运筹与优化第一章

1、运筹与优化模型运筹与优化模型刘刘 巍巍第七章第七章 网络优化模型网络优化模型第八章第八章 遗传与进化模型遗传与进化模型第九章第九章 神经网络模型神经网络模型第十章第十章 群集智能优化模型群集智能优化模型第十一章第十一章 模拟退火优化模型模拟退火优化模型第十二章第十二章 混沌优化方法模型混沌优化方法模型参考书目参考书目 1 、数学建模入门、数学建模入门 徐全智徐全智 杨晋浩杨晋浩 著著 电子科技大学出版社电子科技大学出版社 2、运筹学、运筹学 清华大学出版社清华大学出版社 3、数据、模型与决策、数据、模型与决策 4、智能优化算法及其应用、智能优化算法及其应用 王凌王凌 著著 清华大学出版社清华大

2、学出版社第一章第一章 绪论绪论第一节第一节 优化思想概述优化思想概述古代工程中的优化思想 -丁谓修皇宫丁谓修皇宫 宋真宗大中祥符年间宋真宗大中祥符年间(公元公元1008一一1017年年),都城都城开封开封里的里的皇宫失火皇宫失火,需要重建需要重建.右谏议大夫、权三司使右谏议大夫、权三司使丁渭丁渭受命负责限期受命负责限期重新营造重新营造皇宫皇宫.建造皇宫需要很多土建造皇宫需要很多土,丁丁渭考虑到从营建工地到城外取土的地方距离太远渭考虑到从营建工地到城外取土的地方距离太远,费费工费力工费力.限时间修复烧毁的宫殿挖街取土烧砖挖街取土烧砖引汴水运木材引汴水运木材添沟恢复御街添沟恢复御街思考：丁渭修宫殿

3、的故事说明了什么？思考：丁渭修宫殿的故事说明了什么？运筹学运筹学强调整体最优强调整体最优 运筹学的思想不是仅仅考虑局部的运筹学的思想不是仅仅考虑局部的优化，而是以整体最优为目标。它从系优化，而是以整体最优为目标。它从系统的观点出发统的观点出发,力图以整个系统最佳的方力图以整个系统最佳的方式来解决该系统各部门之间的利害冲突式来解决该系统各部门之间的利害冲突，对所研究的问题求出最优解。，对所研究的问题求出最优解。 最优价格问题最优价格问题问题问题根据产品成本和市场需求，在产销平根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大衡条件下确定商品价格，使利润最大假设假设1）产量等于销量，

4、记作）产量等于销量，记作 x2）收入与销量）收入与销量 x 成正比，系数成正比，系数 p 即价格即价格3）支出与产量）支出与产量 x 成正比，系数成正比，系数 q 即成本即成本4）销量）销量 x 依赖于价格依赖于价格 p, x(p)是减函数是减函数 建模建模与求解与求解pxpI)(收入收入qxpC)(支出支出)()()(pCpIpU利润利润进一步设进一步设0,)(babpapx求求p使使U(p)最大最大0* ppdpdU使利润使利润 U(p)最大的最优价格最大的最优价格 p*满足满足*ppppdpdCdpdI最大利润在边际收入等于边际支出时达到最大利润在边际收入等于边际支出时达到pxpI)(q

5、xpC)(bpapx)()(bpaqp)()()(pCpIpUbaqp22* 建模建模与求解与求解边际收入边际收入边际支出边际支出结果结果解释解释baqp22*0,)(babpapx q / 2 成本的一半成本的一半 b 价格上升价格上升1单位时销量的下降单位时销量的下降 幅度（需求对价格的敏感度）幅度（需求对价格的敏感度） a 绝对需求绝对需求( p很小时的需求很小时的需求)b p* a p* 思考：如何得到参数思考：如何得到参数a, b? 森林救火优化问题森林救火优化问题 问题提出：消防站接到森林失火的报警问题提出：消防站接到森林失火的报警后，要派多少消防队员前去救火呢？后，要派多少消防队

6、员前去救火呢？森林失火后，要确定派出消防队员的数量。森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。队员少，森林损失大，救援费用小。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。问题问题分析分析问题问题记队员人数记队员人数x, 失火时刻失火时刻t=0, 开始救火时刻开始救火时刻t1, 灭火时刻灭火时刻t2, 时刻时刻t森林烧毁面积森林烧毁面积B(t). 损失费损失费f1(x)是是x的减函数的减函数, 由烧毁面积由烧毁面积B(t2)决定决定. 救援费救援费f2(x)是是x的增函数的

