2020版第7章第3节空间点直线平面之间的位置关系

1、第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系考纲传真1理解空间直线、平面位置关系的定义 2了解可以作为推理依 据的公理和定理3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简 单命题.1. 平面的基本性质(1) 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.(2) 公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.(3) 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过 该点的公共直线.(4) 公理2的三个推论推论1:经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面.

2、2. 空间直线的位置关系(1) 位置关系的分类共面直线平行直线 相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2) 异面直线所成的角定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点0作直线a'/ a,b'/ b,把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)n范围：.(3) 平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.3. 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1) 空间中直线与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面a内

3、a? a有无数个公共占八、直线在平面外直线a平面a平行a/a没有公共点直线a与平面a斜 交aa a=a有且只有一个公共点直线a与平面a垂 直a丄a空间中两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行all b没有公共点两 平 面 相 交斜交aa片l有一条公共直线垂直a丄b且 aaa常用结论1. 异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.2. 等角定理的引申在等角定理中，若两角的两边平行且方向相同或相反，贝u这两个角相等.（2）在等角定理中，若两角的两边平行且方向一个边相同，一个边相反，则这两个角互补.基础自测1. （思考辨析）判断下列结论的正误.（

4、正确的打“v”，错误的打“x” ）（1）两个平面a b有一个公共点a,就说a b相交于过a点的任意一条直线.（）（2）两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.（）（3）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.（）（4）若直线a不平行于平面a,且a? a则a内的所有直线与a异面.（）答案x v （3）x x2. （教材改编）如图所示，在正方体 abcd-aibicidi中，e，f分别是ab，ad的中点，则异面直线bic与ef所成的角的大小为（）a30°b45°c60°d90°c 连接b1d1, dic（图略），则bidi/ ef,故/dibic为所求的

5、角，又bidi=bic= dic,/ dibic = 60°3（教材改编 ）下列命题正确的是 （）a 经过三点确定一个平面b 经过一条直线和一个点确定一个平面c.四边形确定一个平面d 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面d 根据确定平面的公理和推论知选项 d 正确 4已知空间四边形的两条对角线相互垂直， 顺次连接四边中点的四边形 一 定是 （）a 空间四边形b 矩形c 菱形d 正方形b 四边形的相邻两边分别平行于空间四边形的两角对角线，故选 b.5.已知直线a, b分别在两个不同的平面 a, b内，贝厂'直线a和直线b相 交”是“平面a和平面b相交”的（）a .充分不必要条

6、件c.充要条件b .必要不充分条件d .既不充分也不必要条件a 由题意知a? a, b? b,若a, b相交，贝u a, b有公共点，从而 a, b有 公共点，可得出a, b相交；反之，若a, b相交，则a, b的位置关系可能为平 行、相交或异面.因此“直线a和直线b相交”是“平面a和平面b相交”的充 分不必要条件.故选a.平面的基本性质【例1】(1)以下命题中，正确命题的个数是() 不共面的四点中，其中任意三点不共线； 若点a, b, c, d共面，点a, b, c, e共面，贝u a, b, c, d, e共面; 若直线a, b共面，直线a, c共面，则直线b, c共面； 依次首尾相接的四

7、条线段必共面.a. 0b . 1c. 2d . 3b 正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾； 中若点 a，b，c 在同一条直线上，则 a，b，c， d，e不一定共面，故 错误；中，直线b, c可能是异面直线，故 错误；中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共面，故 错误 (2)如图，正方体abcd-aibicidi中，e, f分别是ab和aai的中点.求证: e，c，di, f四点共面； ce，dif，da三线共点.解如图，连接ef，cdi, aib. e，f分别是ab，aai的中点， ef/ bai.又 aib/ dic,二 ef/ cdi, e,

8、 c, di, f四点共面. ef/ cdi, ef<cdi, ce与dif必相交，设交点为p,贝u由p直线ce, ce?平面abcd,得p平面abcd.同理p平面addiai.又平面abcd g平面addiai = da, p 直线 da，二 ce, dif, da 三线共点.规律方法共点、共线、共面问题的证明方法i证明点共线问题：公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这 两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在交线上；同一法：选择 其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上2证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点.3证明点、直线共面问题： 纳

9、入平面法：先确定一个平面，再证明有关 点、线在此平面内；辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面a再证明其余元素确定平面b,最后证明平面a b重合.(1)如图是正方体或四面体， p，q，r，s 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是( )a b c dd 根据异面直线的判定定理，选项d中ps与qr是异面直线，则四点p,q, r, s不共面故选d.(2)如图，在正方体 abcd-aibicidi中，0为正方形 abcd的中心，h为直 线 b1d 与平面 acd1 的交点求证： d1， h， o 三点共线证明 如图，连接 bd，b1d1，贝u bdn ac= o,因为bbi丿ddi,所以四边

10、形 bb1d1d 为平行四边形，又 h bid,b1d? 平面 bb1d1d,贝u h 平面 bbidid,因为平面 acdi n平面bb1d1d = odi,所以h odi.即di, h , o三点共线.空间两条直线的位置关系【例2】(1)已知a, b, c为三条不同的直线，且a?平面a b?平面b, aa b c,给出下列命题： 若a与b是异面直线，则c至少与a, b中的一条相交； 若a不垂直于c,则a与b 一定不垂直； 若a / b,则必有a / c.其中真命题有(填序号)(2)在图中，g, h , m , n分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示 直线gh , mn是异面直线的图形

