坐标系与参数方程

1、精品资料欢迎下载选修 4 4坐标系与参数方程第一节坐 标 系本节主要包括2 个知识点：1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换；2.极坐标系 .突破点 (一 )平面直角坐标系下图形的伸缩变换基础联通抓主干知识的“源”与“流 ”x ·x 0 ，设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ： 的作用下，y ·y 0点 P( x， y)对应到点 P (x， y )，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换考点贯通抓高考命题的“形”与“神 ”平面直角坐标系下图形的伸缩变换x2x1x，22典例 求椭圆 4 y 1，经过伸缩变换后的曲线方程y y1得到 x 2x， 解

2、由 x 2x，y yy y .22将代入 x y2 1，得 4x y 2 1，即 x 2 y 2 1.442因此椭圆 x y2 1 经伸缩变换后得到的曲线方程是x2 y2 1.4 方法技巧 (1) 曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的， 解题时一定要区分变换前的点 P 的坐标 (x ， y) 与变换后的点 P 的坐标 (X ， Y) ，再利用伸缩变换公式精品资料欢迎下载X ax a>0 ，建立联系Y by b>0(2) 已知变换后的曲线方程 f(x， y) 0，一般都要改写为方程 f (X， Y) 0，再利用换元法确定伸缩变换公式能力 练通抓应用体验的 “得”与

3、“ 失”x 3x，求点 A1， 2经过 变1在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换：2y y.3换所得的点A的坐标x 3x，l的方程2求直线 l： y 6x 经过 ：变换后所得到的直线2y y2x 3x，3求双曲线 C： x2 y 1 经过 ：变换后所得曲线 C的焦点坐标642y y22X ax a>0 ，4将圆 x2 y2 1 变换为椭圆 x y 1 的一个伸缩变换公式为：求 a，94Y by b>0，b 的值突破点 (二 )极坐标系基础联通抓主干知识的 “ 源”与“流”1极坐标系的概念(1) 极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，点 O 叫做极点，自极点O 引一条射线Ox， O

4、x 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度 )及其正方向 (通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系(2) 极坐标精品资料欢迎下载一般地，没有特殊说明时，我们认为 0， 可取任意实数(3) 点与极坐标的关系一般地，极坐标 (，)与 (， 2k)(k Z) 表示同一个点，特别地，极点O 的坐标为 (0，)( R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示如果规定 0,0 2，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(， ) 表示；同时，极坐标 (， )表示的点也是唯一确定的2极坐标与直角坐标的互化点 M直角坐标 (x， y)极坐标 (， )222x cos ， x y

5、 ，互化公式 yy sin tanx x 0考点贯通抓高考命题的“形”与 “神”极坐标与直角坐标的互化1极坐标方程化为直角坐标方程的步骤判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x 轴正半轴是否重合，第一步若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化2通过极坐标方程的两边同乘或同时平方构造cos，sin ，的形式， 一定要第二步注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增解或漏解根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式x cos ，222将极坐标及 x y第三步y sin 方程转化为直角坐标方程2直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐标化为极坐标(1) 直角坐标方程化为极

6、坐标方程较为简单， 只需将直角坐标方程中的 x，y 分别用 cos ， sin 代替即可得到相应极坐标方程(2) 求直角坐标系中的点 (x， y)对应的极坐标的一般步骤：第一步，根据直角坐标系中两点间的距离公式计算该点与坐标原点的距离，即计算；y第二步，根据角 的正切值tan x(x 0)求出角 (若正切值不存在， 则该点在y 轴上 )，问题即解精品资料欢迎下载例 1O： cos sin 和直线 l： sin 2在极坐标系下，已知圆42 .(1) 求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程；(2) 当 (0， )时，求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标方法技巧 1应用互化公式的三个前提条件(1)

