混合物整体电导率和各成分电导率的关系

1、混合物整体电导率和各成分电导率的关系李剑浩( 大庆石油管理局测井公司 , 大庆 163412)摘 要 本文给出了混合物中电场方程的平均形式 , 在此基础上推导出了混合物整体电导率和各成分电导率的关系 , 并通过类比给出了混合物整体介电常数和各成分介电常数的关系 1-作为所得结果的应用 , 给出了岩石的电导率公式 1关键词 电场理论 , 混合物 , 电导率 , 介电常数 , 岩石揭示混合物整体电导率和各成分电导率的关系 , 是一项有重要理论意义和实用价值的工作 1 对于 各 成 分 电 导 率 变 化 量 小 于 各 成 分 电 导 率 平 均 值 的 混 合 物 , 这 种 关 系 已 经 得

2、 出11为了得出一般情况下的这种关系 , 就要对混合物的电性进行深入研究 1本文给出了混合物中电场方程的平均形式 , 在此基础上推导出了混合物整体电导率和各成分电导率的关系 , 并通过类比给出了混合物整体介电常数和各成分介电常数的关系 1 作为所得结果的应用 , 给出了岩石的电导率公式 , 并用实验资料验证了这个公式的正确 性 11基本方程的建立设混合物所在的区域为 v , v 中电场的变化仅由介质的非均匀性引起 1 在 v 中对欧姆定律 j =e 求平均得¯j = m ¯e( 1)式中 : m 是根据积分中值定理得出的混合物整体电导率 , 字母上面的符号 “ - ”表示在

3、v 中求平均值 , j 为电流密度 , e 为电场强度 , ¯e 和 e 的关系为e = ¯e + e式中 : e 为电场强度的变化量 1 将电导率 也表示为同样的形式 = ¯ + (2)( 3)式中 : 为电导率的变化量 1还有另一种表示法 = m + 1式中 : 1为电导率的另一种变化量 1设混合物的一种或几种成分所在的区域为 v , 在 v 中对欧姆定律求平均得< j > = m < e >( 4)( 5)式中 : m 是 v 中的等效电导率 , m 随着 v 的改变而改变 , 当 v 中只有一种成分时 , m 就是该种成分的电导率

4、1 式中字母两边的符号 “ < > ”表示在 v 中求平均值 1将式 (2) 和 (3) 代入欧姆定律求平均得¯j = (¯ + ) ( ¯e + ¯e) = ¯e + ¯e( 6)其中= 0 , e = 01 由式 (1) 和 (6) 得e =(m- ¯) ¯e(7)由此可见 , e只在 ¯e 的方向上才不为 01将式 (2) 和 (4) 代入电流的连续性方程 v ·j = 0 , 其中 v 为哈密顿算子 ,则有v ·( (m + 1) ( ¯e + e) )

5、= m v ·e + v ·(1e) + v ·(1e)= 0即m v ·e + v ·(1e)上式两端求梯度 , 注意到 v ×e = 0 , 则有m v 2e + v ( v ·(1e) )= - v ·(1¯e)( 8)= - v ( v ·(1¯e) )( 9)我们要研究式 (9) 在同种成分所在的区域 v 上求平均 , 即保持 1不变求平均 1 设点 q 只在点 p 所在的那种成分所占的区域 v 上变化 , r ¯p 和 r ¯p + r q¯

6、分别是点 p 和点 q 的位 置矢量 , 对任一物理量 w = w (r ¯p + r q¯ ) 在 v 上求平均1vvw ( r ¯ + r ) dr( 10)< w > =p q¯ q¯设 x i 是 r ¯p 的某一直角坐标分量 , 上式对 x i 求微分得 5 15/ 5 x i < w > = 5 x ( vw ( rp + rq ) d rq )vi15vv 5 x iw ( r + r ) d r=p q q5 w( 11)= < 5 x >i因此 , 利用式 (11)m v 2对式

