工程数学场论课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 与时间无关的场称为稳定场，否则为不稳定场.1. 场场:如果在空间或其部分空间的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，该物理量的一个场场. 如果该物理量是数量，称它为数量场；如果该物理量是矢量，称它为矢量场矢量场或向量场向量场.分别用( , , )uu x y z( , , )aa x y z表示.及则称在该空间定义了关于目录 上页 下页 返回 结束 在数量场 中，( , , )uu x y z称曲面 为该( , , )u x y zc数量场的等值面. 在平面场 中，称曲线( , )uu x y为它的等值线,如等温线、等高线等.( , )u x yc一个等值面通

2、过；等值面族充满了数量场所在的空间，而且互不相交.由于数量场是单值的，所以场中的每一点有且仅有等值面等值线目录 上页 下页 返回 结束 设 c 为矢量场 中的曲线，如果c( , , )aa x y z矢量线:上每一点对应的矢量 都与 c 相切,则称之为矢量线.azxyo( , , )m x y zrmaa设 为曲线上一点，( , , )m x y zaromxiyjzk d rdxidyjdzkd ra因为 , 所以矢量线满足xyzdxdydzaaa目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论解：解：矢量线所满足的微分方程为 ydzzdyyzdx2)(ydzzd

3、y122czy由得又由合比定理 yzzydyzdx)()(2求矢量场2()azyizjyk的矢量线方程.(1,2,1)过点目录 上页 下页 返回 结束 )()(zydzydx22)(2czyx22122)(2czyxczy可得有(1,2,1)将点 代入得123cc所以所求矢量线方程为：22232()3yzxyz目录 上页 下页 返回 结束 定义1： 1.方向导数方向导数设0m是数量场()uu m中的一点，0000()()limlimmmmmu mu mum m存在， 则称此极限为 在点()u m0m处沿 l 方向的方向导数， 记作0mullm0m若沿方向 l目录 上页 下页 返回 结束 则函数

4、在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在 ,coscoscosuuuulxyz.,的方向角为其中l证明证明:且有得若函数( , )uu x y z在点0000(,)mxyz处可微，( )uuuuxyzoxyz (coscoscos )( )uuuoxyz故0limcoscoscosuuuuulxyz在点 可微 ,( , , )u x y z0m由函数目录 上页 下页 返回 结束 设0m是数量场()uu m中的一点，0000()()limlimmmmmu mu musm m存在， 则称此极限为 在点()u m0m处沿曲线c(正向)的记作0musl若沿曲线c 之正向c方向导数，曲线c光滑，u

5、usl( , )uu x y z若在点( , )m x y z处函数 可微、l 为 c 在 处 的切线方向（正向），m则0mm目录 上页 下页 返回 结束 (2,3,3)m20zxy在点是曲面n设处指向下侧的法向量，求函数uxyz在点m处沿 的方向导数 .n解解: 方向余弦为3cos,172cos,172cos17而( 3 , 2 , 2) (,2)myx法向量为(3 ,2 ,2)n 所以9,mmuyzx6,muy6muz所以(coscoscos )mmuuuunxyz2717目录 上页 下页 返回 结束 朝 x 增大方向的方向导数.解解:将已知曲线用矢量形式表示为它在点 p 的切向量为,17

6、1cos1760 xoy2prxiy j1716xy174)23(2yx)3,2(4ij174cos1在点p(2, 3)沿曲线223yyxz12 xy求函数mmuusl(2)pprix j2(1)xixj目录 上页 下页 返回 结束 记作 gradu,即定义：定义： 称向量uuugijkxyz为数量场 u(m) 在( , ),uu x y z设有矢量场在点( , )m x y z处,点 m 处的梯度,uuuijkxyzgrad u 引入哈密顿算子：ijkxyz grad uu 有目录 上页 下页 返回 结束 方向：u 变化率最大的方向 模 : u 的最大变化率之值grad:u1)0gradgr

7、adluu lul2)3)gradmu为等值面( , )u x y zc在点 m 处的法向量，u(m) 增大的一方.gradnuucm指向数量场注：注：称为由数量场u产生的梯度场.grad u矢量场目录 上页 下页 返回 结束 (1)0c(2)()cuc u(3)()uvuv (4)()uvu vv u (6)( )( )f ufuu2(5)( )uv uu vvv 目录 上页 下页 返回 结束 ,)(可导设rf),(222zyxpzyxr为点其中证证:xrf)()(rf yrf)()( gradrf)(1)(kzjyixrrfrrrf1)( rzrfzrf)()(0)(rrfjyrf)(kz

8、rf)(xrrf)(222zyxxpxozy,)(ryrf ixrf)(试证rxrf)( .)()(radg0rrfrf处矢径 r 的模 ,r目录 上页 下页 返回 结束 作出数量场uxy所产生的梯度场的矢量线.解解:graduyix j数量场uxy所产生其矢量线满足微分方程 dxdyyx所以矢量线方程为：22xyc的梯度场为xyo目录 上页 下页 返回 结束 s定义：定义： 1.通量通量简单曲线简单曲线:没有重点的连续曲线；没有重点的连续曲线；简单曲面简单曲面:没有重点的连续曲面；没有重点的连续曲面；设有矢量场 ，()a m中有向曲面s某一侧的曲面积分sa ds 向积分所沿一侧叫做矢量场a穿

