识记解题模板妙解高考难题

1、识记解题模板 妙解高考难题 由一道高考题谈数列通项公式的求法摘要：由递推公式求数列的通项公式是高考、模拟考常考和必考的一个难点，往往以压轴题形式出现。由于求通项公式时渗透多种数学思想和方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。除了我们常见的观察法、定义法和公式法之外，而在高考中比较有难度的数列题目都是非观察法、定义法和公式法所能解决问题的。结合近几年的高考和模拟考试情况，对数列由递推公式求通项公式的方法进行了归纳总结，希望能起到抛砖引玉的效果。 2011年高考已经尘埃落定，但对于广东卷高考数学的数列题（见例8）的讨论却远未停止。究其原因，无外乎认为题目太难，超出考纲，让学生无从下

2、手，大大影响了全省的平均分和打击了学生的考试心理。其实这道题目并不算难，因为这道题是2006年江西高考理科22题（见例9）的改编。对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列，我将这种转化方法称之为辅助数列法。在实际的教学中，为了减轻学生在考试中思考难度，我将辅助数列法归纳成四个常见的解题模板。模板一：形如 (n=2、3、4.) 且可求，则用累加法求。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例1 （2010年深圳一模理科 19）在数列中，=1， (),求（）。 解：n=1时, =1以上n-1个等式

3、累加得=，故 且也满足该式 ()。例2 （2009年高考全国卷一理科20）在数列.（）设解：（）由已知得即 从而 于是故所求的通项公式：模板二：形如 (n=2、3、4)，且可求，则用累乘法求。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例3、（2010年福州市二模文科 18）在数列中，=1，求（）。解：由已知得 ，分别取n=1、2、3(n-1),代入该式得n-1个等式累乘，即=1×2×3××(n-1)=(n-1)!所以时，故且=1也适用该式 ().模板三：构造常见数列法（一）构造等比数列法原数列既不等差，也不等比。若把中每一项添上一个数或一个

4、式子构成新数列，使之等比，从而求出。该法适用于递推式形如=或=或= 其中b、c为不相等的常数，为一次式。例4、（06福建理22）已知数列满足=1，= ()，求数列的通项公式。解：构造新数列，其中p为常数，使之成为公比是的系数2的等比数列即= 整理得：=使之满足= p=1即是首项为=2，q=2的等比数列= = 例5、（07全国理21）设数列的首项，=，n=2、3、4（）求的通项公式。解：构造新数列，使之成为的等比数列即= 整理得：=满足=得 = p=-1 即新数列首项为，的等比数列 = 故 =+1（二）、构造等差数列法数列既不等差，也不等比，递推关系式形如，那么把两边同除以后，想法构造一个等差数

5、列，从而间接求出。例6（2010年石家庄一模）数列满足且。求、 是否存在一个实数，使此数列为等差数列？若存在求出的值及；若不存在，说明理由。解：由=81 得=33；又=33得=13；又=13，=5假设存在一个实数，使此数列为等差数列即= = = 该数为常数= 即为首项，d=1的等差数列=2+=n+1 =例7、（2010年德州二模理科20）数列中，=5，且 （n=2、3、4），试求数列的通项公式。解：构造一个新数列，为常数，使之成为等差数列，即 整理得+3l，让该式满足取，得，d=1 ，即是首项为，公差d=1的等差数列。 故 =模板四、形如采用取倒数法形如倒数,得，令，从而转化为型，进而采用构造等比数列的方法求出通项公式。今年广东高考题的数列题就必须采用此法才能得以求解。例8、（2011年全国高考广东卷20）设，数列满足，（1）求数列的通项公式；解：（1） 当b=2时，则 当且时，当时， 综上所述：例9、（06江西理22）已知数列满足，且（）求数列的通项公式。解：把原式变形成 两边同除以得即 构造新数列，使其成为公比q= 的等比数列即整理得： 满足式使 数列是首项为，q=