.9 0.1100 0.9 0.1100 0.9100 0.9 0.151()0.95253PPXP 第六章第六章 样本及抽样分布样本及抽样分布u2.在总体N(12,4)中随机抽一容量为5的样本 .(1)求样本均值和总体均值之差的绝对值大于1的概率。(2)求概率u解：(1)54321,XXXXX.10,min,15,max5432154321XXXXXPXXXXXP511,(12 4)(12 4),

20、5iiXXXNXN因总体，故， 从而12111211 112111211444555111 ()()22(1.12)44552(1 0.8686)0.2628P XP XPXXP u3.求总体N(20,3)的容量分别为10，15的两个独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。u解：将总体N(20,3)的容量分别为10,15的两独立样本的均值分别记为u则YX,，从而)15/3 ,20(),10/3 ,20(NYNX6744. 0)42. 0(222/13 . 02/12/13 . 013 . 013 . 0)2/1 , 0(),15/310/3 ,2020(YXPYXPYXPPNYXNYX股所求概

21、率为即u5.(1)已知某种能力测试的得分服从正态分布，随机取10个人参与这一测试，求他们得分的联合概率密度，并求这10个人得分的平均值小于u的概率u (2)在(1)中设 ，若得分超过70就能得奖，求至少有一人得奖的概率。u解：(1)10个人的得分分别记为 ，它们的联合概率密度为25,6221021,.,XXX2/1)0()10/()10,(10121),.,(21012)(101102122XPNXXexxxfiixiiu(2)若一人得奖的概率为p，则得奖人数Yb(10,p).此处p是随机选取一人，其考分X在70分以上的概率，因XN(63,25),故431. 0)1 (110548. 0)6

22、. 1 (1)56270(17017010pYPXPXPp至少一人得奖的概率为u9.设在总体 中抽得一容量为16的样本，这里均值方差均未知。u(1)求 ,其中 为样本方差u(2)求u解：(1)因为 ，现在n=16，即有 ，故有u (2)由 ，得),(2N99. 001. 01,578.30)15(615.30/151615.30/15041. 215/15041. 2/201. 0222222222pSPSPSPSPp从而知分布表得查041. 2/22SP2S)(2SD) 1() 1(222nSn)15(15222S)15(15222S152)(,30)(1530152)15(4224222S

23、DSDSD即第七章第七章 参数估计参数估计u6.一地质学家研究密歇根湖湖滩地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这100次观察相互独立，并且由过去经验知，它们都服从参数为m=10，p的二项分布，p是这地区一块石子是石灰石的概率，求p的最大似然估计值。该地质学家所得数据如下：u解：设X为一个样品中属于石灰石的石子数，则b(10,p),p的最大似然估计值u有给出的数据得10 xp 499. 01099. 499. 4)100.1100(1001px于是u7.(1)设 是来自总体X的一个样本，且 求PX=0的最大似然估计值。u (2

24、)某铁路局证实一个扳道员在五年内引起的严重事故的次数服从珀松分布。求一个扳道员在五年内未引起严重事故的概率p的最大似然估计。使用下面122个观察值。下表中，r表示一扳道员五年中引起严重事故的次数，s表示观察到的扳道员人数。u解：(1)设 是相应于样本 的样本值。本题需求u u 的最大似然估计值。nXXX,.,21)(Xnxxx,.,21nXXX,.,21eeXP! 000u由第4题知 的最大似然估计值 ，又由于函数 具有单值反函数；u ，由最大似然估计的不变性知 的最大似然估计值为u(2)由所给的数据，得u由(1)知，扳道员五年内未引起严重事故的概率 的最大似然估计值为x euulneXP0 xeXP 0122137)52.142044(122112211221iixxxeXP 03253. 00122/137eeXPpxu14.设从均值为u，方差为大于0的总体中分别抽取容量为 的两独立样本。u分别为两样本的均值，试证：对于任意常数a,b(a+b=1), 都是u的无偏估计，并确定常数