7、增函数, 由队员人数和救火时间由队员人数和救火时间决定决定.存在恰当的存在恰当的x，使，使f1(x), f2(x)之和最小之和最小 关键是对关键是对B(t)作出作出合理的简化假设合理的简化假设.问题问题分析分析失火时刻失火时刻t=0, 开始救火时刻开始救火时刻t1, 灭火时刻灭火时刻t2, 画出时刻画出时刻 t 森林烧毁面积森林烧毁面积B(t)的大致图形的大致图形t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比较困难比较困难,转而讨论森林烧毁转而讨论森林烧毁速度速度dB/dt.模型假设模型假设 3）f1(x)与与B(t2)成成正比，系数正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费烧毁单位面积损失费) 1）0

8、 t t1, dB/dt 与与 t成成正比，系数正比，系数 (火势蔓延速度）火势蔓延速度） 2）t1 t t2, 降为降为 - x ( 为队员的平均灭火为队员的平均灭火速度）速度） 4）每个）每个队员的单位时间灭火费用队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用一次性费用c3假设假设1）的解释的解释 rB火势以失火点为中心，火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延均匀向四周呈圆形蔓延，半径，半径 r与与 t 成正比成正比面积面积 B与与 t2成正比，成正比， dB/dt与与 t成正比成正比.xbtt12202)()(tdttBtB模型建立模型建立dtdBb0t1tt2x假设假设1）,1tbxctt

9、xcxftBcxf31222211)()(),()(目标函数目标函数总费用总费用)()()(21xfxfxC假设假设3）4）xttt112假设假设2）)(222212212xttbt0dxdCxcxxtcxtctcxC3122121211)(22)(模型建立模型建立目标函数目标函数总费用总费用模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小231221122ctctcx结果解释结果解释 / 是火势不继续蔓延的最少队员数是火势不继续蔓延的最少队员数dtdBb0t1t2tx其中其中 c1,c2,c3, t1, , 为已知参数为已知参数模型模型应用应用c1,c2,c3已知已知, t1可估计可估计, c

10、2 x c1, t1, x c3 , x 结果结果解释解释231221122ctctcxc1烧毁单位面积损失费烧毁单位面积损失费, c2每个每个队员单位时间灭火费队员单位时间灭火费, c3每个每个队员一次性费用队员一次性费用, t1开始救火时刻开始救火时刻, 火火势蔓延速度势蔓延速度, 每个每个队员平均灭火队员平均灭火速度速度.为什么为什么? ? , 可可设置一系列数值设置一系列数值由模型决定队员数量由模型决定队员数量x进一步思考进一步思考 对于这个优化模型，我们还可以做以下讨论：对于这个优化模型，我们还可以做以下讨论： 1. 由图由图1.1.2和和(1.1.3)式可知，为了扑灭火势，式可知，

11、为了扑灭火势，必须要求必须要求X0，即，即 X ，也即，也即X 。这。这意味着，意味着， 是为扑灭火势所必须派出的最少队是为扑灭火势所必须派出的最少队员数量。员数量。 2. 在利用式在利用式(1.1.8)和式和式(1.1.9)计算最优派出队计算最优派出队员数时，式中的员数时，式中的c1、c2、c3是已知常数，而是已知常数，而 和和 可由森林类型、风向、消防队员的素质等因素作可由森林类型、风向、消防队员的素质等因素作出估计。出估计。 3. 每个消防员的救火速度每个消防员的救火速度 是常数，这个假设是常数，这个假设多少有点过于简单化了，进一步可以考虑它是时多少有点过于简单化了，进一步可以考虑它是时

12、间的函数，也可导出相应的结果间的函数，也可导出相应的结果 生猪的出售时机优化生猪的出售时机优化饲养场每天投入饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设元资金，用于饲料、人力、设备，备，估计估计可使可使80千克重的生猪体重增加千克重的生猪体重增加2公斤。公斤。问问题题市场价格目前为每千克市场价格目前为每千克8元，但是元，但是预测预测每天会降每天会降低低 0.1元，问生猪应何时出售。元，问生猪应何时出售。如果如果估计估计和和预测预测有误差，对结果有何影响。有误差，对结果有何影响。分分析析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使

