河南省顶级名校2015届高三上学期月考数学试卷(理科)

1、河南省顶级名校2015届高三上学期月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1（5分）已知集合M=x|xx2，N=y|y=2x，xR，则MN=（）A（0，1）BC2（5分）已知复数z=，则z的虚部是（）ABCiD3（5分）某学生在一门功课的22次考试中，所得分数茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为（）A117B118C118.5D119.54（5分）已知双曲线my2x2=1（mR）与椭圆+x2=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）Ay=±xBy=±xCy=±xDy=±3x5（5分）有3个兴趣小组

2、，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）ABCD6（5分）在各项均为正数的等比数列an中，若am+1am1=2am（m2），数列an的前n项积为Tn，若T2m1=512，则m的值为（）A4B5C6D77（5分）设偶函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，0）的部分图象如图所示，KLM为等腰直角三角形，KML=90°，KL=1，则f（）的值为（）ABCD8（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为21，则判断框中应填（）Ai5Bi6Ci7Di89（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A54

3、B27C18D910（5分）抛物线y2=4x的焦点为F，点A，B在抛物线上，且AFB=120°，弦AB中点M在其准线上的射影为N，则的最大值为（）ABCD11（5分）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB平面BCD，BCD是边长为3的等边三角形若AB=2，则球O的表面积为（）A8B12C16D3212（5分）函数在上的最大值为2，则a的范围是（）ABC（，0D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）若点P（x，y）满足线性约束条件，则z=xy的取值范围是14（5分）若（x2）n二项展开式中的第5项是常数项，则中间项的系数为15（5分）设O是ABC的三边中垂

4、线的交点，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，已知b22b+c2=0，则的范围是16（5分）已知有限集A=a1，a2，a3，an（n2）如果A中元素ai（i=1，2，3，n）满足a1a2an=a1+a2+an，就称A为“复活集”，给出下列结论：集合，是“复活集”；若a1，a2R，且a1，a2是“复活集”，则a1a24；若a1，a2N*则a1，a2不可能是“复活集”；若aiN*，则“复合集”A有且只有一个，且n=3其中正确的结论是（填上你认为所有正确的结论序号）三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤17（12分）在ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，

5、c，已知a=2（1）若A=，求b+c的取值范围；（2）若=1，求ABC面积的最大值18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD=60°，Q为AD的中点（）若PA=PD，求证：平面PQB平面PAD；（）若平面PAD平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角MBQC大小为60°，并求出的值19（12分）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标元件A81240328元件B71840296（）试分别估计元件A

6、、元件B为正品的概率；（）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（）的前提下：（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望20（12分）椭圆C：+=1过点A（1，），离心率为，左右焦点分别为F1、F2过点F1的直线l交椭圆于A、B两点（1）求椭圆C的方程（2）当F2AB的面积为时，求l的方程21（12分）f（x）=axekx1，g（x）=lnx+kx（）当a=1时，若f（x）在（1，+）上为减函数，g（x）在（0，

7、1）上是增函数，求k值；（）对于任意k0，x0，f（x）g（x）恒成立，求a的取值范围三、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22（10分）已知，在ABC中，D是AB上一点，ACD的外接圆交BC于点E，AB=2BE（）求证：BC=2BD；（）若CD平分ACB，且AC=2，EC=1，求BD的长三、选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：sin2=2acos（a0），已知过点P（2，4）的直线L的参数方程为：，直线L与曲线C分别交于M，N（）写出曲线C和直线L的普通方程；

8、 （）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值三、选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x1|（）解不等式：f（x）+f（x1）2；（）当a0时，不等式2a3f（ax）af（x）恒成立，求实数a的取值范围河南省顶级名校2015届高三上学期月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1（5分）已知集合M=x|xx2，N=y|y=2x，xR，则MN=（）A（0，1）BC考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出M中不等式的解集确定出M，求出N中y的范围确定出N，求出两集合的交集即可解答：解：由M中的不等式变形得：x（x1）0，解得：0x1

9、，即M=；由N中的y=2x0，得到N=（0，+），则MN=（0，1故选：D点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）已知复数z=，则z的虚部是（）ABCiD考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：由复数代数形式的除法运算化简复数z，从而求得复数z的虚部解答：解：由=，则复数z的虚部是故选：B点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数z的虚部的求法，是基础题3（5分）某学生在一门功课的22次考试中，所得分数茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为（）A117B118C118.5D119.5考点：茎叶图 专题：概率与统计分

