如何讲授数学文化课

1、如何讲授数学文化课南开大学 顾沛摘要：数学文化课，应该以讲授数学的思想、精神为中心，以提高学生的数学素养、文化素养、思想素养为中心；注意知识性、趣味性、思想性、应用性的统一，注意采取师生互动的教学方式，注意让各个专业的学生都有收获。关键词：数学文化课；讲授；数学思想；做法近年来南开大学的“数学文化”课被评为国家精品课程，“数学文化课程组”获全国五一劳动奖状；许多老师问我们：如何讲授数学文化课？南开大学从2000年筹备，2001年2月起开设“数学文化”课；起初是在一无教材、二无大纲的情况下开课的；现在虽然已经讲授过十轮了，但我仍然深感讲好该课程难度很大。数学文化类型的课程，目前名称各异，形式多样

2、，百花齐放，但可以归纳为两种，一种是为设有数学必修课的文、理科专业开设的，大多作为选修课出现；一种是为未设数学必修课的某些文科专业开设的，其中有的作为必修课，也有的作为选修课出现。南开大学文、理科所有专业都开设有“高等数学”必修课，所以“数学文化”课定位为校公共选修课。全校各个专业都有学生选修，已经成为大学生文化素质教育课程的一个亮点，每次选课都迅速爆满。今天，我想在“如何讲授数学文化课” 这个题目下，谈谈南开大学的做法，概括为两个“中心”、三点“注意”：以讲授数学的思想、精神为中心，以提高学生的数学素养、文化素养、思想素养为中心；注意知识性、趣味性、思想性、应用性的统一，注意采取师生互动的教

3、学方式，注意让各个专业的学生都有收获。南开大学的这些做法，与大家交流，也请大家指正。一、以讲授数学的思想、精神为中心数学文化课程当然要讲授数学知识，但并不以知识为中心，而是以讲授数学的思想、精神为中心。因此，该课程区别于一般数学课的一个特点是，它不一定要以数学的知识理论为线索组织材料、进行教学，可以从其他线索组织材料。南开大学的“数学文化”课经过一段时间的摸索后，现在除第一章“概述”外，第二、三、四章分别是从数学问题、数学典故、数学观点的角度切入，组织材料，讲授数学的思想、精神的。（参见本文后所附数学文化的目录）一些数学家在60岁以后愿意专门拿出时间、精力去编写有关数学思想、精神的书籍，表明他

4、们对此的重视。例如邓东皋先生等的数学与文化，齐民友先生的数学与文化，丁石孙先生主编的数学小丛书数学之花，李大潜先生主编的数学文化小丛书等，都是这样的书籍。但是作为校公共选修课的“数学文化”课，并不适宜摆开架势从理论上讲授数学的思想、精神。南开大学“数学文化”课的设计，不去探讨数学思想、精神的内涵（例如并没有“什么是数学思想”、“有哪些数学思想”这样的内容）；也不贪大求全，企图面面俱到地讲授数学的思想、精神；而只是在每一章节中，都尽量以讲授数学的思想、精神为中心。这就是我们强调的“以讲授数学的思想、精神为中心”的含义。这里有三点考虑。一点是，课程在介绍数学知识时，不仅仅希望学生了解这些知识的结论

5、，也希望学生能够体会这些结论如何被发现、被承认、被应用，又如何由此建立起科学的法则与原理。这其中就蕴涵着数学思想。另一点是，数学文化课决不是“数学概论”课，也不是“趣味数学”课，更不是“浅说数学”课，因此它可以选择数学的某些“点”，引导学生在这些点上做较为深入的了解，让学生在掌握“思想、精神”的基础上举一反三、触类旁通，以便在终身学习中，在需要的时候把这些“点”联结成“线”或“面”。第三点是，数学思想是蕴涵在数学知识中的，讲课中千万不能形成思想与知识的“两层皮”，应该做到它们的有机结合；做到讲授数学思想水到渠成，因势利导，画龙点睛。例1. 警句的冲击力和持久力 在第一节课上，我们就给出一些凝练

