2.5平面向量应用举例【很好】

1、1. 向量在几何中的应用解决的问题：比如：距离、平行、三点共线、垂直、 夹角等几何问题2. 向量在物理中的应用解决的问题：比如：力、速度等物理问题25f年曲花轲綸向量方该例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几 何模型。如图，你能发现平行四边形两条对角 线的长度与两条邻边的长度之间的关系吗？一般化AC2 + DB2 =2(AB2+AD2)中，该关系 是否依然成 立？即证AC + DB2 AB + AD例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和已知：平行四边形ABCDo 求证脑 + BC2 + CD2 + 加二 AC2 + BD2 分析：因m平彳疋边形对边平行且相 等，故设AB = a,A

2、D = b其它线段对应向 量用它们表示。解：设二二& ,贝lj BC = b,DA = a,AC = a + bDB =a-bAB2+BC2+CD2+DA2=2(a +b )AC2 +BD2-2 - 2-2 一 -2 -2 一 -2 (-2 -2、(>a=a +2ab + b +a -lab + b =2a +b=2J/J-2、+ b/ AB2 + BC2 + CD2 +DA2 = AC2 + BD2例2如图，UaBCD中，点E、F分别 是AD、DC边的中点，BE、BF分别 与AC交于R、T两点，你能发现AR、 RT、TC之间的关系吗？猜想：AR=RT=TC(271 ©

3、) s + gw H (g+岂蚩BL 7 L 7 0 (gT!sw/+:?= * M MH + =凶弋來囤m出(0+0)1/H皋轻抵*2Z吗屈 t > I <7 + ©h opwd H Hvoq = aw© u m 居蟾解得:1n=m =3所以= jAC,同理疋=*疋,于是丽=| AC故 AT=RT=TC用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：(1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量 问题；常设基底向量或建立向量坐标。(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如距离、夹角等问题；(3) 把运算结果“翻译”

4、成几何元素。简述：形到向量一 量的运算向量和数到形练习1、证明直径所对的圆【周角是直角如图所示，已知oo, AB为直径，C 为。O上任意一点。求证ZACB=90° 分析:SffiZACB=90 ,只须证向 量花丄互弓卩垂两二0。解：设 AO = a,OC = b(a o /BA则 AC = a + b,CB = a9-b(:+耳(一可由此可得AC CB =即 AC CB = O,得 ZACB=90°思考：能否用向量 坐标形式证明？f 2 f 2f 2-a -b - a - br2 r2 = 0me kibilC2.52向量在物鰹屮的惑用MI：同一平面内，互成120°

5、;的三个大小相等的共点 力的合力为零。证：如图，用二b9 7表示这3个共点力, 且a, b： c直成120。，模相等，按照向 量的加法运算法则，有：a+b +c a+ (b +c) =a+OD又由三角形的知识龜 三角形OBD 为等边三角形，故了与OD共线且模相等所以：od= 即有:a+ b+ c =0me kibilC例2：在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越 小越省力！你能从数学的角度解释这个现象吗？分析：上述的问题跟如图所示的是同个问题，抽象为数学模 型如下：F2用向量F” F2,表示两个提力， 它们的合向量为F,物体的重力

6、 用向量G来表示，Fp F2的夹 角为6如右图所示，只要分清 F, g和e三者的关系，就得到 T问题得数学解释！解：不妨设IF=|F2|,由向量的平行四边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识， 可以知道：|FJ =2cos|G|"eT(*)通过上面的式子，有：当e由o軍180。逐渐变 大时，寻由0。到90。逐渐变大,COS2的值由大逐 渐变小7因此：|叫由小逐渐变大，即F , F?之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力!探究:9COS万G 2（1）e为何值时，|f最小，最小值是多少？IG答：在（*）式中，当8=0。时，cos弓最大，IF最小且等于勺（2）|F|能等于|G|吗？为什么？答

7、：在（*）中，当 cosy =y-即6=120。时，|F=|G|小结:(1) 、为了能用数学描述这个问题，我们要先把这一物 理问题转化成数学问题。如上题目，只考虑绳子和物体的 受力平衡，画出相关图形！(2) 、由物理中的矢量问题化成数学中的向量问题, 用向量的有关法则解决问题！、用数学的结果解决物理问题，回答相关的物理现象。练习；(1)如图所示，用两条成120。的等长的绳子悬挂- 个灯具，已知灯具的重量为10N,则每根绳子的拉力是 10N如图，今有一艘小船位于d = 60m宽的河边P 处，从这里起，在下游/ =80m处河流有一处瀑 布，若河水的流速方向由上游指向下游(与河 岸平行)，水速大小为5m/s为了使小船能安全 过河，船的划速不能小于多少？当划速最小时, 划速方向如何？60mI 二:I 分析：用向量来分别表示河流的水流速度、船速 和它们的合速度为W亠 船的实际速度为向臺水&合水其方向为临界方向PQ,船只要朝着这个方向行 驶，它就不会掉下瀑布，如（右）图所示：,由题意,提问:表示划船速度的向量怎样画?从图上看，哪个速度