7、 取直角坐标系的原点为极点(2) 以 x 轴的正半轴为极轴(3) 两种坐标系规定相同的长度单位2直角坐标化为极坐标时的两个注意点(1) 根据终边相同的角的意义， 角 的表示方法具有周期性， 故点 M 的极坐标 (，)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个当限定0，0,2坐标是唯一的(2) 当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角应注意判断点边的位置 )，以便正确地求出角( 0,2 的)值)时，除极点外，点M 的极M 所在的象限 (即角 的终极坐标方程的应用 例 2 (2017 福·州五校联考 )已知曲线 C 的极坐标方程为2 2 0.以 2 2cos 4极点为平面直角坐标系的原点，极轴

8、为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy.(1)若直线 l 过原点，且被曲线 C截得的弦长最小，求直线l 的直角坐标方程；(2)若 M 是曲线 C 上的动点，且点M 的直角坐标为 (x， y)，求 x y 的最大值 易错提醒 用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决精品资料欢迎下载能力 练通抓应用体验的“得”与 “失”1 考点一、二 已知直线l 的极坐标方程为2sin 4 2，点A 的极坐标为7A 22， 4，求点 A 到直线 l 的距离.3 考点二 在极坐标系中，直线(sin cos )

9、a 与曲线 2cos 4sin 相交于 A，B 两点，若 |AB| 23，求实数 a 的值4考点一、二 (2017 洛·阳统考 )已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为2 2， 2 2cos 2.4(1) 将圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 求经过两圆交点的直线的极坐标方程全国卷 5 年真题集中演练 明规律 1(2016 全·国乙卷 )在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为x acos t，(t 为参数，y 1 asin ta 0)在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2： 4cos .(1) 说明 C1 是

10、哪一种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；(2)直线 C3的极坐标方程为 ，其中 满足 tan 2，若曲线C与 C的公共点都00012在 C3 上，求 a.精品资料欢迎下载2(2015 ·课标全国卷新)在直角坐标系xOy 中，直线C1： x 2，圆 C2： (x 1)2 (y 2)2 1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1) 求 C1， C2 的极坐标方程；(2) 若直线 C3 的极坐标方程为与 C3的交点为 M ，N，求 C2MN 的面 ( R) ，设 C24积课时达标检测 4 (2017 山·西质检 )在极坐标系中，曲线23 2，点R，C 的方

11、程为 1 2sin 2 24 .(1) 以极点为原点， 极轴为 x 轴的正半轴， 建立平面直角坐标系， 把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程， R 点的极坐标化为直角坐标；(2) 设 P 为曲线 C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标5 (2017 南·京模拟 )已知直线 l： sin 4 4 和圆 C： 2kcos 4 (k 0)，若直线l 上的点到圆 C 上的点的最小距离等于2.求实数 k 的值并求圆心C 的直角坐标精品资料欢迎下载226已知圆 C： x y 4，直线 l： x y 2.以 O 为极

12、点， x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系(1) 将圆 C 和直线 l 方程化为极坐标方程；(2) P 是 l 上的点，射线 OP 交圆 C 于点 R，又点 Q 在 OP 上，且满足 |OQ| ·|OP| |OR|2，当点 P 在 l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程7 (2017贵·州联考)已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为2， 3.(1) 求出以 C 为圆心，半径长为 2 的圆的极坐标方程 (写出解题过程 )；(2) 在直角坐标系中，以圆 C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，点 P 是圆 C 上任意一点， Q(5， 3)

13、， M 是线段 PQ 的中点，当点 P 在圆 C 上运动时，求点 M 的轨迹的普通方程8在平面直角坐标系中，曲线C1 的参数方程为x 2cos ，(为参数 )，以原点 O 为y sin 极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线3与曲线 C2 交于点 D 2，3 .(1) 求曲线 C1 的普通方程和曲线C2 的直角坐标方程；(2) 已知极坐标系中两点， ， ，若 A，B 都在曲线 C上，求 12 12的A(10)，B202112值精品资料欢迎下载第二节参数方程本节主要包括2 个知识点：1.参数方程；参数方程与极坐标方程的综合问题.基础 联通突破点 (