13、利润最大时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大trtgttQ4)80)(8()(求求 t 使使Q(t)最大最大rggrt240410天后出售，可多得利润天后出售，可多得利润20元元建模及求解建模及求解生猪体重生猪体重 w=80+rt出售价格出售价格 p=8-gt销售收入销售收入 R=pw资金投入资金投入 C=4t利润利润 Q=R-C=pw -C估计估计r=2，若当前出售，利润为若当前出售，利润为808=640（元）（元）t 天天出售出售=10Q(10)=660 640g=0.1敏感性分析敏感性分析研究研究 r, g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响 估计估计r=2， g=0.1rg

14、grt2404 设设g=0.1不变不变 5 . 1,6040rrrtt 对对r 的（相对）敏感度的（相对）敏感度 rrttrtS/),(trdrdt3604060),(rrtS生猪每天体重增加量生猪每天体重增加量r 增加增加1%，出售时间推迟，出售时间推迟3%。 1.522.5305101520rt敏感性分析敏感性分析估计估计r=2， g=0.1rggrt2404研究研究 r, g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响 设设r=2不变不变 15. 00,203gggtt 对对g的（相对）敏感度的（相对）敏感度 tgdgdtggttgtS/),(32033),(ggtS生猪价格每天的降低量

15、生猪价格每天的降低量g增加增加1%，出售时间提前，出售时间提前3%。 0.060.080.10.120.140.160102030gt强健性分析强健性分析保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售由由 S(t,r)=3建议过一周后建议过一周后(t=7)重新估计重新估计 , 再作计算。再作计算。wwpp,研究研究 r, g不是常数时对模型结果的影响不是常数时对模型结果的影响 w=80+rt w = w(t)4)()()()(twtptwtpp=8-gt p =p(t) 若若 (10%), 则则 （30%） 2 . 28 . 1 w137 t0)( tQ每

16、天利润的增值每天利润的增值 每天投入的资金每天投入的资金 ttwtptQ4)()()(某豆腐店用黄豆制作两种不同口感的豆腐出售。制作口感较鲜嫩的豆腐每千克需要0.3千克一级黄豆及0.5千克二级黄豆，售价10元；制作口感较厚实的豆腐每千克需要0.4千克一级黄豆及0.2千克二级黄豆，售价5元。现小店购入9千克一级黄豆和8千克二级黄豆。问：应如何安排制作计划才能获得最大收益。一、问题前期分析一、问题前期分析该问题是在不超出制作该问题是在不超出制作两两种种不同不同口感豆腐所需黄口感豆腐所需黄豆总量条件下合理安排制作计划，使得售出豆总量条件下合理安排制作计划，使得售出各种豆腐能获得最大收益。各种豆腐能获

17、得最大收益。二、二、模型假设模型假设1假设制作的豆腐能全部售出。假设制作的豆腐能全部售出。2假设豆腐售价无波动。假设豆腐售价无波动。变量假设：变量假设： 设计划制作口感鲜嫩和厚实的豆腐各设计划制作口感鲜嫩和厚实的豆腐各x1千克千克和和 x2千克，可获得收益千克，可获得收益R元。元。目标函数：获得的总收益最大。目标函数：获得的总收益最大。 总收益可表示为：总收益可表示为： 21510 xxR受一级黄豆数量限制：受一级黄豆数量限制： 受二级黄豆数量限制：受二级黄豆数量限制： 94 . 03 . 021xx82 . 05 . 021xx综上分析，得到该问题的优化模型综上分析，得到该问题的优化模型 2

18、1510maxxxR94 . 03 . 021xx82 . 05 . 021xx0,21xxs.t.q2U(q1,q2) = cq101l2l3l 消费者均衡问题消费者均衡问题问题问题消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，购买这两种商品，以达到最大的满意度。购买这两种商品，以达到最大的满意度。设甲乙数量为设甲乙数量为q1,q2, 消消费者的无差别曲线族费者的无差别曲线族(单调减、下凸、不相单调减、下凸、不相交），记作交），记作 U(q1,q2)=cU(q1,q2) 效用函数效用函数

