《数理方程》第一讲

1、1数理方程第一讲数理方程第一讲演讲者：昆明理工大学理学院演讲者：昆明理工大学理学院 郑瑾环郑瑾环2数学物理方程数学物理方程数学物理方程主要是描述各种物理、数学物理方程主要是描述各种物理、力学等自然现象的偏微分方程和积分力学等自然现象的偏微分方程和积分方程，本课程只介绍其最基本的内容，方程，本课程只介绍其最基本的内容，即三大类二阶线性偏微分方程方程的即三大类二阶线性偏微分方程方程的基本性质及其求解方法。基本性质及其求解方法。3第九章第九章 典型方程与定解问题典型方程与定解问题本章将介绍三大类偏微分方程的来由、偏微本章将介绍三大类偏微分方程的来由、偏微分方程定解问题的提法、偏微分方程的简单分方程定

2、解问题的提法、偏微分方程的简单分类和线性偏微分方程的简单性质等基本内分类和线性偏微分方程的简单性质等基本内容。容。49.1 典型方程的建立典型方程的建立波动方程的导出波动方程的导出设有一根两端拉紧的均匀柔软细弦，其长为设有一根两端拉紧的均匀柔软细弦，其长为L。当弦作微小横振动时，求弦上各点的运。当弦作微小横振动时，求弦上各点的运动规律动规律(不妨设弦的两端是固定的不妨设弦的两端是固定的)。在弦作微小横振动时所处的平面上建立一个在弦作微小横振动时所处的平面上建立一个直角坐标平面，使得弦的平衡位置处于直角坐标平面，使得弦的平衡位置处于x轴轴的区间的区间0,L上，则其所的运动规律可用一上，则其所的运

3、动规律可用一函数函数u(x,t)来表示。来表示。59.1.1 波动方程的导出波动方程的导出只作微小横振动：只作微小横振动：0coscos1122TT由牛顿力学定律：由牛顿力学定律：xtxxuTTtt),(sinsin1122弦作微小横振动：弦作微小横振动：0),(1),(2txutxuxx) 2 , 1(1cos,sin),(jtgtxutgjjjjxj从而有：从而有：, 012TTxttxxuxtxuTxtxxuT2212),(),(),(由于由于xdxtxusxxxx2),(1所以，所以，T=T(x,t)与与x,t均无关均无关69.1.1 波动方程的导出波动方程的导出所以，应该满足如下偏微

4、分方程：所以，应该满足如下偏微分方程：TatxuatxutxutxTuxxttttxx22),(),(),(),(如果在如果在t 时刻，时刻，x处受一线密度为处受一线密度为F(x,t)，方向与方向与u轴平行的外力作用，在弦段微元处轴平行的外力作用，在弦段微元处的合力为的合力为xtxxuxtxxFTTtt),(),(sinsin1122进而有：进而有：),(1),(,),(),(),(2txFtxfTatxftxuatxuxxtt79.1.1 波动方程的导出波动方程的导出所以，弦振动过程中的位移函数所以，弦振动过程中的位移函数 满足满足),( txu),(),(),(2txftxuatxuxxt

5、t2 . 1称此方程一维非齐次波动方程，其中称此方程一维非齐次波动方程，其中 称为非齐次项或自由项，描述强迫振动过称为非齐次项或自由项，描述强迫振动过程。如果程。如果 它描述的是弦的自由振动它描述的是弦的自由振动过程：过程：),( txf, 0),(txf),(),(2txuatxuxxtt这个方程通常也称为弦振动方程。这个方程通常也称为弦振动方程。3.189.1.1 波动方程的导出波动方程的导出用类似的方法可以导出用类似的方法可以导出二维波动方程：二维波动方程：),()(2tyxfuuauyyxxtt三维波动方程：三维波动方程：),()(2tzyxfuuuauzzyyxxtt此处的此处的 或

6、或 也称为非齐次项，若也称为非齐次项，若 或或 ，则也称为二维或三维，则也称为二维或三维齐次波动方程齐次波动方程),(tyxf),(tzyxf0),(tyxf0),(t zyxf若记若记,2222222222zyxoryx4 . 15 .199.1.1 波动方程的导出波动方程的导出则二维或三维波动方程可统一地记为：则二维或三维波动方程可统一地记为：fuautt2同样可以类似地定义同样可以类似地定义n维波动方程如下：维波动方程如下：fuautt2其中其中),(,122212txxffxxnn),(,21txxxuun109.1.2 热传导方程的导出热传导方程的导出设某温度场内有热源，在设某温度场

