小学五年级奥数完整教案

1、五年级奥数完整教案奥数第一讲巧算小朋友，你是不是在日常生活和解答数学问题时，经常要进行计算？在数学课里我们学习了一些简便计算的方法， 但如果善于观察、 勤于思考，计算中还能找到更多的巧妙的计算方法哦， 不仅使你能算得好、 算得快，还可以让你变得聪明和机敏。一、计算：9.996 29.98169.93999.5解：算式中的加法看来无法用数学课中学过的简算方法计算， 但是，这几个数每个数只要增加一点， 就成为某个整十、 整百或整千数，把这几个数 “凑整 ”以后，就容易计算了。当然要记住， “凑整 ”时增加了多少要减回去。9.99629.98169.93999.5=10 30170 4000（ 0.

2、0040.02 0.1 0.5）=42100.624=4209.376二、计算：10.990.98 0.970.96 0.950.940.93 0.04 0.030.02 0.01解：式子的数是从 1 开始，依次减少 0.01，直到最后一个数是 0.01，因此，式中共有100 个数而式子中的运算都是两个数相加接着减两个数，再加两个数，再减两个数 这样的顺序排列的。由于数的排列、运算的排列都很有规律，按照规律可以考虑每 4 个数为一组添上括号，每组数的运算结果是否也有一定的规律？可以看到把每组数中第 1 个数减第 3 个数，第 2 个数减第 4 个数，各得 0.02，合起来是 0.04，那么，每

3、组数（即每个括号）运算的结果都是 0.04，整个算式 100 个数正好分成 25 组，它的结果就是 25 个 0.04 的和。1 0.990.980.970.960.95 0.940.93 0.040.03 0.020.01=（10.99 0.980.97）（0.96 0.950.94 0.93） （0.04 0.030.02 0.01）=0.04 ×25=1如果能够灵活地运用数的交换的规律，也可以按下面的方法分组添上括号计算：1 0.990.980.970.96 0.950.940.93 0.04 0.030.020.01=1（0.99 0.980.970.96）（ 0.950.9

4、4 0.930.92）（ 0.030.02 0.01）=1三、计算：0.10.20.3 0.8 0.9 0.100.11 0.12 0.19 0.20解：这个算式的数的排列像一个等差数列，但仔细观察， 它实际上由两个等差数列组成，0.10.20.3 0.8 0.9 是第一个等差数列，后面每一个数都比前一个数多0.1，而 0.10 0.110.12 0.190.20 是第二个等差数列，后面每一个数都比前一个数多 0.01，所以，应分为两段按等差数列求和的方法来计算。0.1 0.2 0.3 0.80.90.10 0.110.12 0.190.2 =（0.10.9）×9÷2（ 0

5、.100.20）×11÷2 =4.51.65=6.15四、计算：9.9 ×9.9 1.99解：算式中的 9.9 ×9.9 两个因数中一个因数扩大 10 倍，另一个因数缩小 10 倍，积不变，即这个乘法可变为 99×0.99+1.99 可以分成 0.991 的和，这样变化以后，计算比较简便。9.9 ×9.91.99=99×0.99 0.991=（991）×0.99 1=100五、计算：2.437 ×36.54243.7 ×0.6346解：虽然算式中的两个乘法计算没有相同的因数，但前一个乘法的2.4

6、37 和后一个乘法的 243.7 两个数的数字相同，只是小数点的位置不同，如果把其中一个乘法的两个因数的小数点按相反方向移动同样多位，使这两个数变成相同的， 就可以运用乘法分配律进行简算了。2.437 ×36.54243.7 ×0.6346=2.437 ×36.542.437 ×63.46=2.437 ×（36.5463.46）=243.7六、计算：1.1 ×1.2 ×1.3 ×1.4 ×1.5解：算式中的几个数虽然是一个等差数列，但算式不是求和， 不能用等差数列求和的方法来计算这个算式的结果。平时注意积

