初中数学全等三角形精讲总结计划汇报设计可编辑

1、七年级数学三角形精讲知识点归纳总结 1. 三角形的三边之间的关系 三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边。 2. 三角形的内角和 三角形三个内角的和等于180°。 3. 三角形全等的条件 （1）三边对应相等的两个三角形相等，简写为“sss”。 （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“asa”。 （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“aas”。 （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“sas”。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“hl”。 4. 全等三角形的性质 全等三角形的对应角相等，

2、对应边相等。 5. 三角形的外角性质 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。专题总复习（一） 全等三角形、轴对称一、复习目标：1、理解全等三角形概念及全等多边形的概念.2、掌握并会运用三角形全等的判定和性质，能应用三角形的全等解决一些实际问题.3、通过复习，能够应用所学知识解决一些实际问题，提高学生对空间构造的思考能力.二、重难点分析：1、全等三角形的性质与判定；2、全等三角形的性质、判定与解决实际生活问题.三、知识点梳理：知识点一：全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.知识点二：全等三角形的性质. （1）全等三角形的对应边相等. （2）全等三角形的对应角相等.知识点三

3、：判定两个三角形全等的方法. （1）sss （2）sas （3）asa （4）aas （5）hl（只对直角三形来说）知识点四：寻找全等三形对应边、对应角的规律.全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角.有公共边的，公共边一定是对应边.有公共角的，公共角一定是对应角.有对顶角的，对顶角是对应角.全等三角形中的最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）.知识点五：找全等三角形的方法.（1）一般来说，要证明相等的两条线段（或两个角），可以从结论出发，看它们分别落在哪两具可能的全等三角形中.（常用的办法）（2

4、）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等.（3）可以从已知条件和结论综合考虑，看它们能否一同确定哪两个三角形全等.（4）如无法证证明全等时，可考虑作辅助线的方法，构造成全等三角形.知识点六：角平分线的性质及判定.（1）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.（2）角平分线的判定：在角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上.（3）三角形三个内角平分线的性质：三角形三条角平分线交于一点，且到三角形三边距离相等.知识点七：证明线段相等的方法.（重点）（1）中点性质（中位线、中线、垂直平分线）（2）证明两个三角形全等，则对应边相等（3）借助中间线段相等.知识点八：证明角相等

5、的方法.（重点）（1）对顶角相等；（2）同角或等角的余角（或补角）相等；（3）两直线平行，内错角相等、同位角相等；（4）角平分线的定义；（5）垂直的定义；（6）全等三角形的对应角相等；（7）三角形的外角等于与它不相邻的两内角和.知识点九：全等三角形中几个重要的结论.（1）全等三角形对应角的平分线相等；（2）全等三角形对应边上的中线相等；（3）全等三角形对应边上的高相等.知识点十：三角形中常见辅助线的作法.（重难点）（1）延长中线构造全等三角形（倍长线段法）；（2）引平行线构造全等三角形；（3）作垂直线段（或高）；（4）取长补短法（截取法）.【典型例题】 例1. 已知：如图，abc中，abac，

6、d、e、f分别在ab、bc、ca上，且bdce，defb，图中是否存在和bde全等的三角形？说明理由。 解：cefbde 理由：abac，bc 又decbbde defcefbbde defb，cefbde cefbde（asa） 例2. 已知：abcd，deac，bfac，垂足分别为e、f，bfde，则abcd，为什么？ 解：理由：deac，bfac decbfa90° 在rtdec和rtbfa中 rtdecrtbfa（hl） dcebaf cdab 例3. 用两个全等的等边abc和acd拼成一个四边形abcd，把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60&#

7、176;角的顶点与点a重合，两边分别与ab、ac重合，将三角尺绕点a按逆时针方向旋转，问：当三角尺的两边分别与四边形的两边bc、cd相交于e、f时，通过观察或测量be、cf的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论。 解：结论：becf 理由：abc、acd为等边三角形 abac，bacf60°，bac60° 又1eac60°，2eac60° 12 abeacf（asa） becf 例4. 如图，ad是abc的角平分线，ae是bc边上的高，b20°，c40°，求dae的度数。 解：bacbc180° 又b20°，c4

