1n维欧氏空间中点集

1、N维欧氏空间点集的初步 知识度量空i可与n维欧氏空间 度量空间中的各类点集本章将研究一种特殊的集合空间中的点 秦。所谓空间，是一类具有某种结构的集合，往 往成为数学研究的载体和对象。分析学科所关心的空间的结构包括度量、范 数、开集、闭集等。本章的主要内容为度量空间，特别是n维欧氏 空间中的各类点集，这将为我们研究新的积 分奠定基础。1. 度量空间与n维欧氏|空间度量，也称距离，是空间理论的基本概念，下面给出它的定义：定义：设X是一个集合，若对于X中任意两个元素X",都有唯一确定的实 数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足：(1) 正定性：y) > 0?并且(兀 y) =

2、0 O 兀=y(2) 三点不等式：VzgX,d(x,y)<d(x9z) + d(y,z)称d(x,y)是x"之间的距离，称(Xd)为应量空间或龜离空间。由性质(2)立刻可以得到度量的对称性，即d(xzy)=d(yzx)若(Xd)为度量空间，Y是X的一个非空子集，贝!)(Yzd)也是一个度量空间, 称为(X,d)的子空间。例1欧氏空间刃"例2连续函数空间Ca,b度量空间中点集的一些基本概念一域定义（令8域）：距离空间（X,d）中所有和定点P。的距离小于定数5的点的 全体，即集合pd（p,po）6称为点P°的5邻域，记作”（乙0）或U（4）显然，卸】,刃2,刃3

3、, u（p°0）分别是以P。为中心以为5半径的开区间、 开圆和开球。邻域具有如下的基本性质： P G U（P）（2）对于p的两个邻域u、（p）,u2（p）,存在邻域/（p）us（p）n/（p）（3）对于QU（P）,存在Q的邻域U（Q）uU（P）（4）对于P±Q、存在P和Q的邻域U（P）Q（0）,使得 t/（p）p|/（2）= 0点列的极限g-N式定义：鬥為为度量空间(X,d)中一点列，若对于任意的 &0,存在自然数N,使得n>N时有d(%4)<® 则称该点列收敛于儿，记作lim/ =心(II)邻域式定义：若对于4的任意邻域"(4),存

4、在N,使n>N时有 Pg(P)则称该点列收敛于厶性质 1.点列的极限是唯一的；2. N维欧氏空间点列的收敛是按坐标收敛；3. 点列的收敛满足线性；4. N维欧氏空间中的收敛点列等价于Cauchy点列点集的距离两个非空点軌的距离定义为d(4")=呱d(PQ).QwB注：若人=严,即A为单点集，则可记 d(A,B) = d(P,B)直径及有界点集点集的直径：一个非空点集E的直径定义为5(E)二sup d(P,Q).P0E有界点集：一个非空点集E称为有界集合，若5(E) <g注. 收敛点列必为有界点集，n维欧氏空间的有界点列必有收敛子列度量空间中点集的_些基本概念区间定义: 9

5、T中的点集（“兀2,oJa <兀昇=i,曲 称为一个开区间；若将其中的不等式全部换成a <兀 < 叽 %< Xi < a < xi <则上述点集分别称为闭区间、左开右闭区间、左闭右开区间，统称为区间，记作I。n勺-勺称为I的第I个边长；口&-务）称为I的体积，记作|1|i=l2. 度量空间中的各类点集首先，我们考虑度量空间(X,d)中的点与给定点集之间的关系。设E 为X中的一个点集，P为X中的点，则P和E的关系具有如下几种：(1) P附近全是E的点，即存在P的某邻域U(P)uE、 此时称P为E的内点；(2) P附近全不是E的点，即存在P的某邻域

6、U(P)PE = 0. 此时称P为E的外点；(3) P附近既有E的点，又有不属于E的点，即对P的任意邻域U(P), 此时称p为e的边界点，简称界点;(4) P附近有E的无穷多个点，即对P的任意邻域U(P), t/(p)n£ 为无限集合，此时称P为E的聚点；(5) P附近除P外没有E的点，即存在P的邻域U(P),t/(P)n£ = P此时称P为E的?点集间的关系显然，空间中任意的点P是且只能是上述(1)(2)(3冲的一个，或者是 且只能是上述(2)(4)(5)中的一个，即聚点或 孤立点外点内点 对某点集E来说，卅中的点边界点外点(1) 内点一定是聚点，外点一定不是聚点；(2)

7、 聚点可以是内点，也可以是界点，但不能是外点;(3) 孤立点一定不是聚点、内点或外点，一定是界点;(4) E中的点要么是聚点，要么是孤立点；(5) 界点要么是聚点，要么是孤立点。聚点关于聚点，下面三条是等价的： P是E的聚点；(2) P的任意邻域内，至少含有一个属于E而异于P点；(3) 存在E中互异的点所成的点列<,lim Pu = P“Too开核、边界、导集、闭包定义：(1) E的全体内点所成的集合，称为E的开核，记作&(2) E的全体边界点所成的集合，称为E的边界，记作陋(3) E的全体聚点所成的集合，称为E的导集，甲作E'(4) E与E的导集的并集，称为E的闭包，记

8、作E(=EUE')闭包是一个非常重要的概念，我们有如下结论：E=p丘讯”1 vp的令b域“尸),有u(p)n e工0这样可知：E = EJdE = EJdE = FUE的全体孤立屈重要性质前面介绍的一些点集在分析学科中是非常重要的，具有以下的性质:打=(町,(E)C =(F);丿(2) 若Au5 贝iJA!czBAczB9AczB ;(3) (aub)'=aw(4) (Bolzano-Weierstrass定理)若E为有界的无限集合，则EX0 ;(5) 设Eh0，疋工讯“，贝IJ6E0.开集和闭集定义：若集合E的每一点都是E的内点，则称E为开集；若集合E的每一个聚点都属于E,则