7、累计算经验的同学也许会注意到7、11 和 13 这三个数连乘的积是1001，而一个三位数乘1001，只要把这个三位数连续写两遍就是它们的积，例如578×1001=578578，这一题参照这个方法计算，能巧妙地算出正确的得数。1.1 ×1.2 ×1.3 ×1.4 ×1.5=1.1 ×1.3 ×0.7 ×2×1.2 ×1.5=1.001 ×3.6=3.6036练习15.467 3.8147.5334.18626.25 ×1.25 ×6.433.997 19.961.99

8、98 199.740.10.3 0.9 0.110.130.15 0.97 0.995199.9 ×19.98199.8 ×19.97623.75 ×3.9876.013 ×92.076.832 ×39.87720042005×2005200420042004×200520058（10.12 0.23） ×（ 0.120.23 0.34）（ 10.120.23 0.34）×（0.12 0.23）96.734 1.5363.2664.464100.8 ÷0.12511 89.1 90.3 88.6

9、 92.1 88.9 90.812 4.83 ×0.59 0.41 × 1.59 0.324 × 5.913 37.5 ×21.5 × 0.112 35.5 × 12.5 × 0.11214 9999×2222+3333× 333415 1989×1999-1988 × 2000奥数第二讲数的整除如果整数b 整除，或叫 b 的倍数。a 除以不为零数 b，所得的商为整数而余数为 0，我们就说 a 能被 b 能整除 a。如果 a 能被 b 整除，那么， b 叫做 a 的约数， a 叫做数的

10、整除的特征：（1）能被 2 整除的数的特征： 如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0，那么这个整数一定能被2 整除。（2）能被 3（或 9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或 9）整除，那么这个整数一定能被3（或 9）整除。（3）能被 4（或 25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或 25）整除，那么这个数就一定能被4（或 25）整除。（4）能被 5 整除的数的特征： 如果一个整数的个位数字是0 或 5，那么这个整数一定能被5 整除。（5）能被 6 整除的数的特征：如果一个整数能被2 整除，又能被 3 整除，那么这个数就一定能被6 整除。（6）能被 7（或

11、11 或 13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三位为一个数， 其余各位为另一个数， 如果这两个数之差是 0 或是 7（或 11 或 13）的倍数，这个数就能被 7（或 11 或 13）整除。（7） 能被 8（或 125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被 8 （或 125）整除，那么这个数就一定能被 8（或 125）整除。（8） 能被 11 整除的数的特征： 如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被 11 整除，那么它必能被 11 整除。一、 例题与方法指导例 1、下列各数哪些能被 7 整除？哪些能被 13 整除？（数的整除特征）88205， 167128

12、 ， 250894 ， 396500 ，675696， 796842 ， 805532 ， 75778885 。例 2、一个六位数 2356是 88 的倍数 , 这个数除以 88 所得的商是 _或_.思路导航：一个数如果是 88 的倍数 , 这个数必然既是 8 的倍数 , 又是 11 的倍数 . 根据 8 的倍数 , 它的末三位数肯定也是 8 的倍数 , 从而可知这个六位数个位上的数是 0 或 8. 而 11 的倍数奇偶位上数字和的差应是 0 或 11 的倍数 , 从已知的四个数看 , 这个六位数奇偶位上数字的和是相等的 , 要使奇偶位上数字和差为 0, 两个方框内填入的数字是相同的 , 因此

13、这个六位数有两种可能230560或238568又 230560 88=2620 238568 88=2711所以 , 本题的答案是 2620 或 2711.例 3、123456789 , 这个十一位数能被 36 整除 , 那么这个数的个位上的数最小是 _.思路导航：因为 36=9 4, 所以这个十一位数既能被 9 整除 , 又能被 4 整除 . 因为 1+2+ +9=45，由能被 9 整除的数的特征，（可知 +之和是 0（0+0）、9（1+8， 8+1，2+7，7+2， 3+6，6+3，4+5， 5+4）和 18（9+9）. 再由能被 4 整除的数的特征 : 这个数的末尾两位数是 4 的倍数