19、已知甲乙价格已知甲乙价格 p1,p2, 有钱有钱s，试分配试分配s,购买甲乙数量购买甲乙数量 q1,q2,使使 U(q1,q2)最大最大.s/p2s/p1q2U(q1,q2) = cq101l2l3l模型模型及及求解求解已知价格已知价格 p1,p2,钱钱 s, 求求q1,q2,或或 p1q1 / p2q2, 使使 U(q1,q2)最大最大sqpqptsqqUZ221121. .),(max),(2211qpqpUL) 2 , 1(0iqLi2121ppqUqU122dqdqKl几几何何解解释释sqpqp2211直线直线MN: 最优解最优解Q: MN与与 l2切点切点21/ ppKMN斜率斜率M

20、QN21/qUqU0, 0, 0, 0, 0.B21222221221qqUqUqUqUqU2121ppqUqU结果结果解释解释21,qUqU边际效用边际效用消费者均衡状态在两种商品消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们的边际效用之比恰等于它们价格之比时达到。价格之比时达到。效用函数效用函数U(q1,q2) 应满足的条件应满足的条件A. U(q1,q2) =c 所确定的函数所确定的函数 q2=q2(q1)单调减、下凸单调减、下凸 解释解释 B的实际意义的实际意义AB 0,)(. 1121qqU效用函数效用函数U(q1,q2) 几种常用几种常用的形式的形式2121ppqUqU21221

21、1ppqpqp 消费者均衡状态下购买两种商品费用之比消费者均衡状态下购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根成正比。与二者价格之比的平方根成正比。 U(q1,q2)中参数中参数 , 分别表示消费者对甲乙分别表示消费者对甲乙两种商品的偏爱程度。两种商品的偏爱程度。1,0,. 221qqU0,)(. 3221baqbqaU2121ppqUqU2211qpqp 购买两种商品费用之比与二者价格无关。购买两种商品费用之比与二者价格无关。 U(q1,q2)中参数中参数 , 分别表示对甲乙分别表示对甲乙的偏爱程度。的偏爱程度。思考：如何推广到思考：如何推广到 m ( 2) 种商品的情况种商品的情况效用函数

22、效用函数U(q1,q2) 几种常用几种常用的形式的形式冰山运输优化问题冰山运输优化问题背景背景 波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水的波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水的成本为每立方米成本为每立方米0.1英镑。英镑。 专家建议从专家建议从9600千米远的南极用拖船千米远的南极用拖船运送冰山，取代淡化海水运送冰山，取代淡化海水 从经济角度研究冰山运输的可行性。从经济角度研究冰山运输的可行性。建模准备建模准备1. 日租金和最大运量日租金和最大运量船船 型型小小 中中 大大日租金（英镑）日租金（英镑） 最大运量（米最大运量（米3）4.06.28.05 1051061072. 燃料消耗（英镑燃料消耗（英镑/千米

23、）千米）3. 融化速率（米融化速率（米/天）天）与南极距离与南极距离 (千米千米)船速船速(千米千米/小时小时) 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6冰山体积冰山体积(米米3)船速船速(千米千米/小时小时) 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8建模准备建模准备建模建模目的目的选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较模型模型假设假设 航行过程中船速不变

24、，总距离航行过程中船速不变，总距离9600千米千米 冰山呈球形，球面各点融化速率相同冰山呈球形，球面各点融化速率相同到达目的地后，每立方米冰可融化到达目的地后，每立方米冰可融化0.85立方米水立方米水建模建模分析分析目的地目的地水体积水体积运输过程运输过程融化规律融化规律总费用总费用目的地目的地冰体积冰体积初始冰初始冰山体积山体积燃料消耗燃料消耗租金租金船型船型, 船速船速船型船型船型船型, 船速船速船型船型4000),1 (40000),1 (21dbuadbudar4 . 0, 2 . 0,105 . 6251baa模模型型建建立立1. 冰山融化规律冰山融化规律 船速船速u (千米千米/小

25、时小时)与南极距离与南极距离d(千米千米)融化速率融化速率r(米米/天）天）r是是 u 的的线性函数；线性函数；d4000时时u与与d无关无关.utd24航行航行 t 天天utuuttuurt61000),4 . 01 (2 . 0610000,)4 . 01 (1056. 13第第t天融天融化速率化速率 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6urd1. 冰山融化规律冰山融化规律 tkktrRR10冰山初始半径冰山初始半径R0，航行航行t天时半径天时半径冰山初始体积冰山初始体积30034RV334ttRVt天时体积天时体积总航行天数总航行天