10、析：求出22次考试分数最大为98，最小56，可求极差，从小到大排列，找出中间两数为76，76，可求中位数，从而可求此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和解答：解：22次考试分数最大为98，最小为56，所以极差为9856=42，从小到大排列，中间两数为76，76，所以中位数为76所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为42+76=118故选B点评：本题考查茎叶图，考查学生分析解决问题的能力，确定极差与中位数是关键4（5分）已知双曲线my2x2=1（mR）与椭圆+x2=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）Ay=±xBy=±xCy=±xDy=±

11、3x考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：确定椭圆、双曲线的焦点坐标，求出m的值，即可求出双曲线的渐近线方程解答：解：椭圆+x2=1的焦点坐标为（0，±2）双曲线my2x2=1（mR）的焦点坐标为（0，±），双曲线my2x2=1（mR）与椭圆+x2=1有相同的焦点，=2，m=，双曲线的渐近线方程为y=±x故选：A点评：本题考查椭圆、双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础5（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）ABCD考点：古典概型及

12、其概率计算公式 专题：概率与统计分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果解答：解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故选A点评：本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目6（5分）在各项均为正数的等比数列an中，若am+1am1=2am（m2

13、），数列an的前n项积为Tn，若T2m1=512，则m的值为（）A4B5C6D7考点：等比数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：由已知条件推导出am=2，从而Tn=2n，由T2m1=512，得22m1=512=29，由此能求出结果解答：解：设数列an公比为qam1=，am+1=amq，am+1am1=2am，解得am=2，或am=0（舍），Tn=2n，T2m1=512，22m1=512=29，2m1=9，解得m=5故选：B点评：本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用7（5分）设偶函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，0）的部分图象如图所示，K

14、LM为等腰直角三角形，KML=90°，KL=1，则f（）的值为（）ABCD考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：计算题分析：通过函数的图象，利用KL以及KML=90°求出求出A，然后函数的周期，确定，利用函数是偶函数求出，即可求解f（）的值解答：解：因为f（x）=Asin（x+）（A0，0，0）的部分图象如图所示，KLM为等腰直角三角形，KML=90°，KL=1，所以A=，T=2，因为T=，所以=，函数是偶函数，0，所以=，函数的解析式为：f（x）=sin（x+），所以f（）=sin（+）=cos=故选：D点评：本题考查函数的解析式的求法，函数

15、奇偶性的应用，考查学生识图能力、计算能力8（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为21，则判断框中应填（）Ai5Bi6Ci7Di8考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：根据题意，模拟程序框图的执行过程，计算输出结果即可解答：解：模拟程序框图执行过程，如下；开始，i=1，s=0，不输出，进入循环，1是奇数？是，s=012=1，i=1+1=2，不输出，进入循环，2是奇数？否，s=1+22=3，i=2+1=3，不输出，进入循环，3是奇数？是，s=332=6，i=3+1=4，不输出，进入循环，4是奇数？否s=6+42=10，i=4+1=5，不输出，进入循环，5是奇数？是，s=1052=15，

16、i=5+1=6，不输出，进入循环，6是奇数？否，s=15+62=21，i=6+1=7，退出循环，输出21，判断框中的条件是：i7？故选C点评：本题考查了程序框图的执行结果的问题，解题时应模拟程序的执行过程，是基础题9（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A54B27C18D9考点：由三视图求面积、体积 分析：由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥，由体积公式可求解答：解：由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥，且底面为矩形，长6，宽3；体高为3则=18故选：C点评：做三视图相关的题时，先要形成直观图，后要注意量的关系属于基础题10（5分）抛物线y2=4x的焦点为F，点A，B在抛物

17、线上，且AFB=120°，弦AB中点M在其准线上的射影为N，则的最大值为（）ABCD考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设AF=a，BF=b，由抛物线定义，2MN=a+b再由余弦定理可得|AB|2=a2+b22abcos120°，进而根据a+b2，求得|AB|的范围，进而可得答案解答：解：设AF=a，BF=b，由抛物线定义，2MN=a+b而余弦定理，|AB|2=a2+b22abcos120°=（a+b）2ab，再由a+b2，得到|AB|（a+b）所以的最大值为故选：A点评：本题主要考查抛物线的应用和余弦定理的应用考查了学生综合分析

18、问题和解决问题的能力11（5分）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB平面BCD，BCD是边长为3的等边三角形若AB=2，则球O的表面积为（）A8B12C16D32考点：球的体积和表面积 专题：球分析：取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积解答：解：取CD的中点E，连结AE，BE，在四面体ABCD中，AB平面BCD，BCD是边长为3的等边三角形RtABCRtABD，ACD是等腰三角形，BCD的中心为G，作OGAB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE=，BG=，R=2四面体ABCD外接球的表面积为：4R2=16故选：C点评：本题考查球的内接体

