勾股定理的运用

1、一.勾股定理中方程思想的使用方程思想是指：在含有直角三角形的图形中，求线段的长往往要使用勾股定理，如果无法直接用勾股定理来计算，则需要列方程解决。例题1如左图所示，有一张直角三角形纸片，两直角边ac=5cm，bc=10cm，将abc折叠，使点b与点a重合，折痕为de，则cd的长为（ ）分析：折叠问题是近几年来中考中的常见题型，解折叠问题关键抓住对称性，图中cd在tacd中，因为ac已知，要求cd，只需求ad，由折叠的对称性，得ad=bd，注意到cd+bd=bc，利用勾股定理即可解之。解：如右图所示，要使a，b两点重合，则折痕de必为ab的垂直平分线。连结ad，则adbd。设cdx，则ad=bd

2、=10x在rtacd中，由勾股定理，得故选d。点拨：勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可由此列出方程，使用方程思想分析问题和解决问题，以便简化求解。二.勾股定理中分类讨论思想的使用分类讨论思想是指：在解题过程中，当条件或结论不确定或不惟一时，往往会产生几种可能的情况，这就需要依据一定的标准对问题实行分类，再针对各种不同的情况分别予以解决。最后综合各类结果得到整个问题的结论。分类讨论实质上是一种“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学方法。例题2已知abc中，ab=20，ac=15，bc边上的高为12，求abc的面积。分析：应分abc是锐角三角形或钝角三角形两种情况分别

3、求之。解：ad是abc的高，由勾股定理，得bd2 = ab2 ad2 = 202 122 = 256, bd = 16cd2 = ac2 ad2 = 152 - 122 = 81, cd = 9（1）若c为锐角，如图（1）所示，则bc = bd + cd = 16 + 9 = 25（2）若c为钝角，如图（2）所示，则bc = bd cd = 16 9 = 7即abc的面积为150或42点拨：在一些求值计算题中，有些题目没有给出图形，当画出符合题意的图形不惟一时，要注意分情况实行讨论，避免漏解。三.勾股定理中类比思想的使用类比思想是数学学习的重要发现式思维，它是一种学习方法，同时也是一种非常重要

4、的创造性思维。它通过两个已知事物在某些方面所具有的共同属性，去推测这两个事物在其他方面也有相同或类似的属性。从而大胆猜想得到结论(必要时要加以证明)。例题3如图，分别以直角三角形abc三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用s1、s2、s3表示，则不难证明s1=s2+s3 （1）如图，分别以直角三角形abc三边为边向外作三个正方形，其面积分别用s1、s2、s3表示，那么s1、s2、s3之间有什么关系？(不必证明)（2）如图，分别以直角三角形abc三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别用s1、s2、s3表示，请你确定s1、s2、s3之间的关系并加以证明分析：从同学们熟悉的勾股定理入手，容易得证，

5、中要求出等边三角形的面积。解：设直角三角形abc的三边bc、ca、ab的长分别为、b、c，则c2 = 2 + b2（1）s1 = s2 + s3 （2）s1 = s2 + s3证明如下：显然，点拨：本题从特殊到一般，从已知到未知，类比勾股定理的探究过程，其关键就在于理解勾股定理当然，学习了相似三角形的知识后，还能够继续探究：分别以直角三角形abc三边为边向外作三个一般三角形，上述结论是否还成立呢？四.勾股定理中整体思想的使用整体思想是指：对于某些数学问题，如果拘泥常规，从局部着手，则难以求解；如果把问题的某个部分或几个部分看成一个整体实行思考，就能开阔思路，较快解答题目。例题4在直线l上依次摆

6、放着七个正方形（如图）已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是s1、s2、s3、s4，则s1s2s3s4=_分析：本题不可能求出s1、s2、s3、s4，但我们能够利用三角形全等和勾股定理分别求出s1s2、s2s3、s3s4解：易证rtabc rtcde ab = cd又cd2 + de2 = ce2,而ab2 = s3,ce2 = 3,de2 = s4s3 s4 = 3，同理s1 s2 = 1，s2 s3 = 2s1 s2 s2 s3 s3 s4 = 1 2 3 = 6，即s1 s2 s3 s4 4点拨：化零为整，化分散为集中的整体策略是数学解题的重要方法，

7、利用整体思想，不但会使问题化繁为简，化难为易，而且有助于培养学生的创造性思维水平。五.勾股定理中数型结合思想的使用所谓数形结合思想，就是抓住数与形之间本质上的联系，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而达到迅速解题的目的。例题5在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只爬下树直奔离树20m的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？分析：根据题意画出图形，再在直角三角形中使用勾股定理构建方程求解。解：如右图所示，d为树顶，ab = 10m，c为池塘，ac = 20m设bd的长是xm，则树高（x + 10）mac + ab = bd + dc，dc = 20 + 10 x在acd中a = 90°，ac2 + ad2 = dc2202 +（x + 10）2 = （30 x）2，解得x = 5x + 10 = 15，即树高15米点拨：勾股定理本身就是数形结合的一个典范，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点，