11、有 填上所有正确答案的序号). (2)对于，若c与a, b都不相交，则c/ a, c/ b,从 而a ii b,这与a与b是异面直线矛盾，故 正确.对于，a与b可能异面垂直，故 错误.对于，由al b可知a/b,又aa c,从而a ii c,故正确.(2)图中，直线gh ii mn ;图中，g, h , n三点共面，但 m?平面ghn , 因此直线gh与mn异面；图中，连接mg(图略),gm ii hn，因此gh与mn 共面；图 中，g, m , n共面，但h?平面gmn，因此gh与mn异面，所以 在图中，gh与mn异面.规律方法异面直线的判定方法(1)已知a, b是异面直线，直线c 平行于直

12、线a,那么c与b( )a .一定是异面直线b .一定是相交直线c.不可能是平行直线d .不可能是相交直线如图所示，正方体 abcd-aibicidi中，m, n分别为棱c1d1, c1c的中 点，有以下四个结论： 直线am与cci是相交直线； 直线am与bn是平行直线； 直线bn与mbi是异面直线； 直线am与ddi是异面直线.其中正确的结论为 .(把你认为正确的结论的序号都填上)(1) c (2)(1)c与b可能相交，也可能异面，但可不能平行，故选c.(2) 根据两条异面直线的判定定理知，正确.异面直线所成的角【例3】(1)(2018全国卷u )在正方体abcd-aibicidi中，e为棱c

13、ci的中点，则异面直线ae与cd所成角的正切值为（）a.舟b#c护d#（2）如图，在长方体 abcd-aibicidi 中，ab = 2, bc= 1, bbi = 1, p 是 ab的中点，则异面直线bci与pd所成的角等于（）a. 30°b. 45°c. 60° d. 90c c (1)如图，连接be，因为ab/ cd，所以异面直线ae与cd所成的角等于相交直线 ae与ab所成的角，即/ eab.不妨设正方体的棱长为2,则ce= 1，bc = 2,由勾股定理得be 、f5be=，5.又由ab丄平面bccibi可得ab丄be，所以tan/ eab=忑=2&quo

14、t;.故选c.取cd的中点q,连接bq, ciq p是ab的中点， bq/ pd/ cibq是异面直线bci与pd所成的角.在厶cibq 中，cib= bq = ciq= 2,/ cibq = 60°即异面直线bci与pd所成的角等于60°故选c.规律方法用平移法求异面直线所成的角的步骤1 一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；2二证：证明作出的角是异面直线所成的角；3三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是 要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.已知p是厶abc所在平面外的 一点，m, n分别是ab、pc的中点，若 mn =

15、 bc = 4, pa= 4.3,则异面直线 pa与mn所成角的大小是()a. 30°b. 45°c. 60°d. 90°(2)如图，已知圆柱的轴截面 abbiai是正方形，c是圆柱下底面弧ab的中 点，ci是圆柱上底面弧aibi的中点，那么异面直线 aci与bc所成角的正切值 为.a (2) 2 (i)取ac的中点0,连接0m， 0n,贝uom/*bc, on£pa./ onm就是异面直线fa与mn所成的角.在厶omn 中，mn = 4, om = 2, on = 2 3,cos/ onm =on2 + mn2 om212+ 16-432on

16、 mn = 2x 2?3x 4 =兀， / onm= 30即异面直线fa与mn所成角的大小为30°故选a.(2)取圆柱下底面弧 ab的另一中点d，连接cid，ad，因为c是圆柱下底面弧ab的中点，所以ad/ bc,所以直线aci与ad所成角等于异面直线aci与bc所成角，因为ci是圆柱 上底面弧aibi的中点，所以cid丄圆柱下底面，所以cid丄ad.因为圆柱的轴截面 abbiai是正方形，所以cid = 2ad,所以直线aci与ad所成角的正切值为.2,所以异面直线aci与bc所成角的正切值为,2.i. （20i7 全国卷 u）已知直三棱柱 abc-ai bici 中，/ abc=

17、 i20° ab= 2,d.bc = cci= i,则异面直线abi与bci所成角的余弦值为（a.c.c 将直三棱柱abc-aibici补形为直四棱柱 abcd-aibicidi，如图所示,连接 adi, bidi, bd.由题意知/ abc= 120° ab = 2, bc = cci= 1,所以 adi = bci= .2, abi= 5, / dab = 60°.在厶abd中，由余弦定理知 bd2= 22 + 12 2x 2x 1 x cos 60° = 3,所以bd=.3,所以 bi di = 3.又abi与adi所成的角即为abi与bci所成的角9,所以cos 9=ab2 + ad2 bid22x abi x adi5+23vro2x 5x ；2= 5故选c.2. （20i6全国卷i ）平面a过正方体abcd-aibicidi的顶点a, a/平面cbidi, aa平面abcd = m, ag平面abbiai = n,则m,n所成角的正弦值为（a.3c2d.3a 根据平面与平面平行的性质，将m, n所成的角转化为平面cbidi与平面abcd的交线及平面cbidi与平面abbia