6、的句子，让学生对数学有一个总体的认识。“一个人不识字可以生活，但是若不识数，就很难生活了。”“一个国家科学的进步，可以用它消耗的数学来度量。” 前一句是比较通俗的话，却颇为深刻；后一句是比较文雅的话，非常精彩！关于对数学的定位，有三个“不仅是，也是”的提法：数学不仅是一种重要的工具，也是一种思维模式，即“数学方式的理性思维”；数学不仅是一门科学，也是一种文化，即“数学文化”；数学不仅是一些知识，也是一种素质，即“数学素质”。还有关于“数学不可替代”的一句话：“在提高一个人的推理能力、抽象能力、分析能力和创新能力方面，数学训练的作用，是其他训练难以替代的。”这些警句很容易记住。有的学生毕业几年后

7、回到学校，还谈起其中的某几句当时对自己的冲击力。例2. 数学抽象数学抽象是一种重要的数学思想。但不少学生对“数学抽象”有一种误解，认为“数学因抽象而枯燥、难懂、难学”。数学文化课应该努力扭转学生的误解，使之转化为“抽象是数学的重要思想、有力手段”。课程以“哥尼斯堡七桥问题”为载体，讲解“数学抽象”的思想。“哥尼斯堡七桥问题”要求“不重复地走遍七座桥”。大数学家欧拉提炼出问题的本质，把岛和岸抽象成点，把桥抽象成线，把“不重复地走遍七座桥”的问题抽象成“一笔画”问题，不但解决了原来百思不得其解的问题，而且创立了一个新的数学分支。例3. 演绎推理演绎推理也是一种重要的数学思想，在通常的数学课程中及本

8、课程中都反复涉及。而本课程在讲“第二次数学危机”的典故时，则从一个特殊的视角让学生体会演绎推理的严格性：贝克莱大主教对牛顿的“无穷小量”提出质疑，反映了微积分的逻辑基础不牢靠，数学家历经200年的时间，柯西等人给出“极限理论”，外尔斯特拉斯等人以 语言给出“实数理论”，才彻底反驳了贝克莱的责难。并且让学生由此看到，从逻辑顺序上应该先建立实数理论，再建立极限理论，再建立微积分理论；但是，建立微积分理论的历史顺序与逻辑顺序是不同的。例4. 合情推理合情推理也是一种重要的数学思想，它是发现新结论的一个途径；但合情推理的结论仅仅是猜测，这种猜测可能是正确的，也可能是错误的，还需要靠演绎推理去证明或证否

9、。合情推理包括归纳、类比等形式，在通常的数学课程中较少涉及，所以本课程专门用一节（两课时，90分钟）讲授合情推理，以“五个平面最多把空间分为多少个部分”的问题为载体。为节省时间，这里只讲“四个平面最多把空间分为多少个部分”的问题“类比”，是从事物在某些方面的相同推出它们在其它方面的相同。著名小品演员赵本山的一句台词“脑袋大、脖子粗，不是大款就是伙夫”，也是运用 “类比”的方法。如果从“1个平面最多能把空间分为2个部分，2个平面最多能把空间分为4个部分，3个平面最多能把空间分为8个部分”，类比想到“4个平面最多能把空间分为16个部分”，这确实是在用类比的方法；但结论是错误的。前面说过，合情推理的

10、结论可能是正确的，也有可能是错误的。怎么办？我们可以加进一些逻辑推理的成分，再进行下面的类比。考虑四面体的四个面无限延伸后，能把空间分为多少个部分？我们先类比考虑平面上三角形的三条边无限延伸后，能把平面分为多少个部分。画出图来就知道结论了：7个部分。现在我们可以加进一些逻辑推理的成分，分析一下这7个部分的特点：一个是有限的部分，在三角形内部，即图中 ；其余六个是无限的部分，其中，与三角形有公共顶点，与三角形有公共边。把它们加起来，于是1+3+3=7。所以3条直线分割平面，最多分为7个部分。 再类比地考虑四面体的四个面延展成4个平面，把空间分为多少个部分：1个有限的部分，在四面体的内部；若干个无

11、限的部分在四面体的外部，它们与原四面体或有一个公共顶点（有4个这样的部分），或有一条公共棱（有6个这样的部分），或有一个公共面（有4个这样的部分），于是所分空间总的部分数为 1+4+6+4 = 15 。由于采用的是类比的方法，这种合情推理的结论仍然“可能是正确的，也可能是错误的”，需要逻辑推理去证明或证否。限于篇幅，这里不再细讲了；事实上，“15”的结论是正确的。从这个例子，学生可以体会到：什么是“类比”；“类比”有什么用。二、以提高学生的数学素养、文化素养、思想素养为中心教育的目的是培养全面发展的“人”；课程既要丰富学生的知识，也要提高学生的能力，还要培养学生的素养；而数学文化课，更是要以提

