3.3.2利用导数研究函数的极值与最值ppt课件

1、13.3.2；利用导数求函数的极值与最值；利用导数求函数的极值与最值高二数学高二数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用2aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0,那么函数那么函数y=f(x) 在为这个区间内在为这个区间内 的增函数的增函数;如果在这个区间内如果在这个区间内f/（x）0 得得f(x)的单调的单调递增区间递增区间; 解不等式解不等式 f/（x）0 (x+4)(x-2)0 x2f(x)在在(-4，2)内单调递减。内单调递减。f (x)0 (x+4)(x-2)0 -4x0单调递减单调递减f(x)0f (-4)0(1)当当x=-4时函数的

2、函数值最大，时函数的函数值最大，f(x)在此点的导数是多少呢？在此点的导数是多少呢？(2)当当x-4时时f(x)的单调性是怎样的呢？的单调性是怎样的呢？将最高点附近放大将最高点附近放大x=-4x-4axfo最高点最高点导数的符号有什么变化规律？导数的符号有什么变化规律？在x=-4附近，f(x)先增后减，先增后减，f (x)先正后负，先正后负，f(x)连续变化，于是有连续变化，于是有f (-4)=0f(-4)最大。最大。对于一般函数是否也有同样的性质吗？对于一般函数是否也有同样的性质吗？7o oa aX X1 1X X2 2X X3 3X X4 4b bx xy y)(4xf)(1xf 如图，函

3、数如图，函数 y=f（x）在）在x1，x2，x3，x4等点的等点的 函数值与这些点附近的函函数值与这些点附近的函数值有什么关系？数值有什么关系？ Y=f（x）在这些点的导数值是多少？在这些点附近，）在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f（x）的导数的符号有什么规律？）的导数的符号有什么规律？2.探索思考：探索思考：8 从而我们得出结论从而我们得出结论: 若若x0满足满足 f/(x)=0,且在且在x0的两侧的导数异号的两侧的导数异号,则则x0是是f(x)的极值的极值点点,f(x0)是极值是极值,并且如果并且如果 f/(x) 在在x0两侧满足两侧满足“左正右负左正右负”,则则x0是是f(x)

4、的极大值点的极大值点,f(x0)是是极大值极大值;如果如果 f/(x) 在在x0两侧满足两侧满足“左负右正左负右正”,则则x0是是f(x)的极小值点的极小值点,f(x0)是极小值是极小值.极极大值与极小值统称为极值大值与极小值统称为极值. 从曲线的切线角度看从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为曲线在极值点处切线的斜率为0,并且并且,曲线在极大值点左侧切曲线在极大值点左侧切线的斜率为正线的斜率为正,右侧为负右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正右侧为正.9学案上题学案上题探究探究3.(1) 如图，如图，y=f(x)在在a、b等点的函数值与这

5、些点附近的函数值等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？有什么关系？导数值呢？导数符号呢？c a b f o g h I j xy10一、复习导入一、复习导入-导入新课导入新课3.(2) 如图，如图，y=f(x)在在a、b点的函数值点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？导数值呢？导数符号呢？探究探究xyoaby-=f(x)xyoaby-=f(x)( )fx( )fx( )f x000极小值点极小值点极大点极大点f (a)=0f (b)=011-2-11234567abxyO( )0fa0)( bf()0fax0

6、)(xbf()0fax0)(xbf0 x 一般地一般地, 设函数设函数 f (x) 在在点点x0附近有定义附近有定义, 如果对如果对x0附附近的所有的点近的所有的点, 都有都有0( )()f xf x我们就说我们就说 f (x0)是是 f (x)的一个极大值的一个极大值, 点点x0叫做函数叫做函数 y = f (x)的极大值点的极大值点. 反之反之, 若若 , 则称则称 f (x0) 是是 f (x) 的一个极小值的一个极小值, 点点x0叫做函数叫做函数 y = f (x)的的极小值点极小值点.0( )()f xf x 极小值点、极大值点统称为极值点极小值点、极大值点统称为极值点, , 极大值

