2.3.1离散型随机变量的数学期望

1、某校为了解学生迟到情况，每天记录迟到人数下表是在100天中的记录计算每天平均有多少人迟到？问题：已知分布列如何求均值?人数0123天数30302020解法1:(0 X 30+1X 30+2 X 20+3 X 20)/100=1.3X0123P30/10030/10020/10020/100解法 2:0 X 0.3+1 X 0.3+2 X 0.2+3 X 0.2=1.3新课讲授一般地，若离散型随机变量X的概率分布为XX1X2 XnPPiP2 Pn则称E(X)=X1P1 + x2P2HXnPn为X的均值或数学期望，记为E(x)其中pQO, i = l, 2, ,n； P1+P2Pn=l随机变量的均

2、值或数学期望反映了随机变量 取值的平均水平一般地，若离散型随机变量X的概率分布为XX1X2 XnPPiP2 Pn新课讲授证明见P60和p73贝!J称E(X)=X1P1 + X2P2H乂心为X的均值或数学期望若Y二aX+b，其中a, b为常数,那么E (Y) =?可以证明：E (aX+b)二aE(X)+b练习：1、某射手射击所得环数E的分布列如下:45678910P0.020.040.060.090.280.290.22能否估计出该射手n次射击的平均环数？8.322、甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下,他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X" X2表 示，X1? X2的概

3、率分布下：X】0123Pk0.70.10.10.1X20123Pk0.50.30.20例1:已知随机变量确分布列如下:X-2-1012P1111435m20求m的值;求E(X)；11762(3)若 Y=2X-39 求 E(Y).石;一兀厂W变试训练1设离散型随机变量e可能的取值为 1,23,4, P=k) =ak+b(k=1,2,3,4), 又d的数学期望E() = 3,则a+b =©答案110几何分布：独立重复试验（贝奴利试验）中， 事件首次发生所需要的试验次数X服从几何分布 超几何分布：设有总数为N件的两类物品，其中 有一类物品的件数为M,从所有物品中任取n件（n不超过N）,这n

4、件中所含的这类物品的件数X所服从的分布.二项分布：n次独立重复试验（贝奴利试验）中,事件发生的次数X服从二项分布.两点分布：1次试验（贝奴利试验）中，事件发 生的次数X服从两点分布.例2：个袋子里装有大小相同的2个白球和1个 黑球，有放回的从中取球，取了4次，求取到黑球个数的期望.X01234P16/8132/8124/818/811/81E(X)=4/3若XB (n, p),则E (X) = np 例3： 次单元测验由12个选择题构成，每个选 择题有4个选项，其中仅有一个选项正确，每题 选对得5分，不选或选错不得分，满分60分学生 甲选对任意一题的概率为09,学生乙则在测验中 对每题都从各选

5、项中随机地选择一个分别求学 生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值.甲选项正确的个数XB(12, 0.9) E(X)=10.8 甲得分 ¥=5X E(Y)=54乙的选项正确的个数ZB(12,025) E(Z)=3乙得分 Z=5Z E(ZS)=15例4 一个袋子里装有大小相同的5个白球和4个黑 球，从中任取3个，求其中所含白球个数的期望.X0123P4/8430/8440/8410/84X服从超几何分布，E(X)=140/84=5/3X服从超几何分布，E(X)=Nm/N=3*15/9=5/3 例5 个袋子里装有大小相同的5个白球和4个黑 球，从中取出一个小球若是黑球则放回重取，若 是白球则

6、停止取球，求停止取球时所需要的取球次数X的期望.X1234.P5/920/8180/729320/6561若X服从两点分布，贝!|E (X)二P 若XB (n, p),则E (X)二 np 若X服从参数为N, M, n的超几何分布, 贝(X)二也N若X服从几何分布，则E (X)二丄P2、性质(1) E(aX+b) = aE(X)+b(2) E(aX+bY) = aE(X) + bE(Y)实际应用:1 统计表明：商场内的促销活动可获得经济效益2万元；商场外的促销活动，如果 不遇雨天则带来经济效益10万元，如果遇 雨天则带来经济损失4万元，假设五一劳动节 有雨的概率是40%,请问商场应该选择哪 种

7、促销方式较好?4.4>22：根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率 为0. 25,有大洪水的概率为0. 01.该地区某工地 上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000 元，遇到小洪水时要损失10000元，为保护设备, 有以下3种方案：(1) 运走设备，搬运费为3800元.II(2) 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能 防小洪水.(3)不采取措施. 试比较哪一种方案好3根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险 的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的 概率为03,设各车主购买保险相互独立.(1) 求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中 的1种的概率；X表示该地的100位车主

8、中，甲、乙两种保 险都不购买的车主数，求X的期望.解：设A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险;表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购 买甲种保险；C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种 保险中的1种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不 购买.(l) P(A)=0.5, P(B)=03, C=AUBfP(C) =P(AUB) =P(A) +P(B) =0.8.D=C, P(0=1P(Q=1O8=O2,M(100,0.2),即*服从二项分布, 所以期望 = 100X0.2=20.4：随机抽取某厂的某种产品200件，经质检, 其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、

9、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的 利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品 亏损2万元，设1件产品的利润（单位：万元）为（1）求f的分布列;（2）求1件产品的平均利润（即f的数学期望）;（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品,但次品率降为1%, 等品率提高为70%.如果此 时要求1件产品的平均利润不小于473万元，贝!J 三等品率最多是多少？解：f的所有可能取值有6,2,1, -2；,、126,、50临=6)=丽=0.63, P(f =2)=丽=0.25,临=1)=爲=。丄4临=一2)=丽=0.02故f的分布列为：621-2P0.630.250.10.02(2) E(f ) =

10、6X0. 63 + 2X0. 25 + 1X0. 1 + (-2) X0. 02=4. 34(3) 设技术革新后的三等品率为舟 则此时1件产品 的平均利润为£(力=6X0.7 + 2X (1 一0.7-0.01力+lXx+ (-2) X0.01=4. 76x(0W泾0. 29)依题意，&力24.73,即476-xM473 解得03,所以二等品率最多为3%.5如图所示，Af力两点之间有6条并联网线，它们能通过的最大信息量分别为1, 1, 2, 2, 3, 4,现从中取三条网线.(1)设从力到*可通过的信息总量为舟当时，可 保证使网线通过最大信息量信息畅通，求线路信息畅 通的概率；(2)求通过的信息总量的数学期望.4解：（1）总量为 6 时，6=1 + 1+4=1 + 24-3,故 P（jt=6）1+。2哙1C?=4;总量为7时，71+2 + 42 + 2 + 3,故 PQv=7）=l+G111C?=4;总量为8时,丄10