14、, 可知是 00,04, ，36， 72， 96. 这样 ,这个十一位数个位上有0,2,6 三种可能性所以 , 这个数的个位上的数最小是0.例 4、下面一个1983 位数99133 3 444 中间漏写了一个数字个991个( 方框),已知这个多位数被7 整除，那么中间方框内的数字是思路导航：33 3 444_.991 个991个=33310993+3410990+444990 个990个因为111111 能被7 整除，所以33 3 和 44 4 都能被7 整除 , 所以只要990个990个34 能被 7 整除，原数即可被7 整除 . 故得中间方框内的数字是6.例 5、有三个连续的两位数 , 它

15、们的和也是两位数 , 并且是 11 的倍数 . 这三个数是 _.思路导航：三个连续的两位数其和必是 3 的倍数 , 已知其和是 11 的倍数 , 而 3 与 11 互质 , 所以和是 33 的倍数 , 能被 33 整除的两位数只有 3 个, 它们是 33、66、99. 所以有当和为 33时, 三个数是 10,11,12；当和为 66时, 三个数是 21,22,23；当和为 99时, 三个数是 32,33,34.所以，答案为10,11,12 或 21,22,23或 32,33,34 。 注 “三个连续自然数的和必能被3整除” 可证明如下：设三个连续自然数为 n,n +1, n+2, 则nnn+(

16、+1)+(+2)n+3=3=3(n+1)所以， n(n1)(n2) 能被 3 整除 .二、巩固训练1. 有这样的两位数 , 它的两个数字之和能被 4 整除 , 而且比这个两位数大 1 的数 , 它的两个数字之和也能被 4 整除 . 所有这样的两位数的和是 _.2. 一个小于 200 的自然数 , 它的每位数字都是奇数 , 并且它是两个两位数的乘积 , 那么这个自然数是 _.3. 任取一个四位数乘 3456, 用 A 表示其积的各位数字之和 , 用 B 表示 A 的各位数字之和 , C表示 B 的各位数字之和 , 那么 C是 _.4. 有 0、1、4、7、9 五个数字，从中选出四个数字组成不同的

17、四位数，如果把其中能被 3 整除的四位数从小到大排列起来， 第五个数的末位数字是 _.1. 118符合条件的两位数的两个数字之和能被 4 整除 , 而且比这个两位数大 1的数 , 如果十位数不变 , 则个位增加 1, 其和便不能整除 4, 因此个位数一定是 9, 这种两位数有 :39 、 79.所以 , 所求的和是 39+79=118.2 195因为这个数可以分解为两个两位数的积，而且 15 15=225>200,所以其中至少有 1 个因数小于 15, 而且这些因数均需是奇数 , 但 11 不可能符合条件 , 因为对于小于 200 的自然数凡 11 的倍数 , 具有隔位数字之和相等的特点

18、 , 个位百位若是奇数 , 十位必是偶数 . 所以只需检查 13 的倍数中小于 200 的三位数 13 13=169 不合要求 ,13 15=195 适合要求 . 所以 , 答案应是 195.3. 9根据题意 , 两个四位数相乘其积的位数是七位数或八位数两种可能.因为 3456=384 9, 所以任何一个四位数乘3456, 其积一定能被 9 整除 , 根据能被 9 整除的数的特征 , 可知其积的各位数字之和A 也能被 9 整除 , 所以 A有以下八种可能取值:9,18,27,36,45,54,63,72.从而A的各位数字之和 B总是9, B的各位数字之和C 也总是9.4. 90+1+4+7+9

19、=21能被 3 整除 , 从中去掉 0 或 9 选出的两组四个数字组成的四位数能被 3 整除 . 即有 0,1,4,7 或 1,4,7,9 两种选择组成四位数 , 由小到大排列为 :1047,1074,1407,1470,1479,1497 . 所以第五个数的末位数字是 9.三、拓展提升1. 找出四个互不相同的自然数 , 使得对于其中任何两个数 , 它们的和总可以被它们的差整除 , 如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小 , 那么这四个数里中间两个数的和是多少？2. 只修改 21475 的某一位数字 , 就可知使修改后的数能被 225 整除 , 怎样修改？3. 试问 , 能否将由