12、高学生的数学素养、文化素养、思想素养为中心。上一点中我们已经较多地谈到提高学生的数学素养；现在再联系数学素养，谈谈提高学生的文化素养、思想素养。数学家对真、善、美的追求与献身精神，不畏艰难、勇于探索的精神，数学活动中质疑、批判与创新的精神，求真、务实与合作的精神，都饱含着丰富的人文精神。数学研究中理性的思维方式、处理问题中全面系统的方法、理论与实践相结合的科学精神，都与人文精神相辅相成。这种科学精神与人文精神的融合，在对学生人格养成、精神教化上是不可或缺的。例5. 高等数学与初等数学的区别无限与有限与初等数学相比，高等数学更多地采用“无限”的手段和工具，更多地在“无限”的领域中进行研究。例如，

13、“取极限”、“求导”、“求定积分”，都是采用“无限”的手段和工具。所以，让学生了解“无限”与“有限”有何本质的区别，又有何联系，是重要的。关于“无限”与“有限”的本质区别，我们在“数学文化”课的教学中用“有无限个房间”的旅馆的例子为知识载体来讲授。客观世界的旅馆都只有有限个房间，客满以后再来客人就无法安排了，老板只好请客人到别的旅馆去住。但是，“有无限个房间”的旅馆则不然，客满以后再来客人仍然可以安排；从而看出“无限”与“有限”的本质区别。当然，“有无限个房间”的旅馆是人脑的产物；数学的研究对象可以是人脑的产物。为了说话方便，不妨设一个房间只住一个客人。所谓客满，就是有无穷个客人，住进了这无穷

14、个房间，每一个房间都有人住了（为简单，所说“无穷”均指“可数无穷”）。这样的旅馆客满后又来了1位客人，老板能否安排？这时，老板可以先让原来房间里的客人都出来，然后让1号房间的客人搬到2号房间去住，让2号房间的客人搬到3号房间去住，让3号房间的客人搬到4号房间去住，等等，让k号房间的客人搬到k+1号房间去住；这样原来的客人就都有房间住了，而1号房间却空出来了，可以让新来的客人去住。（这段叙述的图示如下。） 1 2 3 4 k 2 3 4 5 k+1 这样，原来在“有穷”的情况下做不到的事情，在“无穷”的情况下就做到了。 可见“无限”与“有限”有本质的区别。这个例子还可以有许多扩展，有的扩展有一定

15、的难度，可以引发师生互动，可以讲解数学思想。在学生初步理解和掌握“无限”与“有限”的本质区别之后，可以让学生抢答下面的问题：构造一个无穷多个运动员百米赛跑，但结果没有第一名的例子。（要求表达出每一个运动员的百米成绩，且要求成绩接近实际，不能少于9秒）学生经过23分钟的思考后会踊跃举手，不少人能够给出正确的答案。答案不是唯一的，一种答案为：运动员 1 2 3 4 5 6 百米成绩 10秒 9.9秒 9.89秒 9.889秒 9.8889秒 由于其中每后一个人都比前一个人跑得快；没有最后的人，所以没有第一名。例6. 对数学的宏观认识和总体把握大学一年级的学生虽然已经学了13年的数学，但是常常只注重

16、具体的定理和公式，以为学数学就是为了应付考试，对数学的宏观认识和总体把握往往较差。数学文化课应该主动在这方面加大力度。例如关于“历史上三次数学危机”的介绍，跨度两千多年，还可以顺便涉及数系的发展过程、微积分的发展过程、集合论的发展过程，在提高学生对数学的宏观认识方面是有益的。例如关于“非欧几何”的介绍，关于“分形与混沌”的介绍，关于“数学公理化”的介绍，关于“数学机械化”的介绍，扩大了学生对数学的认识范围，提高了学生对数学的总体把握程度，同时也提高了学生的数学素养、文化素养和思想素养。例7. 数学家的责任感、使命感与献身精神课程在谈到阿基米德时，不但讲述他对数学的贡献，也讲述他为抵御入侵发明抛