9、过曲面s的通量.沿其目录 上页 下页 返回 结束 s设( , , )( , , )( , , )ap x y z iq x y z jr x y z k又ddd dd dssa dspyzqzxr xy ddd dd ddsyzizxjr xyk所以通量为 当 0 时,当 0 时,当 = 0 时, 不能判定s内有无源.表明s 内有正源源; 表明s 内有负源 ;通量的物理意义通量的物理意义目录 上页 下页 返回 结束 解解:设由矢径rx iy jz k构成的矢量场中， 有一由圆锥面222xyz及平面(0)zhh所围成的封闭曲面s, 试求 从s内r穿出s的通量.zoyxhrdsrs 3d ddxy

10、z3hddd dd dsxyzyxzzxy由奥-高公式目录 上页 下页 返回 结束 定义：定义：limlimsmma dsvv存在， 则称此极限为 在点()a mm处的散度， 记作div . a若设有矢量场 ，()a mm0diva表明该点处有正源, 0diva表明该点处有负源, 0diva表明该点处无源, 散度绝对值的大小反映了源的强度.0diva若向量场 a 处处有 , 则称 a 为无源场. 说明说明: 散度是通量对体积的变化率, 且目录 上页 下页 返回 结束 在任一点m(x, y, z)的散度为在直角坐标系中，矢量场( , , )( , , )( , , )ap x y z iq x

11、y z jr x y z kdivpqraxyza 证明：证明：由奥-高公式dddd dd dssaspyzqzxr xy ()dpqrvxyz目录 上页 下页 返回 结束 又由中值定理得()dpqrvxyz*mpqrvxyz所以*limmmpqrxyzdivlimmavpqrxyz其中 为 中的某一点,*m目录 上页 下页 返回 结束 奥-高公式的矢量形式ddivdsasa v推论推论2：d0sas若在封闭曲面 s 内处处有 ，div0a 则推论推论3：或这些点的任一封闭曲面的通量都相等.若在矢量场 内某些点上有 ，div0a adiv a不存在， 而在其他点上 ，div0a 则穿出包围目录

12、 上页 下页 返回 结束 解解: 求矢量场kxzxyzjyzyiyzxa)3()()23(2232所产生的散度场 , 并求此散度场通过点 m (2,-1,1)的梯度。 adivzryqxp x6 223zy xzxy6 令audiv grad u kxzjxyizy)62()6()66(zukyujxui grad 414muijk 目录 上页 下页 返回 结束 (1)0c(2)()caca(3)()abab (4)()uauau a 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 已知,xyzerxiy jzk 求divr 3graddiv. r由基本公式得divdivgradrrr由于div()xi

13、y jzkgradxyze()xyzeyzixz jxyk故div33xyzxyzreexyz3(1)xyzxyz e目录 上页 下页 返回 结束 定义：定义： 1.环量环量设有矢量场 ，()a m封闭有向曲线 lla d l 按积分所取方向沿曲线 l 的环量.叫做矢量场a沿其中( , , )( , , )( , , )ap x y z iq x y z jr x y z klla d lpdxqdyrdz d ldxidy jdzk通量al表示表示l的曲线积分目录 上页 下页 返回 结束 解解:设有平面矢量场,ay ix j l 为场中的星形线3cos,xr3sin,yr求a沿l正向的环量.

14、la d l lydxxdy233330sin(cos)cos(sin)rd rrd royxr2242420(3sincos3 cossin)rrd222203sincosrd 234r目录 上页 下页 返回 结束 定义：定义：存在，中的设 m 为矢量场 ()a mlimlimlsmsma dlss 记作 ,n一点， 若沿方向 n则称此极限为 在点am处沿方向 的环量面密度，n即limlnsma dls snml目录 上页 下页 返回 结束 在直角坐标系中，矢量场( , , )( , , )( , , )ap x y z iq x y z jr x y z k证明：证明： 由斯托克斯公式dl

15、lalpdxqdyrdz 在任一点m(x, y, z)的处沿方向 的环量面密度为n()cos()cos()cosnyzzxxyrqprqp,其中 为n的方向角.()()()yzzxxysrq dydzpr dzdxqp dxdy()cos()cos()cos yzzxxysrqprqpds目录 上页 下页 返回 结束 又由中值定理得所以limnsms 其中 为 中的某一点,*m ()cos()cosyzzxrqpr()cos()cos()cosyzzxxyrqprqp*()cos xymqpscoscoscosxyzpqr目录 上页 下页 返回 结束 解解: 求矢量场32422axz ix y

16、z jyz k在点 m (2,-1,1)沿方向623nijk环量面密度.n的方向余弦为623cos,cos,cos,777所以在点 m沿n环量面密度为coscoscosnmxyzpqr623182387777 目录 上页 下页 返回 结束 定义：定义： 称向量设矢量场在点( , )m x y z处,()()()xzzxxyrrq iprjqp k( , , )( , , )( , , )ap x y z iq x y z jr x y z k为矢量场在点 m 处的旋度,a记作 ，rot a即rotijkaxyzpqra 目录 上页 下页 返回 结束 方向： 模 :rot:a1)rotrotnn