7、和极小值统称为极值极大值和极小值统称为极值. .一、极值一、极值12 yxO探究：极值点处导数值探究：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？即切线斜率）有何特点？结论结论:极值点处，如果有切线，切线水平的极值点处，如果有切线，切线水平的.即即: f (x)=0aby f(x)x1 x2x3f (x1)=0 f (x2)=0 f (x3)=0 思考思考;若若 f (x0)=0，则，则x0是否为极值点？是否为极值点？x yO分析yx3是极值点吗？）（处，在，得由0, 0003)( ,)(23xfxxxfxxf13v若寻找可导函数极值点若寻找可导函数极值点,可否只由可否只由f (x)=0 0求得求得

8、即可即可? ?思考思考探索探索: x =0是否为函数是否为函数f(x)=x3的极值点的极值点?x yOf ( (x) ) x3 3 f (x)=3x2 当f (x)=0时，x =0，而x =0不是该函数的极值点.f (x0) =0 =0 x0 是可导函数是可导函数f(x)的极值点的极值点 x0左右侧导数异号左右侧导数异号 x0 是函数是函数f(x)的极值点的极值点 f (x0) =0=0注意：注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件14进一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点?极大值极大值极小值极小值即即: 极值点两侧单调性互异极值点两侧单调性互

9、异15练习练习1 下图是导函数下图是导函数 的图象的图象, 试找出函数试找出函数 的极值点的极值点, 并指出哪些并指出哪些是极大值点是极大值点, 哪些是极小值点哪些是极小值点.)(xfy)(xfy abxyx1Ox2x3x4x5x6( )yfx16因为因为 所以所以例例1 求函数求函数 的极值的极值.31( )443f xxx解解:, 4431)(3xxxf. 4)(2xxf令令 解得解得 或或, 0)( xf, 2x. 2x当当 , 即即 , 或或 ;当当 , 即即 .0)( xf0)( xf2x2x22x当当 x 变化时变化时, f (x) 的变化情况如下表的变化情况如下表:x(, 2)2

10、(2, 2)2( 2, +)00f (x) ( )fx+单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增3/283/4所以所以, 当当 x = 2 时时, f (x)有极大值有极大值 28 / 3 ;当当 x = 2 时时, f (x)有极小值有极小值 4 / 3 .17例题4图像-2oxy2+-+28/3-4/3f(x)=1/3 x3-4x+4181yxxxX1+0-0+( )fx( )f x所以，当所以，当x=-1是，函数的极大值是是，函数的极大值是-2，当，当x=1时，函数的极小值是时，函数的极小值是21,0 xxx解：f(x)=所以导函数的正负是交替出现的吗？不是不是22211( )1

11、xfxxx ，( )01fxx 时，x当 变化时，f(x),f(x)变化如下表极大值极大值极小值极小值19求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定函数的定义域）确定函数的定义域（2）求方程）求方程f(x)=0的根的根（3）用方程）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（4）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况 若若f (x)左正右负，则左正右负，则f(x)为极大值；

12、为极大值； 若若 f (x)左负右正，则左负右正，则f(x)为极小值为极小值+-x0-+x0求导求导求极点求极点列表列表求极值求极值20 在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题 函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？二、最值二、最值 极值是一个局部概念，极

13、值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小或最小, ,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。21知识回顾知识回顾 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实数，如果存在实数M满足：满足： 1最大值最大值: : （1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的最大值的最大值 2最小值最小值: 一般地，设函数一般地，设函数y=f

14、(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实数，如果存在实数M满足：满足： （1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的最小值的最小值 22观察下列图形,你能找出函数的最值吗？xoya x1b y=f(x)x2x3x4x5x6xoya x1b y=f(x)x2x3x4x5x6),(baxbax,在开区间内的连续函在开区间内的连续函数不一定有最大值与数不一定有最大值与最小值最小值. 在闭区间上的连续在闭区间上的连续函数必有最大值与最函数必有最大值与最小值小值因此：该函数没有因此：该函数没有最

15、值。最值。f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3)23xoya x1b y=f(x)x2x3x4x5x6如何求出函数在如何求出函数在a,b上的最值？上的最值？一般的如果在区间，一般的如果在区间，a,b上函数上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。那么它必有最大值和最小值。24 教材教材p98p98练习练习A1A125 观察右边一个定义在区间观察右边一个定义在区间a,b上上的函数的函数y=f(x)的图象：的图象：发现图中发现图中_是极小值，是极小值，_是极大值，在区间上的函数的最是极大值，在区间上的函数的最大值是大值是_，