14、一 )参数方程抓主干知识的“源”与“ 流”1参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y 都是某个变数 t 的函数：x f t ，x f t ，所确定的点 M (x， y)都在这条并且对于t 的每一个允许值，由方程组yg t ，y g tx f t ，曲线上， 那么方程就叫做这条曲线的参数方程， 变数 t 叫做参变数， 简称参数 相y g t对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程2直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点 M (x0， y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为x x0 tcos ，( t 为参数 )y y0 tsin (2)圆心在点 M 0

15、(x0， y0)，半径为 r 的圆的参数方程为x x0 rcos ，(为参数 )y y0 rsin x2y2xacos ，(3)椭圆 a2 b2 1(a b 0)的参数方程为y bsin (为参数 )考点 贯通抓高考命题的 “ 形”与“神”参数方程与普通方程的互化1参数方程化为普通方程基本思路是消去参数， 常用的消参方法有： 代入消元法； 加减消元法； 恒等式 (三角的或代数的 )消元法； 平方后再加减消元法等 其中代入消元法、 加减消元法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin2 cos2 1 等2普通方程化为参数方程(1) 选择参数的一般原则曲线上任意一点的坐标与参数的关系

16、比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可精品资料欢迎下载以唯一确定x， y 的值；(2) 具体步骤第一步，引入参数，但要选定合适的参数t；第二步，确定参数t 与变量 x 或 y 的一个关系式x f(t)(或 y (t);第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F (x，y) 0，求得另一关系y g(t)( 或 x (t) ，问题得解 例 1将下列参数方程化为普通方程1x t ，(1)(t 为参数 )；12y tt 1x2 sin2，(2)(为参数 ) y 1 cos 2易错提醒 (1) 将曲线的参数方程化为普通方程时务必要注意x， y 的取值范围，保证消参前后的方程的一致性(2)

17、 将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对普通方程中x， y 的取值范围的影响直线与圆锥曲线的参数方程及应用1解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题，其一般思路如下：第一步，把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程；第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题2当直线经过点P(x0， y0)，且直线的倾斜角为，求直线与圆锥曲线的交点、弦长问题时，可以把直线的参数方程设成x x0 tcos ，( t 为参数 )，交点 A， B 对应的参数分别y y0 tsin 为 t1，t2，计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出 t1 t2，t1·t2，得到 |AB| |t1

18、 t2| t1 t22 4t1·t2.例 2(2017 豫·南九校联考) 在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为 的直线 l ：x 2 tcos ，x2cos(为参数 )相交于不同的两点 A， B.(t 为参数 )与曲线 C：3tsiny sin y(1) 若 3，求线段 AB 的中点 M 的坐标；(2) 若 |PA| ·|PB| |OP|2，其中 P(2，3)，求直线l 的斜率精品资料欢迎下载 方法技巧 1 解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题 2对于形如x x0 at，221时，应先化为标(t 为参数 )的直线的

19、参数方程，当aby y0 bt准形式后才能利用t 的几何意义解题能力 练通3 考点二 (2017 郑·州模拟 )将曲线C1： x2 y2 1 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 (纵坐标不变 )得到曲线 C2，A 为 C1 与 x 轴正半轴的交点，直线l 经过点 A 且倾斜角为 30°，记 l与曲线 C1 的另一个交点为 B，与曲线 C2 在第一、三象限的交点分别为C， D.(1)写出曲线 C2 的普通方程及直线l 的参数方程；(2)求 |AC| |BD |.x 3 tcos ，4 考点二 设直线 l 的参数方程为(t 为参数， 为倾斜角 )，圆 C 的参y 4 tsin x

20、 1 2cos ，数方程为(为参数 )y 1 2sin (1) 若直线 l 经过圆 C 的圆心，求直线 l 的斜率；(2) 若直线 l 与圆 C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围精品资料欢迎下载突破点 (二 )参数方程与极坐标方程的综合问题将极坐标方程与参数方程、普通方程交织在一起，考查极坐标方程与参数方程的综合应用 .将各类方程相互转化是求解该类问题的前提.,解决问题时要注意：1 解题时，易将直线与圆的极坐标方程混淆.要熟练掌握特殊直线、圆的极坐标方程的形式 .2 应用解析法解决实际问题时，要注意选取直角坐标系还是极坐标系，建立极坐标系要注意极点、极轴位置的选择，注意点和极坐标之

