无穷等比级数与循环小数

1、3-2 無窮等比級數與循環小數重點整理1. 數列的收斂：設為一數列，若當趨近無窮大時，會趨近一定值，且只要取得足夠大，要多接近皆可，則稱趨近，記作。(此數列稱為收斂數列，反之則稱為發散數列)2. 無窮等比數列，其極限如下：(1)若，則數列收斂至0。(2)若，(i)若，則數列收斂至0。 (ii)若，則數列收斂至。 (iii)若，則數列發散。3. 若、均為收斂數列，為常數，則(1)(2)。(3)。(4)。4. 級數的收斂：設一無窮數列之前項的和為，若收斂，則稱此無窮級數收斂，且其值為。5. 無窮等比級數，其值是否存在如下：(1)若，則。(2)若，則(i)級數收斂，且。 (ii)級數發散。6. 若、

2、均收斂，則、均收斂，且(1)。(2)例1. 下列各數列何者收斂？若收斂，則其極限為？(1) (2) (3) (4) (5) (6)。類1. 下列數列何者收斂？(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，(6)。ans: 1. (1)(4)(6)。例2. 求下列各數列的極限：(1) (2) (3)。類1. 。類2. 設，其中，則(a)0(b)(c)(d)(e)ans: 1. ，2. (d)。例3. 若，且數列收斂，則的範圍為 。類1.若收斂，求的範圍？類2. 若，則 。類3.求使得數列為收斂的的範圍？ans: 1. ，2. 0，3. 。例4. 求級數的和。類1. 一無窮級數前項和，則其和為 。類2.

3、 求級數的和。ans: 1. ，2. 。例5. 求下列各無窮級數的和：(1)。(2)。(3)。(4)。(5)。(6)。例6. 無窮等比級數的前項部分和 ，此級數和 ，若欲使成立，則最小自然數為 。類1. 已知一無窮等比級數的和為，第二項為，(1)此級數的公比為 ，(2)令為其前項和，若，則最小為 。ans: 1.(1)6,(2)10。例7. 設，若級數收斂，則之範圍為 ，又若此級數的和為1，則之值為 。類1. 若收斂，求的範圍？ans: 1.。例8. (1)= 。(2) 。類1. (1) 。(2) 。ans: 1. ，2. 。例9. 無窮數列0.7、0.77、0.777、0.7777、.的極限

4、為 。例10. 將下列各循環小數化為分數：(1) (2) (3)。類1. 一無窮等比級數的首項為，第二項為，則此級數和為 。類2. 將化為小數，設其小數點以下第位為，求(1) ，(2) 。類3. 設且成等差，若，則 。ans: 1. ，2.(1)2,(2)8，3. 6。例11. 求下列各級數和：(1)0.9+0.09+0.009+。(2)0.9+0.099+0.00999+。類1. 求= 。ans: 例12. 若一皮球自離地面10公尺高處落下，每次反跳高度為其落下高度的，則這皮球到靜止所經過的距離為 公尺。例13. 如圖，在中作內切圓，再作圓切圓以及兩邊，再作圓切圓以及兩邊。如此繼續作下去，得圓數列、，設其面積分別為、，(1)求。(2)求無窮級數之和。(77社)類1. 如圖，是一底角而腰長為1的等腰三角形。已知，線段、，互相平行，且線段、，也互相平行。試問：(1)比值：等於多少？ (a) (b) (c) (d) (e)。(2)線段、的長度之和等於多少？ (a) (b) (c) 2 (d) (e)。(3)的面積為何？ (a) (b) (c) (d) (e)。(4)三角形、的面積之和等於多少？(a) (b) (c) (d) (e)