7、内有热源，在t时刻，时刻， 处单位处单位时间单位体积产生的热量为时间单位体积产生的热量为 ，求温度，求温度场的温度函数场的温度函数 满足的方程。满足的方程。 zyx ,),(tzyxF),(tzyxu在温度场中任取一个有界区域在温度场中任取一个有界区域，时间段，时间段,21tt设在区域设在区域、给定的时间段、给定的时间段 内，内，,21tt通过通过的边界流出的边界流出外的热量为外的热量为 ，内温度变化所需要的热量为内温度变化所需要的热量为 。热源所产生的热量为热源所产生的热量为,1Q2Q3Q119.1.2 热传导方程的导出热传导方程的导出则则321QQQ 21),(1ttdtdVtzyxFQ由

8、热力学的由热力学的Fourier实验定理得：实验定理得： 2122ttdtdnukQdtdnukdQ其中其中n为为的边界的外法线方向。的边界的外法线方向。coscoscoscos,cos,coszuyuxunun6 .17 .1129.1.2 热传导方程的导出热传导方程的导出定理定理 设空间区域设空间区域是由分片光滑的闭曲是由分片光滑的闭曲面面所围成，函数所围成，函数 在在上一阶连续可导，则有上一阶连续可导，则有),(),(),(zyxRzyxQzyxPRdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP或或dSRQPdvzRyQxPcoscoscos其中，其中， 是是在在 处的外法向量处的外法向量

9、的方向余弦，以上公式称为的方向余弦，以上公式称为GaussGauss公式。公式。cos,cos,coszyx,139.1.2 热传导方程的导出热传导方程的导出由由Gauss公式可得：公式可得： 212ttdtdSnukQ 21)coscoscos(ttdtdSzuyuxuk 212222222ttdtdvzuyuxukQdvdtuctzyxuttzyxudvcdQt),(),(3 21),(3tttdtdvtzyxucQ8 . 19 . 1149.1.2 热传导方程的导出热传导方程的导出所以所以 212121222222tttttttdtdvucdtdvzuyuxukdtFdv 021tttd

10、tdvFukuc记记222222zyx则则FcfckafuauFukuctt1,22也就是也就是),()(2tzyxfuuuauzzyyxxt10. 1222222zuyuxuu159.1.2 热传导方程的导出热传导方程的导出对问题作适当简化，可得对问题作适当简化，可得二维热传导方程：二维热传导方程：),()(2tyxfuuauyyxxt一维热传导方程：一维热传导方程：),(2txfuauxxt11.112.1其中的函数其中的函数 称为热源，相应的方程称为称为热源，相应的方程称为非齐次热传导方程；若非齐次热传导方程；若 f, 0),(0),(0),(tzyxfortyxfortxf则称相应的方

11、程为齐次热传导方程。则称相应的方程为齐次热传导方程。169.1.2 热传导方程的导出热传导方程的导出同一个方程可以描述多个物理现象，例如传同一个方程可以描述多个物理现象，例如传输线方程组输线方程组tUCGUxItILIRxU13. 1222222tUCtUGtxItxILxIRxU179.1.2 热传导方程的导出热传导方程的导出可得可得txILxIRxU22222tUCtUGLtUCGURRGUtULGRCtULCxU2222同理同理tUCGUxItILIRxUtxUCxUGxItILtIRtxU22222222tILtIRCtILIRGtxUCxUGxI22214. 1189.1.2 热传导

12、方程的导出热传导方程的导出化简得化简得GRItIRCLGtILCxI222215. 1电报方程：电报方程：G=L=0，方程化为，方程化为tURCxUtIRCxI2222,高频传输问题：高频传输问题：G=R=0，方程化为，方程化为22222222,tULCxUtILCxI199.1.4 稳定问题稳定问题在热传导问题中，在某些条件下，物体的在热传导问题中，在某些条件下，物体的温度可以达到稳定状态，此时，温度函数温度可以达到稳定状态，此时，温度函数和热源函数均与时间无关：和热源函数均与时间无关：),(),(),(),(zyxftzyxfzyxutzyxu从而有：从而有：),(2tzyxfuaut),

