《解析几何》：对称问题

1、探究探究“解析几何中点、线解析几何中点、线对称问题对称问题”对称问题对称问题中心对称问题中心对称问题点关于点的对称点关于点的对称线关于点的对称线关于点的对称轴对称问题轴对称问题点关于线的对称点关于线的对称线关于线的对称线关于线的对称点点P(x,y)关于下列点或线的对称点分别为：关于下列点或线的对称点分别为：关于原点关于原点:_; 关于关于x轴轴:_;关于关于y轴轴: _; 关于直线关于直线y=x:_;关于直线关于直线y=-x:_; 关于直线关于直线x=a:_.直线直线 f (x,y)=0关于下列点或直线对称的直关于下列点或直线对称的直线方程分别为：线方程分别为：关于原点关于原点:_; 关于关于

2、x轴轴:_;关于关于y轴轴: _; 关于直线关于直线y=x:_;关于直线关于直线y=-x:_; 关于直线关于直线x=a:_.(-x,-y)(x,-y)(-x,y)(y,x)(-y,-x)(2a-x,y)f (-x,-y)=0f (x,-y)=0f (-x,y)=0f (y,x)=0f (-y,-x)=0f (2a-x,y)=0设直线设直线则则 关于轴对称的直线是关于轴对称的直线是关于轴对称的直线是关于轴对称的直线是关于对称的直线是关于对称的直线是关于对称的直线是关于对称的直线是llll0:CByAxlxyxy xy 0)( CyBAx0)( CByxA0 CAyBx0)()( CxByA例例1

3、. 已知点已知点A(5,8) ，B(4 ，1) ，试求，试求A点点 关于关于B点的对称点点的对称点C的坐标。的坐标。一、点关于点对称一、点关于点对称解题要点：解题要点：中点公式的运用中点公式的运用A(x0,y0)一般地，点一般地，点 A(x0,y0)关关于点于点 例例2.求直线求直线l 1 : 3x-y-4=0关于点关于点P(2,-1)对称的对称的直线直线l 2的方程。的方程。二、直线关于点对称二、直线关于点对称 法一：法一： l 2上的任意一点的对称点在上的任意一点的对称点在l 1上上 f (x,y)=0M(x,y)法二：法二： l 1 / l 2且且P到两直线等距。到两直线等距。例例3.已

4、知点已知点M的坐标为的坐标为(-4,4)，直线，直线l 的方的方 程为程为3x+y-2=0,求点求点A关于直线关于直线l 的的 对称点对称点M的坐标。的坐标。 三、点关于直线对称三、点关于直线对称解题要点：解题要点： k kMM = -1 MM中点在中点在l 上上 l例例4. 试求直线试求直线l1:x-y-2=0关于直线关于直线 l2:3x-y+3=0 对称的直线对称的直线l 的方程。的方程。四、直线关于直线对称四、直线关于直线对称解题要点：由线关于线对称转化为点关于点对称解题要点：由线关于线对称转化为点关于点对称思考：思考：若若l1/l2, 如何求如何求l1 关于关于l2的对称直线方程？的对

5、称直线方程？C1lC2l1l2l1轴对称应用轴对称应用例：例：已知已知ABC的顶点的顶点A（4, 1）,B（4, 5）,角角B的内角平分线的内角平分线BE所在直线的方程为所在直线的方程为 ，求，求BC边所在直线方程。边所在直线方程。01 yxB(-4,-5)A(4,-1)M（0,3）xyOE解决三角形中的角平分线问题解决三角形中的角平分线问题一、点关于点对称一、点关于点对称二、点关于直线对称二、点关于直线对称三、直线关于点对称三、直线关于点对称四、直线关于直线对称四、直线关于直线对称五、交点问题五、交点问题六、定点问题六、定点问题七、反射问题七、反射问题两条直线的位置关系两条直线的位置关系 -

6、对称对称变式：变式：ABC的一个顶点是的一个顶点是A（3，-1），）， B, C的内角平分线所在的直线方程分的内角平分线所在的直线方程分别为别为x=0和和y=x,求顶点求顶点B、C坐标坐标。xyOxy 0 xA（3,-1）A1(-3,-1)A2(-1,3)B(0,5)C(-5,-5)y=2x+5：一条光线经过点一条光线经过点P（2，3），射到直线），射到直线x+y+1=0上，反射后，穿过点上，反射后，穿过点Q（1，1），求），求光线的入射线和反射线的方程。光线的入射线和反射线的方程。xyOx+y+1=0P(2,3)Q(1,1) 31,32SR(-4,-3)32( 0245 xyx)32( 0154 xyx解决物理光学方面的问题解决物理光学方面的问题例例3：光线从点光线从点P（3，4）射出，到达）射出，到达x轴上轴上的点的点Q后，被后，被x轴反射到轴反射到y轴上的点轴上的点M ，又被，又被y轴轴反射，这时反射光线恰好经过点反射，这时反射光线恰好经过点D（1，6），），求求QM所在直线方程。所在直线方程。xOP(-3,4)D(-1,6)yD(1,6)P(-3,-4)M