初中数学背景知识27丢番图方程一瞥素材人教新课标版_第1页
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文档简介

1、丢番图方程一瞥丢番图是古希腊亚历山大里亚时期的数学家，对他的生平人们知之甚少。传说公元4世纪的一部诗集中有一首短诗，以谜语体裁叙述了他的经历；又传说在一本问题集里有一道解方程问题，反映了他的生平；还传说在他的墓志铭中讲述了他的一生。所有这些传说，无非是如下一段文字：此人一生中，幼年占，青少年占，又过岁月结婚，婚后5年喜得子，但先父4年而卒，寿为其父之半。这段文字可以列成方程+=5+4=x,解之得x=84。丢番图活了84岁。丢番图对数学有两大贡献，其一是采用缩写方式简化数学表达，人称缩写代数，推进了数学符号的采用；其一是求解不定方程，人称丢番图方程，开辟了数论研究的一个重要领域，这个领域后来被称

2、为丢番图分析。丢番图曾写过三部书，其中13卷本的算术最为出色，后失传。大约在1463年雷琼蒙塔努力发现了这部书的6卷，1560年，帕茨发现了这部书原稿抄本，1621年出版了算术的拉丁文、希腊文版本。算术中大部分问题是求解不定方程的，其解法非常巧妙，很少给出一般法则，即使性质相近的题，其解法也会大不相同。著名数学家汉克尔说：“研究丢番图100道题后，去解第101道，仍然感到困难重重。”请看3道例题：例1“对于给定的两个数分别加上某个数，使它们成为两个平方数。”丢番图的解法用现代记号可表示如下（后同）：设方程组a+x=y2b+x=z2取a=2,b=3；构成差（3+x）-(2+x)=1；找两个数，令

3、其乘积等于这个差，取4和，；设2+x=或3+x=;由此解得x=，为所求。例2“已给定一个数为两个平方数之和，把它分成另外两个平方数之和。”设方程x2+y2=z12+z22例3 “求四个数，使这四个数之和的平方加上或减去这四个数中的任意一个数，所得的仍是一个平方数。” 丢番图的解法如下：设方程组取四组勾股数65，32，52，39；65，60，25；65，56，33；65，63，16；解之得以上3例，我们可以看到丢番图在解不定方程时的高超技巧。不定方程之不定，是因为未知量的个数大于方程的个数，要害在于消元。所以，我们在研究丢番图的解法时，要特别注意其中消元的技巧：例1的解法可以表示为即可得例2的解法可以表示为设 即即得。例3的解法的关键在于，直角三角形的斜边（c）与两直角边（a、b）有c2±2ab=a2+b2±2ab=(a±b)的

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