13、(zyxgu16. 1此方程称为此方程称为Poisson方程，若方程，若, 0),(zyxg则称为则称为Laplace方程或调和方程。方程或调和方程。209.1.4 稳定问题稳定问题用同样的方法，可以得到二维用同样的方法，可以得到二维Poisson方程和二维方程和二维Laplace方程如下：方程如下：Poisson方程：方程：),(yxguuuyyxxLaplace方程：方程：0yyxxuuu对于二维和三维波动方程，可以考虑其稳定对于二维和三维波动方程，可以考虑其稳定问题，同样可得相应维数的问题，同样可得相应维数的 Poisson 方程方程和和 Laplace 方程。方程。219.1 典型方程

14、的建立典型方程的建立三类典型方程：三类典型方程：波动方程波动方程fuautt2热传导方程热传导方程fuaut2Poisson方程方程gu 229.2定解条件与定解问题定解条件与定解问题三类方程三类方程gufuaufuauttt22如果有解，则其解应该不唯一。如果有解，则其解应该不唯一。在这众多的解中确定出所需要的解，还需要在这众多的解中确定出所需要的解，还需要增加另外的条件，即定解条件，使之成为定增加另外的条件，即定解条件，使之成为定解问题，在此条件下，再来讨论适定性，即解问题，在此条件下，再来讨论适定性，即存在性、唯一性和稳定性。存在性、唯一性和稳定性。239.2.1 有界弦振动的定解条件有

15、界弦振动的定解条件对于弦振动方程对于弦振动方程),(2txfuauxxtt弦的初始状态，即初始位移和初始速度，弦的初始状态，即初始位移和初始速度，对弦的振动过程应该有重要影响，必须给对弦的振动过程应该有重要影响，必须给予考虑：予考虑：)() 0 ,(),() 0 ,(xxuxxut对于有界弦振动，其端点的运动规律也必对于有界弦振动，其端点的运动规律也必须考虑，也就是：考虑其端点条件或边界须考虑，也就是：考虑其端点条件或边界条件。条件。1 .2249.2.1 有界弦振动的定解条件有界弦振动的定解条件对于有界弦振动而言，其界条件有如下三种：对于有界弦振动而言，其界条件有如下三种：(1) 给定端点的

16、运动规律：给定端点的运动规律：)(),()(), 0(10tgtluandtgtu如果端点固定：如果端点固定：0), (0), 0 (tluandtu这样的边界条件称为第一类边界条件。这样的边界条件称为第一类边界条件。则称为第一类齐次边界条件。则称为第一类齐次边界条件。2 .23.2259.2.1 有界弦振动的定解条件有界弦振动的定解条件(2) 作用在端点的外力在作用在端点的外力在u轴方向上的分量轴方向上的分量 已知：已知：)(),()(), 0 (10tGtlTuandtGtTuxx)(),()(), 0 (10tgtluandtgtuxx这样的边界条件称为第二类边界条件。这样的边界条件称为

17、第二类边界条件。同样可得第二类齐次边界条件：同样可得第二类齐次边界条件：0),(0), 0(tluandtuxx4 . 25 . 2269.2.1 有界弦振动的定解条件有界弦振动的定解条件(3) 端点的弹性支撑端点的弹性支撑弦在弦在 处固定在弹簧上，弹簧另一端处固定在弹簧上，弹簧另一端固定，弹簧的弹性系数为固定，弹簧的弹性系数为k，则弹簧的，则弹簧的张力应与弦的弹性恢复力平衡：张力应与弦的弹性恢复力平衡：lx),(),(tlkutlTux0), (), (tlutlux6 .2如果弹簧的另一端不是固定，而是按某如果弹簧的另一端不是固定，而是按某一规律运动，以上的平衡条件应为一规律运动，以上的平