17、石机的贡献，讲述他的爱国主义精神，还讲述他在被入侵士兵杀死前挺身保护研究几何的沙盘，讲述他为数学献身的精神。课程在谈到希尔伯特时，不但讲述他对数学的贡献，也讲述他应邀在第二届国际数学家大会上作报告时不讲自己的数学成就而专门讲23个数学问题，讲述他对数学研究的使命感；还讲述在德国发动第一次世界大战后他拒绝在虚伪的告文明世界书上签字，讲述他对历史的责任感；还讲述他帮助女性数学家诺特的事迹，讲述他的人品。这些，使学生不仅看到严谨丰富的数学，也看到活生生的数学家，在提高学生数学素养的同时，也提高了学生的文化素养和思想素养。三、注意知识性、趣味性、思想性、应用性的统一数学课常常被认为是枯燥难懂的、脱离实

18、际的；“数学文化”课应该澄清这些误解，应该唤起学生对数学的兴趣，应该让学生真正体会到数学有用，所以不但要注意课程的知识性和思想性，也要注意课程的趣味性和应用性。“数学文化”课每一节的引课，都应尽量设计得既有知识性又有趣味性；在每一节课程当中，则都应尽量设计得既有思想性又有应用性。例8. “黄金分割”一节的趣味性和应用性“黄金分割”一节从“兔子问题”和“斐波那契数列”引课，就既有知识性又有趣味性，然后逐渐转到几何角度表述的“黄金分割”问题。斐波那契数列相邻两项之比的极限就是“黄金比”。而“黄金比”的美和“黄金分割点”0.618多方面的应用，很有说服力。特别是华罗庚先生推广的“优选法”，及利用“黄

19、金分割点的再生性”把“优选法”大众化，从而为工农兵创造的“折纸法”，学生很感兴趣。每次我在课堂现场演示“折纸法”，都吸引了所有学生的眼球。当我说明正是因为“黄金分割点的再生性”，0.618法才比二分法更好时，许多学生都有一种“知识升华”的感觉；这时再画龙点睛地说一句：“美的事物与有用的事物，常常是有联系的。”就提升到思想、精神的层面了。例9. 现代数学知识的应用 数学的应用是非常广泛的，无论是数学思想的应用还是数学知识的应用，都是非常广泛的。但是许多学生误以为现代数学高深莫测，离实际应用很远。数学文化课应该扭转学生的这种误解。例如“对称的观点”一节，我们从“身边的对称”引课，讲到“对称变换群”

20、，再讲到“抽象群”；把看来似乎高深的知识讲得通俗易懂，也是知识性、趣味性、思想性的融合。（南开大学曾经让我讲全校的公开课，就是这节课。）在讲清群的定义和例子之后，再深入浅出地讲解“群在解决5次方程根式解问题上的应用”。伽罗瓦不再像前人那样，从方程的系数出发去表达根；而是从方程的根集出发，从根集的置换出发，发现这些置换不是一个普通的集合，而是一个具有群的结构的集合。由此解决了前人300年没有解决的“5次方程根式解的问题”。“晶体结构的分类问题”，最后也是依靠群的理论，证明了晶体只能有230种结构。再如“海岸线长度的问题”一节，从“不同版本的地图关于英国海岸线的长度说法不同”谈起，讲到与欧氏几何本

21、质上不同的分形几何，再讲到混沌，也是知识性、趣味性、思想性的融合。在讲到“分形与混沌的应用”时，可以举精神病监测和治疗的最新研究成果为例。正常人的脑电波不是周期的而是混沌的，精神病人发病时的脑电波却是周期的。精神病人并不总是处于发病的状态；但一旦发病就需要及时发现、及时治疗。因此可以在精神病人体内植入芯片监测其脑电波，一旦发现脑电波已经接近周期的了，就很可能要发病了，应该及时采取措施。这种对精神病人的监测已经应用于临床。进一步的研究是在其脑电波接近周期时，给他一个小刺激，使其脑电波重新回到混沌状态。但是由于混沌现象的一个特点是“对初值极端敏感”，刺激不当可能导致病人死亡，所以这种治疗方法仍然在