7、(9) 在保持 1不变的情况下求平均得< e > + v ( v ·(1 < e > ) ) = - v ( v ·(1¯e) )( 12)不难证明 , < e > 只有在 ¯e 方向的分量才不为 0 , 而在正交于 ¯e 的另外两方向上的分量都为 01 将混合物中任意一种成分作为第一种成分 , 其电导率为 1 , 所在的区域为v 1 , 而把其它各种成分整体地看成第 2 种成分 , 其等效电导率为 m , 所在的区域为 v m 1设 ¯e 沿 x 方向 , 记e 的 y 方向的分量ey 在 v 1

8、 中的平均值为 < ey > 1 ,在 v m 中的平均值为 < ey > m , 根据e = 0 和式 (5) 、(7) 得v 1 < eyv 11 < ey> 1 + v m < ey > m = 0> 1 + v mm < ey > m = 0( 13)( 14)由此得(1 - m ) v 1 < ey > 1 = 0( 15)一般来说 1 m , 所以< ey > 1 = 0同理可证 , e 的 z 方向的分量ez 在 v 1 中的平均值 < ez > 1 满足< ez &

9、gt; 1 = 0结论得证 1现在设 ¯e 沿 n 方向 , 并在式 (12) 中取 n 方向的分量 , 则有( 16)( 17)52152m v 2 < en > + (1 < en > ) = - | ¯e |( 18)5 n25 n 2这就是我们要建立的电场方程的平均形式 , 它是以下推导所依据的基本方程 12 混合物电导率公式的推导211沿一个方向变化的混合物这种混合物是由一系列薄片组成的 , 同一薄片上各点的电导率相同 , 不同薄片的电导率可不同 1 令混合物变化的方向为 x 方向 , 并使 ¯e 沿 x 方向 ,记 e 的x 方

10、向的分量为25v 2exx , 根据式 (18) , 并注意到此时=, 则5 x 2v 2 ( < ex x > + 1| ¯e | )= 0( 19)由此可得1| ¯e |(20)< ex x > = -对上式在 v 上求平均 , 因 ex x = 0 , 则1( 21)m=( 1 )这就是沿一个方向变化的混合物整体电导率和各成分电导率的关系式 ,阻串联的算法直接得出 1这个结果可以由电212沿两个方向变化的混合物这种混合物是由一系列细柱组成的 , 同一细柱上各点的电导率相同 , 不同细柱的电导率可不同 1 令混合物在 x y 平面内变化 , 当

11、¯e 沿 x 方向时 ,当 ¯e 沿 y 方向时 , 记 e 在 y 方向的分量为eyy , 根据式记 e 在 x 方向的分量为exx ;(18) 得52515 x 2m v 2 < ex x > + (1 < ex x > )| ¯e |= -( 22)5 x 252515 y 2m v 2 < eyy > + (1 < eyy > )| ¯e |(23)= -5 y 2混合物整体来看在 x y 平面内是各向同性的 , 改变 ¯e 的方向 , < e > 的大小应当不变 , 即525

12、22< ex x > = < eyy > 1 将式 ( 22) 、( 23) 相加 , 注意到此时5 x 2 + 5 y 2 = v ,则有v 2 ( (m + ) < ex x > + 1| ¯e | )= 0(24)由此可得1< ex x > = - | ¯e |(25)+m对上式在 v 上求平均 , 因 ex x = 0 , 则 1 1 m=( 26)2 1()m + 这就是沿两个方向变化的混合物整体电导率和各成分电导率的关系式 1213沿三个方向变化的混合物这种混合物是由电导率不同的几种物质颗粒掺杂而成的 , 它沿 x

13、 、 y 和 z 三个方向都变化 , 当 ¯e 分别沿 x 、y 和 z 方向时 , 根据式 ( 18) 得52152m v 2 < ex x> +(1 < ex x > )| ¯e |( 27)= -5 x 25 x 252152m v 2 < eyy| ¯e |> +(1 < eyy > )( 28)= -5 y 25 y 252152m v 2 < ez z| ¯e |> +(1 < ez z > )= -( 29)5 z 25 z 2ez z 是当 e 沿 z 方向时e 在