18、衡条件应为279.2.1 有界弦振动的定解条件有界弦振动的定解条件)(),(),(thtluktlTux)(),(),(ttlutlux7 . 2对于弦的左端点对于弦的左端点 也可以作类似的讨论，也可以作类似的讨论，得到的结论为：得到的结论为：, 0 x0), 0(), 0(tutux)(), 0(), 0(ttutux或或9 .28 . 2(2.7)或或(2.9)称为第三类边界条件，称为第三类边界条件，(2.6)或或(2.8)称为第三类齐次边界条件。称为第三类齐次边界条件。289.2.1 有界弦振动的定解条件有界弦振动的定解条件第三类边界条件可统一记成第三类边界条件可统一记成)(00toru

19、nujlorx10. 2有界弦振动方程加上初始条件和两个端点各有界弦振动方程加上初始条件和两个端点各加一个边界条件后可构成一个定解问题。两加一个边界条件后可构成一个定解问题。两个端点的边界条件可以是这三类边界条件之个端点的边界条件可以是这三类边界条件之一，它们的类型可以互不相同。这样的定解一，它们的类型可以互不相同。这样的定解问题称为有界弦振动方程的初边值问题。例问题称为有界弦振动方程的初边值问题。例如，如下便是一个完整的初边值问题：如，如下便是一个完整的初边值问题：299.2.1 有界弦振动的定解条件有界弦振动的定解条件)(),(),(), 0()() 0 ,(),() 0 ,(0,0),(

20、102ttluttuxxuxxutlxtxfuautxxtt对于空间区域为有限区域的二维三维波动方对于空间区域为有限区域的二维三维波动方程，同样有三类边界条件，也可以构成二维程，同样有三类边界条件，也可以构成二维三维甚至更高维的波动方程的初边值问题。三维甚至更高维的波动方程的初边值问题。309.2.2 三维热传导方程定解条件三维热传导方程定解条件对于热传导问题，我们也可以提初边值，其对于热传导问题，我们也可以提初边值，其边界条件也可分为第一、第二、第三类边界边界条件也可分为第一、第二、第三类边界条件，而且还有明确的物理意义。条件，而且还有明确的物理意义。设区域设区域的边界为的边界为,内的温度函

21、数内的温度函数),(tzyxu满足热传导方程满足热传导方程),()(2tzyxfuuuauzzyyxxt显然，初始时刻的温度对随后的温度变化有显然，初始时刻的温度对随后的温度变化有明显影响，因此需要知道温度的初始分布：明显影响，因此需要知道温度的初始分布：),()0 ,(zyxzyxu11. 212. 2319.2.2 三维热传导方程定解条件三维热传导方程定解条件边界条件的提法：边界条件的提法：(1) 边界上的温度变化规律已知：边界上的温度变化规律已知：tzyxu,这样的边界条件称为第一类边界条件这样的边界条件称为第一类边界条件13.2(2) 第二类边界条件：在点第二类边界条件：在点 处单位时

22、处单位时 间单位面积流出曲面间单位面积流出曲面的热量为的热量为),(zyx: ),(tzyxG),(tzyxGnukdtddQ),(tzyxgnu14. 2329.2.2 三维热传导方程定解条件三维热传导方程定解条件(3) 不同介质之间的热传递：第三边界条件不同介质之间的热传递：第三边界条件设设的边界的边界的另一边是另一种介质，的另一边是另一种介质，与与接触的温度是接触的温度是),(00tzyxuu 牛顿定律：通过牛顿定律：通过上的面积元上的面积元dd, ,从一从一种介质流到另一种介质的热量种介质流到另一种介质的热量 与两与两介质的温度差成正比，与介质的温度差成正比，与 成正比：成正比： *d

23、QdtduukdQ)(01*dtd339.2.2 三维热传导方程定解条件三维热传导方程定解条件通过通过的边界的边界流出流出的热量的热量 服从服从Fourier Fourier 实验定律：实验定律：dQdtdnukdQkkuunudtdsuukdtdsnuk1001)()(0uunu),(tzyxgunu15. 2349.2.2 三维热传导方程定解条件三维热传导方程定解条件三类边界条件的统一形式：三类边界条件的统一形式：gunu其中其中 g为已知函数。为已知函数。第一边界条件：第一边界条件：1, 0第二边界条件：第二边界条件：0, 1第三边界条件：第三边界条件：0, 1359.2.3 定解问题定