22、试验阶段，现在尚未应用于临床。这一段，学生会听得很专心，而且由此也记住了“混沌”的特点。例10. “数学文化”课中穿插数学游戏的效果适当穿插数学游戏，会加强课程的趣味性；选择合适的数学游戏，可以促成知识性、趣味性、思想性、应用性的统一。我们通过多年的教学实践，筛选出三个合适的数学游戏，成为“保留节目”，分别简称为“抓三堆”、“找次品”、“填骨牌”，效果较好。任课教师也可以随时搜集与教学内容相关的数学游戏，增添到教学实践中去。四、注意采取师生互动的教学方式任何教学都应该注意师生互动，像“数学文化”这种文化素质教育类的课程就更加应该注意师生互动。因为“数学文化”课并不仅仅以讲授数学知识为目的，而是

23、更加注重数学思想、精神的传授和学生数学素养的教化，所以“数学文化”课更加讲究对学生作为活生生的人的教育。这就不仅要求学生思维动起来，也要给他们动口动手的机会，提高学生的参与度，使他们有好奇、愿参与、会思考、懂交流、善表达、勇于实践、敢于创新。对学生来说，学习知识、提高能力是课程的目标；经历探索和交流的过程本身也是课程的目标。要让学生在学习过程中“学会学习”，培养出思考、表达、探索的能力，其效果将远远超出“获取具体知识”本身。例11 对“有无限个房间的旅馆”系列问题的课堂讨论前面曾经讲过的这个问题，可以扩展成系列问题，从中可以设计丰富多彩的师生互动，还可以借此讲解某些数学思想。扩展1：这样的旅馆

24、客满后又来了一个旅游团，旅游团中有无穷个客人，老板能否安排？这时，老板可以先让原来房间里的客人都出来，然后让1号房间的客人搬到2号房间去住，让2号房间的客人搬到4号房间去住，让3号房间的客人搬到6号房间去住，等等，让k号房间的客人搬到2k号房间去住；这样原来的客人就都有房间住了，而只占了偶数号房间，所有的奇数号房间都空出来了；有无穷多个奇数，这无穷个房间，正好可以让新来的无穷个客人去住。（这段叙述的图示如下。） 1 2 3 4 k 2 4 6 8 2k 扩展2：这样的旅馆客满后又来了一万个旅游团，每个团中都有无穷个客人，老板能否安排？这时，老板可以先让原来房间里的客人都出来，然后让1号房间的客

25、人搬到10001号房间去住，让2号房间的客人搬到20002号房间去住，让3号房间的客人搬到30003号房间去住，等等，让k号房间的客人搬到10001×k 号房间去住，这样原来的客人就都有房间住了（这段叙述的图示如下）。1 2 3 4 k 10001 20002 30003 40004 10001×k 同时，给出了一万个、又一万个的空房间 ，第一个一万个空房间 ，可以让新来的一万个旅游团每个团的第1号客人住，第二个一万个空房间 ，可以让新来的一万个旅游团每个团的第2号客人住，等等；第k个一万个空房间 ，可以让新来的一万个旅游团每个团的第k号客人住，于是新来的一万个旅游团中每一

26、个客人就都有房间住了。其实，如果我们对“扩展1”的问题有了本质的理解，“扩展2”的问题就可以迎刃而解了。在“扩展1”的问题中，让k号房间的客人搬到2k号房间去住，我们是用“偶数、奇数”的语言解释的。如果换一种说法，更能揭示问题的本质。“让k号房间的客人搬到2k号房间去住” ，这个2k里的2怎么来的？你如果把原来客满的旅馆中住的客人当作一个“有无穷个客人的旅游团”，现在又新来了一个“有无穷个客人的旅游团”，1+1=2，共有两个这样的旅游团；本质上，2k里的2是这样来的。正是因为共有两个这样的旅游团，所以把可数无穷个房间两个一份、两个一份地分，可以让这两个旅游团的第一号客人、第二号客人、 分别入住

27、。再类似看“扩展2”的问题，就也可以抓住本质了。你如果把原来客满的旅馆中住的客人当作一个“有无穷个客人的旅游团”，现在又新来了10000个“有无穷个客人的旅游团”，1+10000=10001，共有10001个这样的旅游团；所以只要让k号房间的客人搬到10001×k号房间去住，就解决问题了，因为这相当于把可数无穷个房间10001个一份、10001个一份地分，可以让这10001个旅游团的第一号客人、第二号客人、 分别入住。所以，即使都是正确的解答，其中有的可能是抓住本质的解答，有的则可能是没有抓住本质的解答。（应该教育学生在平常做习题时也注意这一点。）有了这个抓住本质的解答，该旅馆客满后