20、1 至 100 这 100 个自然数排列在圆周上 , 使得在任何 5 个相连的数中 , 都至少有两个数可被 3 整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种排法；如果回答：“不能”，则需给出说明 .答案1. 如果最小的数是 1, 则和 1 一起能符合“和被差整除”这一要求的数只有 2 和 3 两数，因此最小的数必须大于或等于2. 我们先考察 2、3、4、5 这四个数 , 仍不符合要求 , 因为 5+2=7, 不能被 5-2=3 整除 . 再往下就是 2、 3、 4、 6, 经试算 , 这四个数符合要求 . 所以 , 本题的答案是 (3+4)=7.2. 因为 225=25 9, 要使修改后的数能被

21、25 整除 , 就要既能被 25 整除 , 又能被 9 整除 , 被 25 整除不成问题 , 末两位数 75 不必修改 , 只要看前三个数字即可 , 根据某数的各位数字之和是 9 的倍数 , 则这个数能被 9 整除的特征 , 因为2+1+4+7+5=19,19=18+1,19=27-8, 所以不难排出以下四种改法 : 把 1 改为 0；把 4改为 3；把 1 改为 9；把 2 改为 1.3. 不能 .假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的 100 个数 , 我们来按所排列顺序将它们每 5 个分为一组 , 可得 20 组 , 其中每两组都没有共同的数 , 于是 , 在每一组的 5 个数中都至少有

22、两个数是 3 的倍数 . 从而一共有不少于 40 个数是 3 的倍数 . 但事实上 , 在 1 至 100 的自然数中有 33 个数是 3 的倍数 , 导致矛盾 .奥数第三讲数字谜小朋友们都玩过字谜吧， 就是一种文字游戏， 例如 “空中码头 ”（ 打一城市名）。谜底你还记得吗？记不得也没关系，想想 “空中 ”指什么？ “天 ”。这个地名第 1 个字可能是天。 “码头 ”指什么呢？码头又称渡口，联系这个地名开头是 “天”字，容易想到 “天津 ”这个地名，而 “津 ”正好又是 “渡口 ”的意思。这样谜底就出来了：天津。算式谜又被称为 “虫食算 ”，意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了无法辨认，

23、需要运用四则运算各部分之间的关系， 通过推理判定被吃掉的数字， 把算式还原。 “虫食算 ”主要指横式算式谜和竖式算式谜， 其中未知的数字常常用 、 、等图形符号或字母表示。 文字算式谜是前两种算式谜的延伸， 用文字或字母来代替未知的数字， 在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的数字， 相同的数字或字母表示同一个数字。文字算式谜也是最难的一种算式谜。在数学里面，文字也可以组成许许多多的数学游戏，就让我们一起来看看吧。横式字谜一、例题与方法指导例 1、 ， 8， 97 在上面的 3 个方框内分别填入恰当的数字，可以使得这 3 个数的平均数是 150。那么所填的 3 个数字之和是多少？思路导航：

24、150×3-8-97-5=340所以 3 个数之和为 3+4+5=12。例 2、我学数学乐 ×我学数学乐 =数数数学数数学学数学在上面的乘法算式中， “我、学、数、乐 ”分别代表的 4 个不同的数字。如果“乐”代表 9，那么 “我数学 ”代表的三位数是多少？分析：学 =1，我 =8，数 =6， 81619×81619=6661661161例 3、÷（÷÷） =24 在式中的 4 个方框内填入 4 个不同的一位数，使左边的数比右边的数小，并且等式成立。思路导航：这样，我们可以先用字母代替数字，原等式写成：a÷（b÷c

25、÷d）=a×c×d÷b (去括号）当 a=1 时，有 6×8÷2=24，8×9÷3=24；当 a=2 时，有 4×9÷3=12， 6×8÷4=12， 8×9÷6=12；所以，满足要求的等式有： 1÷（2÷6÷8）=24，1÷（3÷8÷9）=24，2÷（ 3÷4÷9）=24，2÷（4÷6÷8）=24，2÷（6÷8

