CFD2012-第四章

1、Computational Fluid Dynamics 所有图片来自互联网，由所有图片来自互联网，由google搜索引擎提供搜索引擎提供 第四章第四章 有限差分法有限差分法知识点：知识点： 差分方法的理论基础差分方法的理论基础 （相容、收敛、稳定性；（相容、收敛、稳定性；Lax等价定理；精度、修正方程等价定理；精度、修正方程; 守恒性）守恒性） 差分格式的构造差分格式的构造 差分格式的差分格式的Fourier分析分析 第四章第四章 有限差分法有限差分法传统计算方法：传统计算方法： 有限差分法，有限差分法， 有限体积法有限体积法 ， 有限元法，有限元法， 谱方法（谱元法）等；谱方法（谱元法）等

2、；最近发展的方法最近发展的方法: 基于粒子的算法（格子基于粒子的算法（格子-Boltzmann, BGK），无网格），无网格 优点优点缺点缺点适用范围适用范围有限差分法有限差分法简单成熟，可构造简单成熟，可构造高精度高精度格式格式处理复杂网格处理复杂网格不够灵活不够灵活相对简单外形的相对简单外形的高精度计算高精度计算有限体积法有限体积法守恒性好守恒性好，可处理，可处理复杂网复杂网格格不易提高精度不易提高精度（二阶以上方（二阶以上方法复杂）法复杂）复杂外形的工程复杂外形的工程计算计算有限元法有限元法基于变分原理，基于变分原理，守恒性好守恒性好对于复杂方程对于复杂方程处理困难处理困难多用于固体力学

3、多用于固体力学等等谱方法谱方法精度高精度高外形、边界条外形、边界条件简单件简单简单外形的高精简单外形的高精度计算度计算粒子类方法粒子类方法算法简单，可处理算法简单，可处理复杂外复杂外形形精度不易提高精度不易提高复杂外形的工程复杂外形的工程计算计算 4.1 一维均匀网格上的差分格式一维均匀网格上的差分格式1. 差分法基本原理差分法基本原理0uuatx基本功能：基本功能： 计算导数计算导数 j-2 j-1 j j+1 已知（一维均匀网格上的）函数分布，计算其导数值已知（一维均匀网格上的）函数分布，计算其导数值jujuxjux计算出离散点计算出离散点上的导数值上的导数值xuuxxuxxuxujjxj

4、10)()(lim最简单的差分格式：最简单的差分格式：时间积分，计算时间积分，计算出下一时刻的值出下一时刻的值微商微商差商差商nut离散化的处理离散化的处理离散网格点离散网格点离散化？离散化？离散化：就是用另外一个类似的表达式来近似它，离散化：就是用另外一个类似的表达式来近似它，但是这个近似表达式只在区域内有限多个离散点或但是这个近似表达式只在区域内有限多个离散点或控制体上规定了取值控制体上规定了取值偏微分方程偏微分方程封闭形式的解析解：未知函数在区封闭形式的解析解：未知函数在区域内的连续变化域内的连续变化数值解：只在区域内的离散点上给数值解：只在区域内的离散点上给出结果出结果代数差分代数差分

5、代数方程组代数方程组离散化：代数差分替代偏导离散化：代数差分替代偏导结构化网格只包含四边形或者六面体，非结构化网格是结构化网格只包含四边形或者六面体，非结构化网格是三角形和四面体三角形和四面体问题：已知均匀网格点上物理量的分布为问题：已知均匀网格点上物理量的分布为 ， 试给出导数在试给出导数在j点值点值 的表的表达式？达式？构建差分格式构建差分格式 jujxu构建差分格式的基本方法：构建差分格式的基本方法： 待定系数法待定系数法例：例： 使用使用j-2, j-1和和j，3个点上信息计算个点上信息计算Step 1: 确定基架点（确定基架点（Stencil） 差分基架点：计算差分基架点：计算j点导

6、数需要使用的点点导数需要使用的点根据计算量、精度需求等要求而定根据计算量、精度需求等要求而定Step2: 写成待定系数形式写成待定系数形式niiijxouauauaxu31221jux j-2 j-1 j j+1 niiijxouauauaxu31221Step3: 利用利用Taylor展开，确定系数展开，确定系数2323412311()()()()2!3!jjjjjuuuuuxxxOxxxx2323422311( 2)( 2)( 2)()2!3!jjjjjuuuuuxxxOxxxx 1221312312222212233331234( 2)( 1)1( 2)( 1)2!1( 2)( 1)3!