26、数313004334),(tkkrVtVuV选定选定u,V0, 航行航行t天时冰山体积天时冰山体积313004334),(TttrVVuV到达目的地到达目的地时冰山体积时冰山体积uuT4002496001, 6, 3 . 0321ccc14334log)6(2 . 7),()log(24),(3130103010210tkkrVuuctVuVcucutVuq),)(log(310211cVcucq2. 燃料消耗燃料消耗 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8Vuq1燃料消耗燃料消耗 q1(英镑英镑/千米千米)q1对对

27、u线性线性, 对对log10V线性线性选定选定u,V0, 航行第航行第t天燃料消耗天燃料消耗 q (英镑英镑/天天)燃料消耗总费用燃料消耗总费用TttVuqVuQ100),(),( V0 5 105 106 107 f(V0) 4.0 6.2 8.0 3. 运送每立方米水费用运送每立方米水费用 冰山初始体积冰山初始体积V0的日的日租金租金 f(V0)（英镑）英镑）uT400航行天数航行天数总燃料消耗费用总燃料消耗费用拖船租金费用拖船租金费用uVfVuR400)(),(00冰山运输总费用冰山运输总费用),(),(),(000VuQVuRVuS14334log)6(2 . 7),(31301010

28、tkkTtrVuuVuQ冰山到达目的地冰山到达目的地后得到的水体积后得到的水体积),(85. 0),(00VuVVuW3. 运送每立方米水费用运送每立方米水费用 冰山运输总费用冰山运输总费用运送每运送每立方米立方米水费用水费用 ),(),(),(000VuWVuSVuY313004334),(TttrVVuV到达目的地到达目的地时冰山体积时冰山体积),(),(),(000VuQVuRVuS模型求解模型求解选择船型和船速，使冰山到达目选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立方米水的费用最低的地后每立方米水的费用最低求求 u,V0使使Y(u,V0)最小最小u=45(千米千米/小时小时), V0= 1

29、07 (米米3)， Y(u,V0)最小最小V0只能取离散值只能取离散值经验公式很粗糙经验公式很粗糙33.544.551070.07230.06830.06490.06630.06580.22510.20130.18340.18420.179010678.90329.82206.21385.46474.5102V0u5 106取几组（取几组（V0，u）用）用枚举法枚举法计算计算结果分析结果分析由于未考虑影响航行的种种不利因素，冰山由于未考虑影响航行的种种不利因素，冰山到达目的地后实际体积会显著小于到达目的地后实际体积会显著小于V(u,V0)。有关部门认为，只有当计算出的有关部门认为，只有当计算出

30、的Y(u,V0)显著显著低于淡化海水的成本时，才考虑其可行性。低于淡化海水的成本时，才考虑其可行性。大型拖船大型拖船V0= 107 (米米3)，船速，船速 u=45(千米千米/小时小时), 冰山冰山到达目的地后每立米水的费用到达目的地后每立米水的费用 Y(u,V0)约约0.065(英镑英镑)虽然虽然0.065英镑略低于淡化海水的成本英镑略低于淡化海水的成本0.1英镑，英镑，但是模型假设和构造非常简化与粗糙。但是模型假设和构造非常简化与粗糙。优化思想 所谓所谓“优化思想优化思想”就是在有限种或无限就是在有限种或无限种可行方案种可行方案(决策决策)中挑选最优的方案中挑选最优的方案(决决策策)的思想

31、。的思想。 随着高新技术、计算机及信息技术的飞随着高新技术、计算机及信息技术的飞速发展，最优化在工农业、国防、交通速发展，最优化在工农业、国防、交通、金融、能源、通信等众多领域的应用、金融、能源、通信等众多领域的应用越来越广泛，问题的规模越大、复杂性越来越广泛，问题的规模越大、复杂性越高，优化思想在解决问题中应用的价越高，优化思想在解决问题中应用的价值也就越明显。值也就越明显。 第二节 优化数学模型1 1、最优化理论和方法是近二十多年来发展十分迅、最优化理论和方法是近二十多年来发展十分迅速的一个数学分支。速的一个数学分支。2 2、在数学上，最优化是一种求极值的方法。、在数学上，最优化是一种求极