26、7;9）=24。例 4、 × =5； 12+ =，把 1 至 9 这 9 个数字分别填入上面两个算式的各个方框中，使等式成立，这里有3 个数字已经填好。分析：根据第一个等式，只有两种可能：7×8=56，6×9=54；如果为 7×8=56，则余下的数字有： 3、 4、 9，显然不行；而当6×9=54 时，余下的数字有： 3、7、8，那么， 12+3-7=8 或 12+3-8=7 都能满足。二、训练巩固1. 迎迎 ×春春 =杯迎迎杯，数数 ×学学 =数赛赛数，春春 ×春春 =迎迎赛赛在上面的 3 个算式中，相同的汉字代

27、表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。如果这 3 个等式都成立，那么， “迎+春 +杯 +数 +学 +赛 ”等于多少？分析：考察上面三个等式，可以从最后一个等式入手：能够满足：春春×春春 =迎迎赛赛 的只有 88×88=7744，于是，春 =8，迎 =7，赛 =4；这样，不难得到第一个为： 77×88=6776，第二个为： 55×99=5445；所以，迎 +春 +杯 +数 +学 +赛 =7+8+6+5+9+4=39。2. 迎+春×春=迎春，（迎 +杯）×（迎 +杯） =迎杯在上面的两个横式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表

28、不同的数字。那么 “迎 +春+杯”等于多少？分析：同样可以从第二个算式入手，发现满足要求的只有（ 8+1）×（8+1）=81，于是，迎 =8；这样，第一个算式显然只有：8+9×9=89；所以，迎 +春+杯=8+9+1=18。三、拓展提升1.在下列各式的 中分别填入相同的两位数：(1)5 × =2；(2)6 × 3。2. 将 39 中的数填入下列各式，使算式成立，要求各式中无重复的数字：(1) ÷ =÷；(2) ÷÷。3. 在下列各式的中填入合适的数字：(1)448 ÷ =；(2)2822 ÷ =

29、；(3)13 × = 4 6。4. 在下列各式的中填入合适的数：(1) ÷ 328 31；(2)573 ÷32 29；(3)4837 ÷ 74 27。答案与提示练习 224.(1)287； (2)17； (3)65。竖式字谜一、例题与方法指导例 1 在图 4-1 所示的算式中， 每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字那么 “喜欢 ”这两个汉字所代表的两位数是多少？分析： 首先看个位，可以得到 “欢 ”是 0 或 5，但是 “欢”是第二个数的十位，所以 “欢”不能是 0，只能是 5。 再看十位， “欢 ”是 5，加上个位有进位 1，那么，加起来后

30、得到的 “人”就应该是偶数，因为结果的百位也是 “人 ”，所以 “人”只能是 2；由此可知， “喜”等于 8。 所以， “喜欢 ”这两个汉字所代表的两位数就是 85。例 2 在图 4-2 所示的竖式中， 相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字如果：巧+解 +数 +字 +谜 =30，那么 “数字谜 ”所代表的三位数是多少？分析：还是先看个位， 5 个 “谜”相加的结果个位还是等于 “谜”，“谜”必定是 5（0 显然可以排出）； 接着看十位，四个 “字”相加再加上进位 2，结果尾数还是 “字”，那说明 “字 ”只能是 6； 再看百位，三个 “数”相加再加上进位 2，结果尾数还是 “数

31、”， “数 ”可能是 4 或 9； 再看千位，（1）如果 “数”为 4，两个 “解”相加再加上进位 1，结果尾数还是 “解 ”，那说明 “解”只能是 9；5+6+4+9=24，30-24=6，“巧”等于 6 与 “字 ”等于 6 重复，不能； （2）如果 “数”为 9，两个 “解”相加再加上进位2，结果尾数还是 “解 ”，那说明 “解”只能是 8；5+6+9+8=28，30-28=2，可以。所以 “数字谜 ”代表的三位数是965。例 3 图 4-4 是一个加法竖式，其中 E，F，I，N，O，R S，T，X，Y 分别表示从 0 到 9 的不同数字，且 F，S 不等于零那么这个算式的结果是多少？分