7、()jjjjjjjaua ua uaaauuaaxxuaaxxuaaxxOx 123122212012( 1)( 2)( 1)0aaaaaxaa 123143,222aaaxxx 32321317(43)()26jjjjjuuuuuxOxxxx差分格式差分格式截断误差截断误差 j-2 j-1 j j+1 a. 差分表达式（差分格式）、截断误差、精度差分表达式（差分格式）、截断误差、精度32321317(43)()26jjjjjuuuuuxOxxxx导数导数= 差分差分 +截断误差截断误差截断误差截断误差= )(nxO n阶精度问题：给定一个差分格式，如何判断精度？问题：给定一个差分格式，如何判

8、断精度？方法方法1： 理论推导理论推导: Taylor展开，计算截断误差项展开，计算截断误差项 （非线性格式推（非线性格式推导困难）导困难）方法方法2： 数值实验数值实验给定一测试函数（可精确求导），计算给定一测试函数（可精确求导），计算误差对网格尺度的依赖关系误差对网格尺度的依赖关系nxAerrxnAerrlnlnln)ln( xerrlnn = 斜率 4.2 差分格式的基本概念差分格式的基本概念例： 精度分析)cos()sin(xdxduxu精确解计算误差)cos(jjxFerr 分析误差对网格步长的依赖关系xlgerrlg 斜率为精度的阶数（通常用最小二乘法计算）lglglgxnerrx

9、errn斜率为精度的阶数n典型的文章： 提出方法+理论分析 + 算例验证常用的模：常用的模：为该离散函数的模为该离散函数的模j1模：模：2模：模：无穷模：无穷模：jjj1jjjN221jjjmax常用的验证算例（常用的验证算例（“实验验证实验验证”） 考核方法通常找一些难度大的（条件苛刻、极端）的算例。否则，无法突考核方法通常找一些难度大的（条件苛刻、极端）的算例。否则，无法突出方法的优越性。出方法的优越性。1维算例：维算例： Sod 激波管，激波管， Shu-Osher, 方波方波/尖波尖波 2维算例：维算例： 前前/后台阶、双马赫反射、二维后台阶、双马赫反射、二维Riemann问题、漩涡问

10、题、漩涡-激波干扰、翼型扰流、激波干扰、翼型扰流、圆柱绕流圆柱绕流3维复杂算例：维复杂算例： 各向同性湍流的各向同性湍流的DNS, 槽道湍流的槽道湍流的DNS, 激波激波-边界层干扰的边界层干扰的DNS Shu-Osher问题的计算结果问题的计算结果 （Li et al. Init. J. Num. Fluid. 2005)b. 前差、后差、中心差前差、后差、中心差前前后后)(1xOxuuxujjj)(2211xOxuuxujjj)(1xOxuuxujjj前差前差中心差中心差后差后差其他：其他： 向前（后）偏心差分向前（后）偏心差分； 差分方程差分方程 经差分离散后的方程，称为差分方程经差分离

11、散后的方程，称为差分方程半离散半离散 （只离散空间导数）（只离散空间导数）全离散全离散011xuuatuunjnjnjnj0 xuatu01xuuatunjnjn微分方程微分方程 = 差分方程差分方程+ 截断误差截断误差差分方程是一个代数方程，差分方程是一个代数方程，当网格点的数量趋于无穷多，当网格点的数量趋于无穷多，差分方程能否还原成原来的差分方程能否还原成原来的微分方程呢？微分方程呢？ j-2 j-1 j j+1 0 xuatud. 差分方程的修正方程差分方程的修正方程修正方程修正方程 差分方程准确逼近（无误差逼近）的方程差分方程准确逼近（无误差逼近）的方程微分方程微分方程=差分方程差分方

12、程+截断误差截断误差逼近差分方程逼近差分方程的微分方程的微分方程 差分方程差分方程=微分方程微分方程-截断误差截断误差 = 修正方程修正方程例：例： 微分方程微分方程的差分方程为的差分方程为：011xuuatuunjnjnjnj试计算其修正方程？试计算其修正方程？思路：思路： 先计算单个差分格式的截断误差，再计算差分方程的误差先计算单个差分格式的截断误差，再计算差分方程的误差.6221xxxxxnjnjnjuxuxxuuxutttttnjnjnjututtuutu6221.62622211tttttxxxxxxtnjnjnjnjututuxauxuauxuuatuu截断误差微分方程差分方程01

13、1xuuatuunjnjnjnj等价于0.626222tttttxxxxxxtututuxuxuau修正方程0 xuatuxxxtttxxttxtuauuauauu32)() 132(6)1 (2322Ouxauxaauuxxxxxxtxta通常，修正方程通常，修正方程不出现时间高阶导数不出现时间高阶导数项项 （便（便于进行空间分析）于进行空间分析）修正方程的主项修正方程的主项一阶精度；一阶精度；耗散型；耗散型；耗散还是色散？耗散还是色散？边界差分格式的构造边界差分格式的构造2cybyau边界网格点边界网格点多项式近似多项式近似在网格点在网格点1：在网格点在网格点2：在网格点在网格点3：au