19、知识，考查空间想象能力，确定球的切线与半径是解题的关键12（5分）函数在上的最大值为2，则a的范围是（）ABC（，0D考点：函数最值的应用 专题：常规题型分析：先画出分段函数f（x）的图象，如图当x上的最大值为2； 欲使得函数在上的最大值为2，则当x=2时，e2a的值必须小于等于2，从而解得a的范围解答：解：先画出分段函数f（x）的图象，如图当x上的最大值为2； 欲使得函数在上的最大值为2，则当x=2时，e2a的值必须小于等于2，即e2a2，解得：a故选D点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数最值的应用的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基

20、础题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）若点P（x，y）满足线性约束条件，则z=xy的取值范围是作出直线xy=0，对该直线进行平移，可以发现当直线经过点（0，0）时，Z取得最大值0，当直线经过点（2，0）时，Z取得最小值2，所以Z的取值范围为又f（0）=0，f（2）=2即的取值范围是故答案为点评：本题考查了三角形的外接圆的性质、向量的运算法则、数量积运算、二次函数的单调性等基础知识与基本方法，属于难题16（5分）已知有限集A=a1，a2，a3，an（n2）如果A中元素ai（i=1，2，3，n）满足a1a2an=a1+a2+an，就称A为“复活集”，给出下列结论：集合，是

21、“复活集”；若a1，a2R，且a1，a2是“复活集”，则a1a24；若a1，a2N*则a1，a2不可能是“复活集”；若aiN*，则“复合集”A有且只有一个，且n=3其中正确的结论是（填上你认为所有正确的结论序号）考点：元素与集合关系的判断 专题：集合分析：根据已知中“复活集”的定义，结合韦达定理及反证法，逐一判断四个结论的正误，进而可得答案解答：解：=+=1，故是正确的；不妨设a1+a2=a1a2=t，则由韦达定理知a1，a2是一元二次方程x2tx+t=0的两个根，由0，可得t0，或t4，故错；不妨设A中a1a2a3an，由a1a2an=a1+a2+annan，得a1a2an1n，当n=2时，

22、即有a12，a1=1，于是1+a2=a2，a2无解，即不存在满足条件的“复活集”A，故正确当n=3时，a1a23，故只能a1=1，a2=2，求得a3=3，于是“复活集”A只有一个，为1，2，3当n4时，由a1a2an11×2×3××（n1），即有n（n1）!，也就是说“复活集”A存在的必要条件是n（n1）!，事实上，（n1）!（n1）（n2）=n23n+2=（n2）22+n2，矛盾，当n4时不存在复活集A，故正确故答案为：点评：本题考查的知识点是元素与集合的关系，正确理解已知中的新定义“复活集”的含义是解答的关键，难度较大三、解答题：本大题共5小题，共7

23、0分，解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤17（12分）在ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，已知a=2（1）若A=，求b+c的取值范围；（2）若=1，求ABC面积的最大值考点：余弦定理的应用；平面向量数量积的运算；正弦定理 专题：三角函数的图像与性质；解三角形分析：（1）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性即可得出；（2）利用数量积运算、同角三角函数基本关系式、余弦定理、基本不等式、三角形面积计算公式即可得出解答：解：（1），=，b+c=4，b+c（2，4，（2）=1，bccosA=1，=，a2=b2+c22bccosA，4=b2+c22，6=b2+c22bc，bc

24、3，b2c29=当且仅当时，ABC的面积取到最大值为点评：本题考查了正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性、数量积运算、同角三角函数基本关系式、余弦定理、基本不等式、三角形面积计算公式等可基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD=60°，Q为AD的中点（）若PA=PD，求证：平面PQB平面PAD；（）若平面PAD平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角MBQC大小为60°，并求出的值考点：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定

25、专题：空间位置关系与距离分析：（I）由已知条件推导出PQAD，BQAD，从而得到AD平面PQB，由此能够证明平面PQB平面PAD（ II）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果解答：（I）证明：PA=PD，Q为AD的中点，PQAD，又底面ABCD为菱形，BAD=60°，BQAD，又PQBQ=Q，AD平面PQB，又AD平面PAD，平面PQB平面PAD（ II）平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PQAD，PQ平面ABCD以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图则由题意知：Q（0