21、间的“一对多”关系3 求曲线方程，常设曲线上任意一点P ，利用解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正弦、 余弦定理的应用.圆的参数方程常和三角恒等变换结合在一起，解决取值范围或最值问题.4 参数方程和普通方程表示同一个曲线时，要注意其中x，y的取值范围，即注意两者的等价性 .考点贯通抓高考命题的“形”与 “神”参数方程与极坐标方程的综合问题典例 x 1 cos ，(2017 长·沙模拟 )在直角坐标系xOy 中，曲线 C1 的参数方程为y sin (为参数 )，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴， 建立极坐标系， 直线 l 的极坐标方程为 (cos ksin ) 2(k 为实数

22、 )(1) 判断曲线 C1 与直线 l 的位置关系，并说明理由；(2) 若曲线 C1 和直线 l 相交于 A， B 两点，且 |AB|2，求直线l 的斜率方法技巧 处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1) 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程(2) 数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用和 的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的精品资料欢迎下载x 310cos ，1已知曲线C 的参数方程为(为参数 )，以直角坐标系原点为极点，y 110sin x 轴正半轴为极轴建立极坐标

23、系(1) 求曲线 C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；(2) 若直线的极坐标方程为sin cos 1，求直线被曲线C 截得的弦长2在极坐标系中，圆 C 的方程为 2acos (a 0)，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正x 3t 1，半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为(t 为参数 )y 4t 3(1)求圆 C 的标准方程和直线l 的普通方程；(2)若直线 l 与圆 C 恒有公共点，求实数 a 的取值范围1 (2016 全·国甲卷 )在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 (x 6)2 y2 25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标

24、方程；(2)直线 l 的参数方程是x tcos ，10，求(t 为参数 )，l 与 C 交于 A，B 两点， |AB|y tsin l 的斜率精品资料欢迎下载2 (2016全·国丙卷 )在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为x 3cos ，(为y sin 参数 )以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 sin 42 2.(1) 写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；(2) 设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求 |PQ|的最小值及此时P 的直角坐标x tcos ，3(2015·课标全国卷新)在直角坐标

25、系xOy 中，曲线C1：y tsin (t 为参数，t 0)，其中 0 在.以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2： 2sin ，C3： 2 3cos .(1) 求 C2 与 C3 交点的直角坐标；(2) 若 C1 与 C2 相交于点 A， C1 与 C3 相交于点 B，求 |AB|的最大值x2y2x 2 t，4 (2014 新·课标全国卷 )已知曲线 C： 4 9 1，直线 l：y 2 2t(t 为参数 )(1) 写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；(2) 过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线， 交 l 于点 A，求|PA

26、|的最大值与最小值精品资料欢迎下载5 (2014 新·课标全国卷 )在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为 2cos ， 0，.2(1)求 C 的参数方程；(2)设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线l：y3x2 垂直，根据 (1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标6(2013 新·课标全国卷 )已知曲线 C1 的参数方程为x 4 5cos t，(t 为参数 )，以坐y 5 5sin t，标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 2sin .(1)把 C1的参数方程化为极坐

27、标方程；(2)求 C1与 C2 交点的极坐标 ( 0,0 2)3x 2 2 t，1(2017 郑·州模拟 )已知曲线 C1 的参数方程为曲线 C2 的极坐标方程1y2t，为 22cos ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系4(1) 求曲线 C2 的直角坐标方程；(2) 求曲线 C2 上的动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值精品资料欢迎下载2在极坐标系中，已知三点O(0,0)， A 2， 2 ， B 2 2， 4 .(1) 求经过点 O， A， B 的圆 C1 的极坐标方程；(2) 以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2 的参数方程为x 1 acos ，(是参数 )，若圆 C1 与圆 C2 外切，求实数a 的值y 1 asin 3 (2017 太·原模拟 )在平面直角坐标系xOy 中，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立x 2cos ，的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 ( R) ，曲线 C 的参数方程为4y sin .(1)写出直线 l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程；8(2)过点 M 且平