32、值的方法。3 3、最优化已经广泛的渗透到工程、经济、电子技、最优化已经广泛的渗透到工程、经济、电子技术等领域。术等领域。 在实际生活当中，人们做任何事情，不管是分在实际生活当中，人们做任何事情，不管是分析问题，还是进行决策，都要用一种标准衡量析问题，还是进行决策，都要用一种标准衡量一下是否达到了最优。一下是否达到了最优。 （比如基金人投资）（比如基金人投资） 在各种科学问题、工程问题、生产管理、社会在各种科学问题、工程问题、生产管理、社会经济问题中，人们总是希望在有限的资源条件经济问题中，人们总是希望在有限的资源条件下，用尽可能小的代价，获得最大的收获。下，用尽可能小的代价，获得最大的收获。（

33、比如保险）（比如保险） 数学家对最优化问题的研究已经有很多年的数学家对最优化问题的研究已经有很多年的历史。历史。 以前解决最优化问题的数学方法只限于古典以前解决最优化问题的数学方法只限于古典求导方法和变分法（求求导方法和变分法（求无约束极值无约束极值问题），拉格问题），拉格朗日（朗日（LagrangeLagrange）乘数法解决等式约束下的条件乘数法解决等式约束下的条件极值问题。极值问题。 计算机技术的出现，使得数学家研究出了许计算机技术的出现，使得数学家研究出了许多最优化方法和算法用以解决以前难以解决的问多最优化方法和算法用以解决以前难以解决的问题。题。几个概念几个概念 最优化最优化是从所有

34、可能方案中选择最合理的一种是从所有可能方案中选择最合理的一种以达到最优目标的学科。以达到最优目标的学科。 最优方案最优方案是达到最优目标的方案。是达到最优目标的方案。 最优化方法最优化方法是搜寻最优方案的方法。是搜寻最优方案的方法。 最优化理论最优化理论就是最优化方法的理论。就是最优化方法的理论。 优化模型的三要素优化模型的三要素xf( x)（2 2）目目标标函函数数，通通常常是是某某一一问问题题需需要要优优化化（最最大大或或最最小小）的的那那个个目目标标的的数数学学表表达达式式，它它是是决决策策变变量量 的的函函数数，可可以以 抽抽象象的的记记作作；12nnxx ,x ,xxT T（1 1）

35、决决策策变变量量，通通常常是是某某一一问问题题需需要要求求解解的的未未知知量量，用用 维维向向量量 = =表表示示，当当对对 赋赋值值后后它它通通常常称称为为该该问问题题的的一一个个解解；01 21 2ijxxxh( x)i, ,mg ( x)j, ,n（3 3）约约束束条条件件，由由该该问问题题对对决决策策变变量量的的现现实实条条件件给给出出，即即 允允许许的的取取值值范范围围为为， 称称为为可可行行域域，常常用用一一组组关关于于 的的等等式式和和（或或）不不等等式式0 0来来界界定定，分分别别称称为为等等式式约约束束和和不不等等式式约约束束。01 201 2optzf( x)s.t.h(

36、x)i, ,mg( x)j, ,n于是，优化模型从数学上可以表述为于是，优化模型从数学上可以表述为 这里opt 最优化的意思，可以是min（求极大，即minamize的缩写）或max （求极小，即minamize的缩写）的两者之一；s.t. （即subject to）“受约束于”之意。（1）（2）（3）最优化问题分类 从表现形式划分：从表现形式划分： 无约束优化问题无约束优化问题 (没有约束条件限制的最优化问题称为无没有约束条件限制的最优化问题称为无约束最优化问题）约束最优化问题） 约束最优化问题约束最优化问题 （有约束条件的称为约束最优化问题（有约束条件的称为约束最优化问题)分类 从环境条件划分：从环境条件划分： 确定性最优化问题确定性最优化问题 (每个决策变量取值是确定的）每个决策变量取值是确定的） 随机性最优化问题随机性最优化问题随机性最优化问题随机性最优化问题 （某些决策变量取值是不确定的，但知（某些决策变量取值是不确定的，但知道决策变量取某值而服从一定的概率分道决策变量取某值而服从一定的概率分布布