24、解问题如果空间变量的取值范围的边界是空集，则此如果空间变量的取值范围的边界是空集，则此时只需考虑初值问题，也称时只需考虑初值问题，也称Cauchy问题，例问题，例如，如下三维波动方程初值问题：如，如下三维波动方程初值问题：),() 0 ,(),() 0 ,(0,2zyxzyxuzyxzyxutzyxfuuuautzzyyxxtt二维热传导方程初值问题：二维热传导方程初值问题：),()0 ,(0,)(2yxyxutyxfuuauyyxxt369.2.3 定解问题定解问题如果空间变量的取值范围的边界集非空，则如果空间变量的取值范围的边界集非空，则需在初值条件和边值条件下求解微分方程，需在初值条件和

25、边值条件下求解微分方程，称为初边值问题或混合问题；例如：如下第称为初边值问题或混合问题；例如：如下第一类边界条件混合问题：一类边界条件混合问题：)(),(),(),0()()0,(),()0,(0,0),(102ttluttuxxuxxutlxtxfuautxxtt)(),(),(), 0()()0 ,(0,0),(102ttluttuxxutlxtxfuauxxt379.2.3 定解问题定解问题对于描述稳定现象的微分方程，由于与时对于描述稳定现象的微分方程，由于与时间无关，自然无法提初值条件，只能边值间无关，自然无法提初值条件，只能边值条件，例如：条件，例如：第一边值问题第一边值问题第二边值

26、问题第二边值问题第三边值问题第三边值问题),(,),(zyxuzyxzyxfu),(,),(zyxnuzyxzyxfu),(,zyxunuzyxfu389.2.4 定解问题的适定性定解问题的适定性对于定解问题，有这样的一些问题需要研究：对于定解问题，有这样的一些问题需要研究：(1) 解的存在性：解是否存在，根据实际解的存在性：解是否存在，根据实际意意 义，解应该存在是一回事，数学上严格义，解应该存在是一回事，数学上严格 证明其解一定存在是另一回事。证明其解一定存在是另一回事。(2) 若解存在，有多少个解？是否唯一？这若解存在，有多少个解？是否唯一？这 是唯一性问题。是唯一性问题。(3) 定解条

27、件有微小误差时，其解函数是否定解条件有微小误差时，其解函数是否 也有微小误差？这是稳定性问题。也有微小误差？这是稳定性问题。399.3 线性方程与迭加原理线性方程与迭加原理9.3.1 偏微分方程的一般名称偏微分方程的一般名称偏微分方程：含有偏微分方程：含有(一个或多个一个或多个)多元未知函多元未知函数及其偏导数的式子数及其偏导数的式子(一个或多个一个或多个)，称为偏，称为偏微数方程。其一般形式为微数方程。其一般形式为0),(xxyxuuuuyxF或或, 2 , 1, 10),(jiuuuuyxFxxiyixiij409.3.1 方程的一般名称方程的一般名称方程的阶数：偏微分方程中含未知函数的最

28、方程的阶数：偏微分方程中含未知函数的最高阶偏导数的阶数称为方程的阶数。高阶偏导数的阶数称为方程的阶数。例如：例如：fuautt2fuaut2fu 02xxyyxxuuuue线性方程线性方程(线性方程组线性方程组)：如果一个偏微分方：如果一个偏微分方程或方程组对所有未知函数及其偏导数都是程或方程组对所有未知函数及其偏导数都是一次的，则其为线性方程或线性方程组。否一次的，则其为线性方程或线性方程组。否则称为非线性方程或非线性方程组。则称为非线性方程或非线性方程组。419.3.1 方程的一般名称方程的一般名称拟线性方程：一个偏微分方程，如果只对未拟线性方程：一个偏微分方程，如果只对未知函数的最高阶偏导数是一次的，则称为拟知函数的最高阶偏导数是一次的，则称为拟线性方程。线性方程。半线性偏微分方程：如果一个偏微分方程对半线性偏微分方程：如果一个偏微分方程对于未知函数的最高阶偏导数是线性的，但对于未知函数的最高阶偏导数是线性的，但对于低阶偏导数是非线性的，这种方程称为半于低阶偏导数是非线性的，这种方程称为半线性偏微分方程。线性偏微分