32、析：先看个位和十位， N 应为 0， E 应为 5；再看最高位上， S 比 F 大 1；千位上 O 最少是 8；但因为 N 等于 0，所以， I 只能是 1，O 只能是 9；由于百位向千位进位是 2，且 X 不能是 0，因此决定了 T、 R 只能是 7、8 这两个；如果T=7，X=3，这是只剩下了 2、4、6 三个数，无法满足 S、F 是两个连续数的要求。所以， T=8、 R=7；由此得到 X=4；那么， F=2，S=3，Y=6 。所以，得到的算式结果是 31486。二、训练巩固1. 在图 4-5 所示的减法算式中，每一个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字那么 D+G 等于多少？分析：

33、先从最高位看，显然 A=1 ，B=0， E=9；接着看十位，因为 E 等于 9，说明个位有借位，所以 F 只能是 8；由 F=8 可知， C=7；这样，D、G 有 2、4，3、5 和 4、6 三种可能。所以， D G 就可以等于 6， 8 或 10。2. 王老师家的电话号码是一个七位数， 把它前四位组成的数与后三位组成的数相加得 9063，把它前三位数组成的数与后四位数组成的数相加得 2529求王老师家的电话号码分析：我们可以用 abcdefg来表示这个七位数电话号码。由题意知，abcd+efg=9063，abc+defg=2529；首先从第一个算式可以看出， a=8，从第二个算式可以看出，

34、d=1；再回到第一个算式， g=2，掉到第二个算式， c=7；又回到第一个算式， f=9，掉到第二个算式，b=3；那么， e=6。所以，王老师家的电话号码是 8371692。3. 将一个四位数的各位顺序颠倒过来， 得到一个新的四位数 如果新数比原数大 7902，那么在所有符合这样条件的四位数中，原数最大是多少？分析：用 abcd 来表示愿四位数， 那么新四位数为 dcba，dcba-abcd=7902；由最高为看起， a 最大为 2，则 d=9；但个位上 10+a-d=2，所以， a 只能是 1；接下来看百位， b 最大是 9，那么， c=8 正好能满足要求。所以，原四位数最大是1989。三、

35、拓展提升1.已知图 4-6 所示的乘法竖式成立那么ABCDE 是多少？分析：由 1/7 的特点易知， ABCDE=42857 。142857×3=428571。2. 某个自然数的个位数字是 4，将这个 4 移到左边首位数字的前面，所构成的新数恰好是原数的 4 倍问原数最小是多少？分析：由个位起逐个递推： 4×4=16，原十位为 6；4×6+1=25，原百位为 5；4×5+2=22，原千位为 2；4×2+2=10，原万位为 0； 1× 4=4，正好。所以，原数最小是102564。奥数第四讲定义新运算定义新运算通常是用特殊的符号表示特定的

36、运算意义。 它的符号不同于课本上明确定义或已经约定的符号，例如 “+、-、 ×、 ÷、>、 <”等。表示运算意义的表达式，通常是使用四则运算符号，例如 ab=3a-3b，新运算使用的符号是，而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义， 严格按照规定的法则进行运算。 如果没有给出用字母表示的规则， 则应通过给出的具体的数字表达式，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。值得注意的是：定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质，所以，不能盲目地运用定律和运算性质解题。一、例题与方法指导例 1、设

37、 ab 都表示数，规定 a b 表示 a 的 4 倍减去 b 的 3 倍，即 ab=4×a-3 ×b, 试计算 5 6，65。解 56=5×4-6 ×3=20-18=265=6×4-5 ×3=24-15=9说明例 1 定义的 没有交换律，计算中不得将前后的数交换。例 2、对于两个数 a、b,规定 a b 表示 3×a+2×b,试计算（56） 7，5（ 6 7）。思路导航：先做括号内的运算。解：（56） 7=（ 5×3+6×2） 7=277=27×3+7×2=955（ 67）=

