非对称方势阱中的粒子

1、非对称方势阱中的粒子量子力学PART 1理论基础PART 2非对称势阱PART 3.总 结CONTENTS理论基础一、薛定谔方程及能量本征方程 薛定谔方程（波动方程）薛定谔方程是量子力学的一个基本假定，薛定谔方程是量子力学的一个基本假定，它不能它不能从其他更基本的理论来获得证明其正确性只能通从其他更基本的理论来获得证明其正确性只能通过在具体情况下由方程得出的结论和实验结果相过在具体情况下由方程得出的结论和实验结果相比较来验证。比较来验证。反映了微观粒子运动规律，是量子反映了微观粒子运动规律，是量子力学中最基本的方程，其地位和经典力学中的牛力学中最基本的方程，其地位和经典力学中的牛顿方程相当顿方

2、程相当。22( , )( ) ( , )2 ir tV rr ttm 能量本征方程 现在现在讨论薛定谔方程的解讨论薛定谔方程的解。一般来说，粒子势能。一般来说，粒子势能V(r)V(r)可以是时间可以是时间t t的显函数，这种情况将在微扰论的显函数，这种情况将在微扰论中讨论；中讨论；考虑考虑特解特解：( , )( )( )r trf t 22( )( )( ) ( )2dirf tf tVrdtm 两边同时除以两边同时除以 (r)f(t)：2211( ) ( )( )( )2dif tVrf t dtrm 等式两边是相互无关的物理量，故等式两边是相互无关的物理量，故应等于与应等于与t, r无无关

3、的常数关的常数, ,设为设为E于是：于是：/( ) iEtf te (14)(14)式式Etiertr )(),( (16)(16) (14) (15)22( )( )( )( )2dif tEf tdtVrErm 22 ( )( )2VrErm 二、一维势阱 一维势阱中)()()(2222xExxvdxdm; 1)(vxv时在2ax时在22axa);(0)(xvxv时在2ax ; 2)(vxv经典禁止区）在势阱外（,2xa ; 0)(20222Evmdxd经典允许区）在势阱内（,2xa对势阱外方程求解令)0(2Evm;,2;,2xxxxBeeaxAeeax 边界条件：对阱内方程求解需要用at

4、lab辅助完成; 02222Emdxd;)2(;)2(22aaeaea三、微分方程数值求解的数学基础首先给出二阶常微分方程的及其边界条件，如下式： (2-2-1) 下面将应用差分方法来解决这个问题.差分方法的关键在于恰当的选取差商逼近微分方程中的导数，我们知道，逼近一阶导数可用向前差商也可用向后差商或者中心差商( , ,),( ),.( ),yf x y yy aaxby b()( )y xhy xh( )()y xy xhh()()2y xhy xhh 中心差商是向前差商和向后差商的算术平均.为逼近二阶导数 ，一般用二阶差商向前差商的向后差商(即向后差商的向前差商) 设将积分区间 ，划分为

5、等分，步长 ，节点 . 差商替代相应的导数，可将边值问题(2-2-1)离散化得到下面的公式：( )yx2()( )( )()( )()2 ( )().y xhy xy xy xhhhyxhy xhy xy xhh(2-2-2)(2-2-2) , a bNbahN0,0,1,.,nxxnh nN (2-2-3) 如果函数 是非线性的，那么所归结出的差分方程也是非线性的，这时实际求解比较困难. 如果所给方程(2-2-1)是如下形式的线性方程： (2-2-4) 则差分方程(2-2-2)相应的形式为:1111202(,),2,(1,2,.,1).,nnnnnnnNyyyyyf xyhhynNyf( )

6、 ( )( ).yp x yq x yr x(2-2-5)(2-2-5) 111122,(1,.,1).2nnnnnnnnnyyyyypq yrnNhh 其中 的下标 表示在 节点的取值. 利用边界条件(2-2-3)消除式(2-2-5)中的 和 ,整理得到关于 的下列方程组： (2-2-6) 这样归结出的方程组是所谓的三对角形的，即：rqp,nnx0yny(11)nynN22111211221122121111( 2)(1)(1) ,22(1)( 2)(1),22(1)( 2)(1) .22nnnnnnnNNNNNNhhh q yp yh rphhpyh qypyh rhhpyh qyh rp

7、 (22)nN (2-2-7) 将带有边界条件的二阶线性常微分方程转化为线性方程组，线性方程组的解就是微分方程的数值解。 211222222222112121122212122122NNNNNhh qphhpph qhhph qphph q 非对称势阱 1 非等高方势阱 2 10 13 1evxV xxevx 非等高势阱仿真图 2 斜势阱 11 1222 1xevxV xevx 斜势阱仿真图 3正弦势阱 sin1 122 1xevxV xevx 正弦势阱仿真图总 结 薛定谔方程及能量本征方程、一维势阱、微分数值方程理论介绍 非等高势阱、斜势阱、正弦势阱的matlab仿真 薛定谔方程及能量本征方程、一维势阱、微分数值方程理论介绍 薛定谔方程是量子力学中最基本的方程，我们通过了