14、z 方向的分量 1 混合物整体来看是各向同性的 ,改变 ¯e的方向 , < e > 的大小应当不变 , 即 < ex x > = < eyy > = < ez z > , 将式 ( 27) 、 ( 28)和 (29) 相加得v 2 ( ( 2m + ) < ex x > + 1| ¯e | )= 0( 30)由此可得1| ¯e(31)< ex x > = -2 +m对上式在 v 上求平均 , 因 ex x = 0 , 则 1 1 m=( 32)3 1()2m + 这就是沿三个方向变化的混合物整

15、体电导率和各成分电导率的关系式 1综上所述 , 混合物整体电导率和各成分电导率的关系式是11m=, ( j = 1 , 2 , 3)( 33)j 1j()( j - 1)m + j其中 : j 表示混合 物 变 化 的 方 向 数 , m 表 示 沿 j 个 方 向 变 化 的 混 合 物 整 体 电 导 率 1 式j(33) 简称为混合物电导率公式 13 所得结果的应用311混合物介电常数公式通过静电场和直流电场的类比 , 可得混合物整体介电常数和各成分介电常数的关系式为 1 1 m =, ( j = 1 , 2 , 3)( 34)j 1j()( j - 1)m + j其中 : m 表示沿

16、j 个方向变化的混合物的整体介电常数 , 是各点的介电常数 1 式 ( 34)j简称为混合物介电常数公式 1312岩石的电导率公式关于岩石的电导率 , 人们进行了大量的研究 , 应用式 (33) 可得出新的结果 1岩石是一种混合物 , 但岩石骨架和岩石所含油气的电导率为 0 , 为了能在这种情况下 应用式 (33) , 需要用局部求电导率平均值的方法 1 先求岩石中导体部分的等效电导率 e , 设导体部分的第 k 种成分的电导率为k , 相对体积为k , 根据式 (33) , 令 j = 3 , 则kk 1e=( 35)3k2e + kk再将岩石看作由一系列薄片组成的 , 每一薄片上导体部分所

17、占的相对体积为 c ,联电阻的算法 , 可以以体积平均的方法给出每一薄片上的电导率 m 的表达式m = c e根据式 (33) , 令 j = 1 , 则可写出岩石电导率 t 的表达式根据并( 36)et=( 37)( 1 )c用关于泥质砂岩的实验结果验证式 (35) 、(37) 1 按照双水模型2,泥质砂岩孔隙中含有粘土附近的粘土水和距粘土表面较远的自由水两种导电成分 , 粘土水的电导率和相对体积分别用 cw 和cw 表示 , 自由水的电导率和相对体积分别用 w 和w 表示 ,cw 和w 满足w = s w- cw, 其中 和 s w 分别为总孔隙度和含水饱和度 1 有了这些量的 1值 ,

18、就可以求 e ·() 就是地层因素 f1 用式 (35) 、(37) 对文献 2附录 b 的实验资c料进行了计算 , 结果见表 11t 计算值的平均相对误差为 716 % , 与实验值符合很好 14 结论411在混合物整体上的平均值 ¯j 和 ¯e 满足¯j = m ej其中 1 1 m=, ( j = 1 , 2 , 3)j 1j()( j - 1)m + j412在混合物某种成分上的平均值 < en > 满足52515 n2m v 2 < en > +(1 < en > ) = -| ¯e |5 n 2在

19、混合物变化的各方向整体同性的条件下1< en > = -| ¯e | , ( j = 1 , 2 , 3)( j - 1)m j +上述结论可类比到静电场和介电常数 1参考文献1李剑浩 , 混合物电导率和介电常数的研究 , 地球物理学报 , 39 , 增刊 , 199612clavier , c1 , coates , g1 , and dumanoir , j 1 , the t heoretical and experimental bases for t he ”dual wa2ter”model for t he interp retatio n of shaly sands , sp e6859 , 19771rel atio ns hip between the w hol eco nd uctivity a nd the all compositio n co nd uctivities of m ixtureli j ianhao