38、5（ 6×3+7×2） =532=5×3+32×2=79说明本题定义的运算不满足结合律。这是与常规的运算有区别的。例 3、已知 23=2×3×4， 42=4×5，一般地，对自然数 a、b， a b 表示 a× (a+1) ×（a+b-1）.计算（ 63）-（52）。思路导航：原式 =6×7-5 ×6=336-30规定： a=a+(a+1)+(a+2)+ +（a+b-1）,其中 a,b 表示自然数。例 4、已知 13=1+2+3=6，求 1100 的值。已知 x10=75,求 x.思路导

39、航：（1）原式 =1+2+3+100= （1+100）×100÷2=5050（2）原式即 x+(x+1)+(x+2)+ +（X+9） =75, 所以： 10X+(1+2+3+ +9)=7510x+45=7510x=30x=3例 5、定义运算： ab=3a+5ab+kb，其中 a， b 为任意两个数， k 为常数。比如： 2 7=3×2+5×2×7+7k。（ 1）已知 52=73。问： 8 5 与58 的值相等吗？（ 2）当 k 取什么值时，对于任何不同的数 a，b，都有 a b=ba，即新运算 “” 符合交换律？分析与解：（ 1）首先应当确定新

40、运算中的常数 k。因为 52=3×5+5×5×2+k×2=65+2k，所以由已知 52=73，得 65+2k=73，求得 k=（73-65）÷2=4。定义的新运算是：ab=3a+5ab+4b。85=3×8+5×8×5+4×5=244， 5 8=3×5+5×5×8+4×8=247。因为 244247，所以 855 8。（ 2）要使 ab=ba，由新运算的定义，有3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，3a+kb-3b-ka=0，3×(a-b)-k(a-b)=

41、0，(3-k)(a-b)=0。对于两个任意数 a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即 k=3。当新运算是 ab=3a+5ab+3b 时，具有交换律，即ab=ba。例 6、对任意的数 a，b，定义： f（ a） =2a+1， g（b）=b×b。（ 1）求 f（ 5） -g（3）的值；（ 2）求 f（ g（ 2） +g（f（ 2）的值；（ 3）已知 f（x+1）=21，求 x 的值。解：（ 1） f（5）-g（3）=（2×5+1）-（3×3）=2；（ 2） f（g（2） +g（ f（2）=f（ 2×2）+g（2×2+1）=f（ 4） +g（5）=

42、（2×4+1）+（5×5） =34；（ 3） f（x+1） =2×（x+1）+1=2x+3，由 f（x+1） =21，知 2x+3=21，解得 x=9。二、巩固训练1、 若对所有 b,a b =a ×x,x 是一个与 b 无关的常数； ab=(a+b) ÷2, 且（ 1 3） 3=1（ 33）。求（ 1 4） 2 的值。2 、 如果 规定 ： =2×3×4 ， =3×4×5 ， =4×5×6 ， ， =8×9×10 ，求+-+-+-的值。3、对于任意的两个数 a 和

43、b，规定 a*b=3 ×a-b ÷3。求 8*9 的值。4、对于任意的两个数 P， Q，规定 PQ=（P×Q）÷4。例如： 2 8=（2×8） ÷4。已知 x（ 85）=10，求 x 的值。5、定义：定义：a b=ab-3b，ab=4a-b/a。计算：（4 3） （24）。6、已知： 23=2×3×4，45=4×5×6×7×8，求（ 44）÷（3 3）的值。7、定义两种运算 “”和“”如下：ab 表示 a，b 两数中较小的数的 3 倍，ab 表示 a，b 两数中较大

44、的数的 2.5 倍。比如： 45=4×3=12，45=5×2.5=12.5。计算： (0.60.5)+(0.30.8) ÷(1.20.7)-(0.640.2)。8、设 m，n 是任意的自然数， A 是常数，定义运算 mn=（ A×m-n）÷4，并且 23=0.75。试确定常数 A ，并计算：（ 5 7） ×（ 2 2）÷（ 32）。9、对任意两个不同的自然数a 和b，较大的数除以较小的数，余数记为a b。比如 7 3=1，529=4，420=0。（ 1）计算： 19982000，（519） 19， 5（ 195）；（ 2）已