8、0° bac180°20°40°120° ad平分bac aebc，aec90° 又c40° eac90°40°50° daedaceac60°50°10° 例5. 如图，已知acbd，ea、eb分别平分cab、dba，cd过点e，且ac3cm，bd5cm，你能利用全等三角形有关知识测出ab的长吗？ 解：如图所示，在ab上截取afac，连结ef ae是cab平分线 caebae acaf，aeae aceafe cefa acbd，cd180° afeef

9、b180° defb be平分dba，dbefbe bebe，dbefbe bfbd abacbd ac3cm，bd5cm ab8cm全等三角形的有关证明（提高篇）关键：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边（角）放入正确的三角形中”，去说明“相等的边（角）所在的三角形全等”，利用三角形全等来说明两个角相等（两条边相等）是初中里面一个非常常见而又重要的方法。要说明两边相等，两角相等，最常用的方法就是说明三角形全等直角三角形的全等问题：直角三角形的研究是整个中学几何图形部分里的重点！直角三角形有关的全等问题中，除了特用的hl定理之外，在条件的寻找上首先就有了一组直角相等；而多个

10、直角，多个垂直的图形组合在一块时，就很容易利用“同（等）角的余角相等”来得到其他的角相等。图1例一：图1，已知dobc，oc=oa，ob=od，问cd=ab吗？分析：此图形可看作绕o点旋转得到，由垂直得到一组直角，把结合其他两组边，很容易找到他们所在的三角形。变形1：请说明bce是直角三角形。（利用全等三角形的对应角相等，以及直角三角形的两个锐角互余这两个性质进行代换和转换）解：易得aobcod （此过程较简单，略过不描述） b=d（全等三角形的对应角相等） 又 oab=dae（对顶角相等）而在rtaob中，oab+b=90°（直角三角形的两个锐角互余）afbced dae+d=90

11、°（等量代换） 在ade中，dea=180°（dae+d）=90°（三角形内角和定理） bec=90°（补角性质） 故bce是直角三角形变形2：把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点d在bc上，连结be，ad，ad的延长线交be于点f求证：afbe 分析：此图中要说明afbe，与上题中bce是直角三角形是一样的意思，只需要说明bfd=90°即可变形3：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结cd （彩图为提示）（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含

12、有未标识的字母）；图2图1（2）证明：cdbe图2abcehd变形4、如图2，在abc中，高ad与be相交于点h，且ad=bd，问bhdacd，为什么？分析：此题实际上就是变形1的反问，已经存在一组直角（由垂直得到），一组相等的边（已知），再利用“同（等）角的余角相等”来得到第二组角相等！图3acmefbd变形5：如图3， 已知edab，efbc，bd=ef，问bm=me吗？说明理由。图4变形6：如图4，ad是一段斜坡，ab是水平线，现为了测斜坡上一点d的竖直高度db的长度，欢欢在d处立上一竹竿cd，并保证cdad，然后在竿顶c处垂下一根绳ce，与斜坡的交点为点e，他调整好绳子ce的长度，使得

13、ce=ad，此时他测得de=2米，于是他认定db的高度也为2米，你觉得对吗?请说明理由。图5例二：如图1，已知，acce，ac=ce， abc=cde=90°，问bd=ab+ed吗?分析 ：（1）凡是题中的垂直往往意味着会有一组90°角，得到一组等量关系；图6（2）出现3个垂直，往往意味着要运用同（等）角的余角相等，得到另一组等量关系；（3）由全等得到边相等之后，还要继续往下面想，这几组相等的边能否组合在一起：如如图6，除了得到三组对应边相等之外，还可以得到ac=bd。解答过程：得到abccde之后，可得到bc=de，ab=cd bc+cd=de+ab（等式性质）图7 即：

14、bd=ab+de变形1：如图7， 如果abccde，请说明ac与ce的关系。注意：两条线段的关系包括：大小关系（相等，一半，两倍之类）位置关系（垂直，平行之类）变形2：如图，e是正方形abcd的边dc上的一点，过点a作faae交cb的延长线于点f， 求证：de=bf分析：注意图形中有多个直角，利用同角的余角相等或等式性质可到一组锐角相等。变形3：如图8，在abc中，bac=90°，ab=ac，ae是过点a的直线，bdae，ceae，图8如果ce=3，bd=7，请你求出de的长度。分析 ：说明相等的边所在的三角形全等，题中“ab=ac”，发现：ab在rtabd中，ac在rtcae中，所