28、再来多少个“有无穷个客人的旅游团”，问题都能轻而易举地解决了。比如再来974623个这样的旅游团，因为1+974623=974624，所以只要让k号房间的客人搬到974624×k号房间去住，就解决问题了。可见，抓住本质的解答，是容易推广的。扩展3：这样的旅馆客满后又来了无穷个旅游团，每个团中都有无穷个客人，老板还能否安排？这时，刚才的方法用不上了；原因是新来的旅游团从有限个发展为无限个，从而需要另起炉灶，寻找新的方法。由此进一步看出，“无限”与“有限”有本质的区别。限于篇幅，关于“扩展3”的讨论这里略去了。扩展出的这一系列问题，教师可以启发学生讨论解决，课堂气氛会相当活跃，能够激发出

29、学生的兴趣、智慧和灵感，调动起学生的思维和联想，效果很好。教师还可以借此讲解如“一一对应”的思想、自然数与有理数“一样多”的含义等等。例12. 南开大学“数学文化”课中的师生互动除了课堂讲授中设计带有启发性的问题引起师生互动外，南开大学“数学文化”课中还通过“读书报告”、“课堂演讲”、“课外活动”、“半开卷考试”等环节开展师生互动。第一章的几节，每次课都安排1020分钟的时间，逐次递进地讨论“附录”中“抓三堆”的数学游戏，进行师生互动，引起学生的兴趣；后面的各节，每次安排一位学生的课堂演讲，大约15分钟。“数学文化”课鼓励学生上台演讲的改革措施，也受到学生的广泛欢迎。化学专业学生刘桂宾在“评课

30、意见”中写道：“提供给学生上课演讲的机会，是该课程最大的成功之处，也是区别于其它任何一门课程最显著的特色。从学生的准备：选择论题，查阅文献，组织加工材料；到登台演讲面对几十名师生的整个过程来看，锻炼了学生的各项能力，是一种综合能力的培养。”数学文化课带动了众多的课外活动。例如，举办了四届“数学文化节”；内部出版了三期学生数学文化论文集数学之美；举办数学文化活动实物展览，被北方网报道；“数学文化”课学生获南开大学本科生创新科研“百项工程”优秀项目特等奖一项、一等奖两项、二等奖、三等奖各一项；在南开“周末论坛”上举办两场数学文化讲座。这些课外活动，在大学生文化素质教育中发挥着独特的作用，成为校园文

31、化的一道道亮丽风景。五、注意让各个专业的学生都有收获“数学文化”课在南开大学是全校的公共选修课，选课的学生数学基础相差很大，所以特别注意让各个专业的学生都要有所收获。它看起来很难办到，其实是办得到的，因为课程以数学思想、精神为中心，作为载体的数学知识可以选择得比较浅显；对于不得已选取的较深的数学知识，教师讲解尽量深入浅出，让学生明白大意，去体会和理解其中的数学思想、精神。课堂演讲的环节，使文理科的学生、数学基础不同的学生得以互相交流，双方觉得都有启发和收获。 例13. 关于中国剩余定理的教学安排这节课并不从定义、定理出发，也不证明“中国剩余定理”，教学安排如下。从“韩信点兵”的故事和孙子算经中

32、“有物不知其数”的题目谈起，分别用“筛法”和“公倍数法”解决问题；再介绍“单因子构件凑成法”，并让学生体会“单因子构件凑成法”的一般性；然后用程大位在算法统宗里的一首歌诀呼应“单因子构件凑成法”的一般性；最后介绍秦九韶的“大衍求一术”即中国剩余定理，说明它的重要地位，也说明它就是“单因子构件凑成法”所得结果的推广；课上并不给出中国剩余定理的证明，而用它的一个“有趣的应用”结尾。这节课各专业的大多数学生都能够体会“单因子构件凑成法”，记住相关的结论，并且能够对照它去理解中国剩余定理，达到了预期的效果。例14. 数学底子较好的数学专业的学生为什么也抢着选修数学文化课南开大学数学学院各专业每年也都有不少学生选修数学文化课，吸引他们的，有两个方面。一方面是课程以数学的思想、精神为中心，虽然课程中的许多数学知识是他们过去知道的，但是课程现在这种讲法使他们觉得知识有所升华。另一方面是课程涉及到不少数学上的重大话题，是他们学过的任何一门数学课都不曾介绍的，如“分形与混沌”、“非欧几何”、“希尔伯特的23个问