45、知 11 x=4，x 小于 20，求 x 的值。10、对于任意的自然数 a，b，定义： f （a） =a×a-1，g（b）=b÷2+1。（ 1）求 f（ g（ 6） -g（ f（3）的值；（2）已知 f（ g（x ）=8，求 x 的值。奥数第五讲周期性问题在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现。如：人调查十二生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪；一年有春夏秋冬四个季节；一个星期有七天等。 像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题， 我们称为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解决。在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重

46、复出现的规律，也就是找出循环的固定数， 如果正好有个整数周期， 结果为周期里的最后一个；如果不是从第一个开始循环， 利用除法算式求出余数， 最后根据余数的大小得出正确的结果。一、例题与方法指导例 1、某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期 _.思路导航：因为 7 4=28，由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是29 天，且2月1日与2月 29 日均为星期日， 3 月 1 日是星期一，所以从这年3月 1日起到这年 6月1日共经过了31+30+31+1=93(天).因为 93 7=132，所以这年 6 月 1 日是星期二 .例 2、1989 年 12 月 5 日是星期二 , 那么再过十

47、年的 12 月 5 日是星期 _. 思路导航：依题意知，这十年中1992 年、 1996 年都是闰年，因此，这十年之中共有36510+2=3652（天）因为（ 3652+1）7=5216，所以再过十年的12 月 5 日是星期日 . 注 上述两题 ( 题 1题 2) 都是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运用周期性解答. 在计算天数时一闰，整百不闰，四百年才又一闰”的规定，即公历年份不是整百数时，只要是是闰年，公历年数为整百数时，必须是400 的倍数才是闰年., 要根据“四年 4 的倍数就例 3、按下面摆法摆 80 个三角形 , 有_个白色的

48、.思路导航：从图中可以看出 , 三角形按“二黑二白一黑一白”的规律重复排列，也就是这一排列的周期为 6，并且每一周期有 3 个白色三角形 .因为 80 6=13 2，而第十四期中前两个三角形都是黑色的， 所以共有白色三角形 13 3=39（个） .例 4、节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯 . 也就是说 , 从第一盏白灯起 , 每一盏白灯后面都紧接着有 3 盏彩灯 , 小明想第 73 盏灯是 _灯.思路导航：依题意知 , 电灯的安装排列如下 :白, 红, 黄, 绿, 白, 红, 黄, 绿, 白, 这一排列是按“白，红，黄，绿”交替循环出现的，也就是这一

49、排列的周期为 4.由 73 4=181, 可知第 73 盏灯是白灯 .例 5、时针现在表示的时间是 14 时正 , 那么分针旋转 1991 周后 , 时针表示的时间是_.思路导航：分针旋转一周为1 小时 , 旋转 1991 周为 1991 小时 . 一天 24 小时 ,1991 24=82 23，1991 小时共 82 天又 23 小时 . 现在是 14 时正 , 经过 82 天仍然是 14 时正 , 再过 23 小时, 正好是 13 时. 注 在圆面上 , 沿着圆周把1 到 12 的整数等距排成一个圈, 再加上一根长针和一根短针, 就组成了我们天天见到的钟面 . 钟面虽然是那么的简单平常 , 但在钟面上却包含着十分有趣的数学问题 , 周期现象就是其中的一个重要方面 .例 6、在100 米地跑道两侧每隔 2 米站着一个同学。这些同学从一端开始，按两女生，再一男生地规律站立着。问这些同学中共有多少个女生？解：一侧： 100÷2=50（人） 50+1=51（人）51÷（ 2+1） =17 组一组里有 2 个女生，女生 2× 17=34（人）两侧共有女生 34×2=68（人）答：共有女生68 人。二、巩固训练1. 把自然数 1,2,3,4,5如表依次排列成 5 列，那么数“