17、a na2)a的最大环量面密度的方向a的最大环量面密度之值斯托克斯公式的矢量形式drotlsala ds目录 上页 下页 返回 结束 ozxyl设某刚体绕定轴 l 转动,m为刚体上任一点, 建立坐标系如图,m则),(zyxr 角速度为 ,r), 0, 0(点 m 的线速度为rvvrotzyxkji00)0,(xy0 xykjizyx)2, 0, 0(2(此即“旋度”一词的来源)目录 上页 下页 返回 结束 (1)()caca (5)()0u (2)()abab (3)()uauaua (4)()abbaab(6)0a目录 上页 下页 返回 结束 ppzpxyzqqqd axyzrrrxyz()

18、yzrq idiv a ()zxprj()xyqp kpqrxyzrot a 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 已知233,3,ux yax yz jxyk 求rot a由于2grad63uxyix j又及rot.ua23320003360d ax yzx zx yyxy所以322rot(6)33axyx y iy jx yzk故rotrotgraduauaua22323(9)95x yxxiy jx zk目录 上页 下页 返回 结束 线单连域线单连域:如果空间区域g内的任何一条简单闭曲线 l，都存在一个以l为边界且全部位于 g的曲面s，否则称g为线复连域.则称区域g为线单连域，面单连域面

19、单连域: 如果空间区域g内的任何一个简单闭曲面s所包围的点皆在g内(即s 没有洞), 否则称g为面复连域.则称区域g为面单连域，目录 上页 下页 返回 结束 定义定义:若存在单值函数 muu使得使得gradau则称a为有势场.uv称为该矢量场的势函数, 即gradav (),a m设矢量场势函数的全体可表示为()v mc在线单连域内，a为有势场rot0a 目录 上页 下页 返回 结束 设( , , )( , , )( , , )ap x y z iq x y z jr x y z k为有势场,则存在单值函数 muu使得grad ,au那么rotrot(grad )0.au由于场所在区域为线单连

20、域，la dl0m ma dl所以rot0,a l 为区域内任一闭曲线；与路径无关( )；“ ”“ ”slrot0,sa dsxzyo( , , )m x y z0000(,)mxyz场保守目录 上页 下页 返回 结束 000( , , )(,)( , , )x y zxyzu x y zpdxqdyrdzdupdxqdyrdz存在函数 u,uuupqrxyzgrad,ua( , , )m x y zxzyo0000(,)mxyz即a为有势场.注：注：1) 场有势场保守场无旋2) 势函数v 000( ,)xxp x yzdx00( , ,)yyq x y zdy0( , , )zzr x y

21、z dzc目录 上页 下页 返回 结束 解解:则存在函数 u(m), 使因 是保守场，a()( )( )baaba dlu mu bu aaba dl则曲线积分 与路径无关，于是babaa dla dl00bamma dla dl其中 为场中任一点.0m00mbama dla dl若 是保守场，a令0(),mmu ma dl则()( )( ).baaba dlu mu bu a注：注：()u m称为a dlpdxqdyrdz的原函数.目录 上页 下页 返回 结束 解解:3232223axyz ix z jx yz k证明矢量场为保守场，并计算曲线积分,la dl其中l 是从 a(1,4,1)

22、到 b(2,3,1)32322rot23ijkzaxyzxyzx zx yz0a为保守场.故2222000003xyzudxdyx yz dzx yz000(,)(0,0,0),xyz取于是la dl22(2,3,1)(1,4,1)1248bax yz的任一路径.22(66)xyzxyzj2222(33)x zx zi33(22)xzxzk目录 上页 下页 返回 结束 解解:是有势场，并求其势函数 v.kyzxjyzxixyza22222cos2证明矢量场由 的雅可比矩阵a得2222rot(22)(44)(22)axzxzixyzxyz jxzxzk0a为有势场,故2222222242sin2

23、422yzxzxyzd axzyx zxyzx zx y那么存在函数u使得grad ,au目录 上页 下页 返回 结束 000(,)(0,0,0),xyz取20000cos2xyzudxydyx yzdz22sin yx yz于是得势函数22sinvuyx yz 势函数的全体为22sinvyx yzc 目录 上页 下页 返回 结束 22222,cos ,2xyzuxyzux zy ux yz那么有第一个方程对x积分，得22( , )ux yzy z上式对y 求导，得22( , )yyux zy z所以有( , )cos ,yy zy于是( , )sin( ),y zyz也就有22sin( )ux yzyz22cosx zy存在函数u使得grad ,au目录 上页 下页 返回 结束 22( )zux yzz22222,cos ,2xyzuxyzux zy ux yz22x yz即有( )0,zz于是1( ) zc所以有221sinux yzyc从而势函数22sinvx yzyc 上式对 z 求导，得目录 上页 下页 返回 结束 div0,a 若21,ss12ssa dsa ds定义：定义：