16、最小值是，最小值是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3) 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，是最小值，而而f(b)是最大值呢？是最大值呢？ x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y yy=f(x)26 (2) 将将y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)(端点处端点处) 比较比较,其中最大的一个为最大值，最小的其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值一个最小值. 求求f(x)在闭区间在闭区间a,b上的最值的步骤：上的最值的步骤：(1) 求求f(x)在区

17、间在区间(a,b)内极值内极值(极大值或极小值极大值或极小值)； 新授课新授课注意注意:1.在定义域内在定义域内, 最值唯一最值唯一;极值不唯一极值不唯一2.最大值一定比最小值大最大值一定比最小值大.27求函数的最值时求函数的最值时,应注意以下几点应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而而函数的最值是对整个定义域而言言,是在整体范围内讨论问题是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念是一个整体性的概念.(2)闭区间闭区间a,b上的连续函数一定有最值上的连续函数一定有最值.开区间开区间(a,

18、b)内的可导函数不一定有最值内的可导函数不一定有最值,但若有唯但若有唯一的极值一的极值,则此极值必是函数的最值则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个而函数的极值则可能不止一个,也也可能没有极值可能没有极值,并且极大值并且极大值(极小值极小值)不一定就是最大值不一定就是最大值(最小值最小值).28例例3:求函数求函数y=x4-2x2+5在区间在区间-2,2上的最大值与最小值上的最大值与最小值.解解:.443xxy 令令 ,解得解得x=-1,0,1.0 y当当x变化时变化时, 的变化情况如

19、下表的变化情况如下表:yy , x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y -0 +0 -0 +y13 4 5 4 13从上表可知从上表可知,最大值是最大值是13,最小值是最小值是4.题型：求函数的最大值和最小值题型：求函数的最大值和最小值29函数的性质函数的性质单调性单调性单调性的判别法单调性的判别法单调区间的求法单调区间的求法函数极值函数极值函数极值的定义函数极值的定义函数的极大值与极小值统称为极值函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点.函数极值的求法函数极值的求法oxy0 xoxy0 x必要条件必要条件xyoxyo0

20、 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤:1.求导，求导，2.求极点，求极点，3.列表，列表，4.求极值求极值xyo)(xfy abABxyo)(xfy abBAf (x)0单调弟增单调弟增f (x)0单调递减单调递减1.求导，求导，2.求临界点求临界点3. 列表，列表，4.单调性单调性小结小结30练习练习1求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf.3)( )4( ;126)( )3(33xxxfxxxf解解: , 112)( ) 1 (xxf令令 解得解得 列表列表:, 0)( xf.121xx0f (x)( )fx+单调递增单调递增单调

21、递减单调递减 )121,(),121(1212449所以所以, 当当 时时, f (x)有极小值有极小值121x.2449)121(f31练习练习2求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf.3)( )4( ;126)( )3(33xxxfxxxf解解: , 0273)( )2(2xxf令解得解得 列表列表:. 3, 321xxx(, 3)3(3, 3)3( 3, +)00f (x) ( )fx+单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增5454所以所以, 当当 x = 3 时时, f (x)有极大值有极大值 54 ;当当 x =

22、3 时时, f (x)有极小值有极小值 54 .32练习练习2求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf.3)( )4( ;126)( )3(33xxxfxxxf解解: , 0312)( ) 3(2xxf令解得解得 . 2, 221xx所以所以, 当当 x = 2 时时, f (x)有极小值有极小值 10 ;当当 x = 2 时时, f (x)有极大值有极大值 22 ., 033)( )4(2xxf令解得解得 . 1, 121xx所以所以, 当当 x = 1 时时, f (x)有极小值有极小值 2 ;当当 x = 1 时时, f (x)有极大值有极大值 2 .33练习练习3：函数：函数 y = x + 3 x9x在在 4 , 4 上的最大值为上的最大值为 ,最小值为最小值为 .分析分析