15、以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个rt全等（如图9）于是：已经存在了两组等量关系：ab=ac，直角=直角，再由多个垂直利用同角的余角相等，得到第三组等量关系。 解：由题意可得：在rtabd中，1+abd=90°（直角三角形的两个锐角互余）1图9 又 bac=90°（已知）， 即1+cae=90° abd=cae（等角的余角相等） 故在abd与cae中， bda=aec=90°（垂直定义）abd=cae（已求） ab=ac（已知） abdcae（aas） ae=bd=7，ad=ec=3 （全等三角形的对应边相等） de=aead=73=4变形4：在ab

16、c中，acb= 900，ac=bc，直线mn经过点c，且admn于d，bemn于e。（1）当直线mn绕点c旋转到图9的位置时，adcceb，且 de=ad+be。你能说出其中的道理吗？（2）当直线mn绕点c旋转到图10的位置时， de =ad-be。说说你的理由。图11（3）当直线mn绕点c旋转到图11的位置时，试问de，ad，be 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。图12图1012等腰三角形、等边三角形的全等问题：必备知识：如右图，由1=2，可得cbe=dba；反之，也成立。例三：已知在abc中，ab=ac，在ade中，ad=ae，且1=2，请问bd=ce吗？分析这类题目的难点在于，需

17、要将本来就存在于同一个三角形中的一组相等的边，分别放入两个三角形中，看成是一组三角形的对应边， 题目中所给的abc与ade是用来干扰你的思路的，应该去想如何把两组相等的边联系到一起，加上所求的“bd=ce”，你会发现bd在abd中，ce在ace中，这样一来，“ab=ac”可以理解为：ab在abd中，ac在ace中，它们是一组对应边； “ad=ae”可以理解为：ad在abd中，ae在ace中，它们是一组对应边；21图13所以只需要说明它们的夹角相等即可。关键还是在于：说明“相等的边（角）所在的三角形全等” 解： 1=2（已知） 1+cad=2+cad（等式性质） 即： bad=cae 在abd与

18、ace中， ab=ac（已知） bad=cae（已求） ad=ae21图14 abdace（sas） bd=ce（全等三角形的对应边相等）变形1：如图13，已知bac=dae，1=2，bd=ce，请说明abdace.吗？为什么？分析：例三是两组边相等，放入一组三角形中，利用sas说明全等， 此题是两组角相等，那么该如何做呢?变形2：过点a分别作两个大小不一样的等边三角形，连接bd，ce，请说明它们相等。图15分析：此题实际上是例三的变形，只不过将等腰三角形换成了等边三角形，只要你根据所求问题，把bd看成在abd的一边，ce看成ace的一边，自然就得到了证明的方向。 解：abc与ade是等边三角

19、形， ab=ac， ad=ae bac=dae=60° bac+cad=dae+cad（等式性质） 即： bad=cae接下来的过程与例三完全一致，不予描述！ 图16变形3：如图1618，还是刚才的条件，把右侧小等边三角形的位置稍加变化，连接bd，ce，请说明它们相等 这里仅以图17进行说明 解： abc与ade是等边三角形， ab=ac， ad=ae bac=dae=60°图17baccad=daecad【仅这步有差别】即：bad=bad=cae 在abd与ace中， ab=ac（已知） bad=cae（已求）图18 ad=ae abdace（sas） bd=ce（全等三

20、角形的对应边相等） 图16，图18的类型，请同学们自己去完成变形4：如图，四边形abcd、defg都是正方形，连接ae、cg，ae与cg相交于点m，cg与ad相交于点n求证：；分析：和上面相比，只不过等边三角形换成正方形，60°换成直角了，思路一样例四： 如图，abc中，c=90°，ab=2ac，m是ab的中点，点n在bc上，mnab.求证：an平分bac.分析：要说明an平分bac，必须说明两角相等，可以说明amncan，而题中已有了一组直角相等，一组公共边（斜边）结合题目中条件，比较容易找到一边直角边相等，从而利用hl定理得到全等。变形1：在rtabc中，已知a=90&