26、，0，0），P（0，0，），B（0，0），C（2，0），设（01），则，平面CBQ的一个法向量是=（0，0，1），设平面MQB的一个法向量为=（x，y，z），则，取=，（9分）二面角MBQC大小为60°，=，解得，此时（12分）点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查满足条件的点的位置的确定，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用19（12分）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标元件A81240328元件B71840296（）试分别估计元件A、元件B为正品的概率；（）生

27、产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（）的前提下：（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：（）由题设条件能求出元件A为正品的概率和元件B为正品的概率（）（i）设生产的5件元件中正品件数为x，则有次品5x件，由题意知100x20（5x）300，由此能求出生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率（ii）随机变量X的所有取值为15

28、0，90，30，30，分别求出P（X=150），P（X=90），P（X=30），P（X=30），由此能求出X的分布列和EX解答：（本小题满分12分）解：（）由题可知元件A为正品的概率为=，元件B为正品的概率为=（2分）（）（i）设生产的5件元件中正品件数为x，则有次品5x件，由题意知100x20（5x）300，得到x=4，5，设“生产5件元件B所获得的利润不少于300元”为事件C，则P（C）=（6分）（ii）随机变量X的所有取值为150，90，30，30，则P（X=150）=，P（X=90）=，P（X=30）=，P（X=30）=，所以X的分布列为：X150903030P（10分）EX=150&

29、#215;+90×+30×30×=108（12分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年2015届高考中都是必考题型20（12分）椭圆C：+=1过点A（1，），离心率为，左右焦点分别为F1、F2过点F1的直线l交椭圆于A、B两点（1）求椭圆C的方程（2）当F2AB的面积为时，求l的方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由已知条件推导出，由此能求出椭圆C的方程（2）由（1）知F1（1，0），直线l方程为y=k（x+1），由，得（4k2+3）x2+8k2x+4k212=0，设A（x1，y1），B

30、（x2，y2），由此利用韦达定理能求出直线l的方程解答：解：（1）椭圆过点，（1分）离心率为，（2分）又a2=b2+c2（3分）解得a2=4，b2=3（4分）椭圆（6分）（2）由（1）得F1（1，0）当l的倾斜角是时，l的方程为x=1，焦点此时，不合题意（7分）当l的倾斜角不是时，设l的斜率为k，则其直线方程为y=k（x+1）由，消去y得：（4k2+3）x2+8k2x+4k212=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则（9分）=（10分） 又已知，（k21）（17k2+18）=0，k21=0，解得k=±1，故直线l的方程为y=±1（x+1），即xy+1=0或x+y+1

31、=0（13分）点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理和函数与方程思想的合理运用21（12分）f（x）=axekx1，g（x）=lnx+kx（）当a=1时，若f（x）在（1，+）上为减函数，g（x）在（0，1）上是增函数，求k值；（）对于任意k0，x0，f（x）g（x）恒成立，求a的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：导数的综合应用分析：（）a=1时，f（x）=xekx1，分别求出函数f（x），g（x）的导数，从而得出k的取值范围；（）设h（x）=f（x）g（x）=axekxlnxkx1（x0），求出h（x）的导数

32、，通过讨论a的取值范围解决问题解答：解：（）a=1时，f（x）=xekx1，f（x）=（kx+1）ekx，g（x）=+k，f（x）在（1，+）上为减函数，则x1，f（x）0k，k1；g（x）在（0，1）上为增函数，则x（0，1），g（x）0k，k1；综上所述：k=1（）设h（x）=f（x）g（x）=axekxlnxkx1（x0），h（x）=（kx+1）（aekx），设u（x）=aekx，u（x）=akekx+，a0时，u（x）=aekx0，则h（x）=（kx+1）（aekx）0，h（x）在（0，+）上是减函数，h（x）0不恒成立；当a0时，则在（0，+）上，是增函数，u（x）的函数值由负到正，

33、必有x0（0，+），u（x0）=0，即，两边取自然对数得，lna+kx0=lnx0，h（x）在（0，x0）上是减函数，（x0，+）上是增函数，=11lnx0kx0=lnx0kx0=lna因此，lna0，即a的取值范围是（1，+）点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，求参数的取值，本题是一道综合题三、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22（10分）已知，在ABC中，D是AB上一点，ACD的外接圆交BC于点E，AB=2BE（）求证：BC=2BD；（）若CD平分ACB，且AC=2，EC=1，求BD的长考点：与圆有关的比例线段；弦切角 专题：选作题；立体几何分析：（）连接DE，证明DBECBA，即可证明BC=2BD；（）先求DE，利用CD是ACB的平分线，可得DA=1，根据割线定理求出BD解答：（）证明：连接DE，因为四边形ACED是圆的内接四边形