14、122ycybau222ycybauyuuub243321cybyu2byuy1yuuuyuy2433211例：例： 一维热传导方程一维热传导方程xTtT221112xTTTtTTninininini的差分方程为的差分方程为：nininininiTTTxtTT11212抛物型微分方程抛物型微分方程推进变量是时间推进变量是时间t沿着时间方向逐步推进沿着时间方向逐步推进显式方法中每一个差分方程显式方法中每一个差分方程只包含一个未知数，从而这只包含一个未知数，从而这个未知数可以用直接计算的个未知数可以用直接计算的方式显式地求解！方式显式地求解！ 4.3 显式方法与隐式方法显式方法与隐式方法xTtT2

15、的差分方程为的差分方程为：2111111112222xTTTTTTtTTnininininininini克兰克克兰克-尼科尔森格式尼科尔森格式大时间步或高空间分辨率大时间步或高空间分辨率:伪振荡伪振荡在网格点在网格点2：T1是边界点，温度已知是边界点，温度已知在网格点在网格点3：在网格点在网格点4：在网格点在网格点5：在网格点在网格点6：在网格点在网格点7：e. 显格式及隐格式显格式及隐格式显格式：显格式： 无需解方程组就可直接计算无需解方程组就可直接计算n+1层的值；层的值；隐格式：隐格式： 必须求解方程组才能计算必须求解方程组才能计算n+1层的值；层的值；011xuuatuunjnjnjn

16、j01111xuuatuunjnjnjnj几点说明：几点说明：对于显式方法，一旦x取定，t就不是独立的，必须满足稳定性条件的限制，取值必须要小于某一个值。否则时间推进的过程很快就变成不稳定的；隐式方法没有这种稳定性的限制。无论t取得多大，都能得到稳定的结果；时间推进，时间是否要精确？对于定常解，时间变量要充分大；对于非定常解，时间精度需要保障，但是太大的t，会导致时间导数的差分表达式的截断误差随之增大；结论结论:显式格式方法建立及编程简单，但是有稳定性限制；显式格式方法建立及编程简单，但是有稳定性限制；隐式格式可以保持稳定性，但是方法的建立和编程更复杂。隐式格式可以保持稳定性，但是方法的建立和

17、编程更复杂。并行计算，显式并行计算，显式方法更具优势方法更具优势 4.4 差分格式的误差与稳定性分析差分格式的误差与稳定性分析离散误差：偏微分方程的精确解与相应的差分方程的精确解之间的差；离散误差：偏微分方程的精确解与相应的差分方程的精确解之间的差；舍入误差：对数值进行多次重复计算产生的数值误差；舍入误差：对数值进行多次重复计算产生的数值误差；例：例： 一维热传导方程一维热传导方程xTtT221112xTTTtTTninininini的差分方程为的差分方程为： mxikmmeAxxkixkemmxikmsincos, 3 , 2 , 12mmkm当求解过程从第当求解过程从第n步推进到第步推进到

18、第n+1步，如果步，如果i衰减，至少是不增衰减，至少是不增大，那么求解就是稳定的大，那么求解就是稳定的什么条件下什么条件下才成立？才成立？注意：边界点出没有误差注意：边界点出没有误差随机变化用随机变化用Fourier级级数解析的表示：数解析的表示：误差误差波数波数一个实际的数值解只涉及有限多个网格点，所以项数只能是有限多个一个实际的数值解只涉及有限多个网格点，所以项数只能是有限多个理论上，当项数趋于无穷大时，理论上，当项数趋于无穷大时，Fourier级数就能表示误差作为级数就能表示误差作为x的函数，的连续变化的函数，的连续变化m是给定区间内包含的波形的个数是给定区间内包含的波形的个数xL2mi

19、nmax 21,NmxikmmetAtx21,Nmxikatmeetx舍入误差随空间和时间舍入误差随空间和时间变化的表达式变化的表达式级数中每一项的变化方式与整个级数的级数中每一项的变化方式与整个级数的变化方式是一样的，于是，可以只考虑变化方式是一样的，于是，可以只考虑级数中的一项级数中的一项xikatmmeetx,假设区间上分布了假设区间上分布了N+1个网格点个网格点自然成立！自然成立！只要满足这个条件，在时间方向后面的只要满足这个条件，在时间方向后面的推进中，误差都不会增大，数值解将呈推进中，误差都不会增大，数值解将呈现稳定的态势，反之，误差将会持续增现稳定的态势，反之，误差将会持续增大，最终导致数值推进的解在计算机上大，最终导致数值推进的解在计算机上“爆掉爆掉”稳定性条件的具体形式稳定性