9、称E为闭集。开集和闭集是最重要的两类点集，它们具有以下的性质：(1) 对任意的点集已云是开集E和万是闭集；(2) 点集E是开集当且仅当£ = £ E是闭集当且仅当EuEEuE;(3) 云是包含丑的最大开子集，E是包含E的最小闭集；(4) 若E为开集，则E的余集为闭集，若E为闭集，则E的余集为开集；(5) 任意多个开集的并集以及有限多个开集的交集仍为开集；任意多 个闭集的交集以及有限多个闭集的并集仍为闭集；(6) 对于任意两个互不相交的闭集，一定存在两个互不相交的开集 分别包含这两个闭集。有界闭集和紧集有限覆盖定理：设F为n维欧氏空间有界闭集，则对任意的覆盖F的开集族:叽(f

10、uUS 丿存在有限个开集同样覆盖F。FuUS定义：设M为度量空间X的子集，若对于X的任意一族覆盖M的开集, 一定存在其中有限个开集仍然覆盖M,则称M为X的紧集。定理：度量空间的紧集一定是有界闭集。思考：判断下面说法的正确与否，(1) 设EF为两个不相交的闭集，则一定有d(E,F)>0；(2) 设耳F为两个不相交的闭集，其中E为紧集，则一定有d(E,F)>0开域、闭域、区域开域若非空开集E具有连通性，即E中任意两 点之间都可用一条完全含于E的有限折线相连接， 则称E为开域简单地说，开域就是非空连通开集. 闭域一一开域连同其边界所成的集合称为闭域. 区域开域、闭域、开域连同其一部分界点

11、所 成的集合，统称为区域.不难证明：闭域必为闭集；而闭集不一定为闭域.2007年8月南京航空航天大学理学院数学系15*自密集、完备集、稠密集、疏朗集定义：设E为度量空间(X,d)中的点集，(1) 若E中的每一个点均为其聚点，即EuE', 则称E为自密集；(2) 若E与其导集相等，即E = E则称E为完备集；_(3) 若E的闭包为全空间，即E =则称E为稠密集；丄(4) 若E的闭包没有内点，即E = 0. 则称E为疏朗集，或称为无处稠密集。注意：完备集为没有孤立点的闭集；疏朗集的余集一定是稠密集，但稠密集的余集未必是疏朗集。探举例讨论上述点集的性质 例1证明：对任何SuR2, OS恒为闭

12、集.证如图所示，设兀0为os的任一聚点，欲证dsxQedS （即兀°亦为S的界点）.为此0£>0,由聚点定义，存在y 丘？7°（*0； £）nOS再由V为界点的定义，VL7（y;5）uU（%；£）,在U（y;3）内既有S的点,又有非S的点.由此推知在Udo；£）内既有s的点,又有非S的点.所以，由£ 的任意性,兀0为S的界点，即兀o"S,也就证得ds为闭集.注类似地可以证明：对任何点集S UR2,导集&亦恒为闭集（留作习题）*例2设EUR?.试证E为闭集的充要条件是:E=EJdE 或 Ec=int(E

13、c).证下面按循环流程图来分别作出证明.=> E=EJdE => Ec=int(Ec)介l|已知E为闭集(即E=EUEd)f欲证E=EUdE 为此PpSE,p或是E的聚点，或是E的孤立点.若pwE,贝！|由E'uE,得peE；而孤立点必属于E；从而OE uE,故EUOEuE反之显然有2007年8月南京航空航天大学理学院数学系EczEUdE综合起来，便证得E=intEJdE 已知E=EJdEt欲证Ec = int(Ec).为此 fpeEc,则p雀E,而由OE uE,故卩必为E的 外点，按定义,羽>0,使U(p;3)nE=0.从而 U(p 0) u矿,故"是矿的

14、内点，即呼u int(Ec). 反之显然有mt(Ec)aEc.这就证得矿=int(矿) (3)已知 Ec=int(Ec),欲证 £=£U£'为此 Vp wE,据条件可证PeE(若不然,peEc,从而由 条件推知 P int(Ec),故 3J>0,使 U(p;3) u Ec,与p为E的聚点相矛盾)，故EuE这就证得E=EJ E'(i)闭集也可用 崔来一般不如 a注此例指出了如下两个重要结论:E=EJdE ”来定义(只是使用E = EUE' »方便，因为有关聚点有许多便于应用的性质).(ii)闭集与开集具有对偶性质一一闭集的余集

15、为开集；开集的余集为闭集.利用此性质，有时可以通 过讨论Ec来认识E.例3以下两种说法在一般情形下为什么是错的?(D既然说开域是“非空连通开集”，那么闭域就是 “非空连通闭集”；(ii)要判别一个点集D是否是闭域，只要看其去除 边界后所得的是否为一开域，即“若D 加为开域，则D必为闭域”.答(i)例如取S = (x, j)lxj>0,这是一个非空连 通闭集但因它是第一和第三象限的集合G与其边 界(二坐标轴)的并集(即S=GJdG),而G不是开域，故s不是闭域(不符合闭域的定义).(ii)如图所示，(a)中的点集为D； (b)中的点集为E =DOD; (c)中的点集为F =EJdE易见E为一开域，据定义F则为闭域；然而DEJdE = F,显然不符合它为闭域的定义由此又可见到：d(DdD)与dD不一定相同.2007年8月南京航空航天大学理学院数学系26复习思考题1.试问在R中的