高中数学第3章基本知能检测新人教B版选修21

1、第三章基本知能检测时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1直三棱柱abca1b1c1，若a，b，c，则()aabcbabccabc dabc答案d解析结合图形，得cababc.2若向量a与b不共线，a·b0，且cab，则a与c的夹角为()a0b.c.d.答案d解析a·c|a|2(a·b)|a|2a·a0ab.3若a(1，2)，b(2，1,2)，且a与b垂直，则等于()a1 b1 c6 d6答案c解析a·b240，6.4已知非零向量a

2、、b，及平面，若向量a是平面的法向量，则a·b0是b所在直线平行于或在内的()a充分必要条件b充分不必要条件c必要不充分条件d既不充分也不必要条件答案a解析若a·b0，则b；反之，ba·b0.故选a.5若ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，且dxaybzc，则x、y、z分别为()a.，1 b.，1c，1 d.，1答案a解析由已知得x，y，z1.故选a.6下列说法中不正确的是()a平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量b一个平面的所有法向量互相平行c如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直d如果a，b与平面共面且na，nb，

3、那么n就是平面的一个法向量答案d解析由线面垂直的判定定理知d成立7已知abc和点m满足0，若存在实数m使得m成立，则m()a2 b3 c4 d5答案b解析由题意知m为abc的重心，连结am并延长交bc于d，则又ad为中线，则2m即2m，联立得m3，故选b.8对于任意向量a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，给出下面两个命题：ab；若a1a2a31，则a为单位向量其中正确命题的个数为()a0 b1 c2 d3答案a解析由ab但ab/ ；若a1a2a31，则|a|，都不正确故选a.9如右图，长方体abcda1b1c1d1中，aa1ab2，ad1，点e、f、g分别是dd1、ab、cc1的中

4、点，则异面直线a1e与gf所成角为()aarccos b.carccos d.答案d解析建立空间直角坐标系，如图所示e(0,0,1)，a1(1,0,2)，g(0,2,1)，f(1,1,0)，(1,0,1)，(1，1，1)，而·0，.选d.10在下列条件中，使m与a、b、c一定共面的是()a.2b.c.0d.0答案c解析由共面向量定理知选c.11如图，p是边长为a的正六边形abcdef平面外一点，paab，paaf，为求p与cd的距离作pqcd于q，则()aq为cd的中点 bq与d重合cq与c重合 d以上都不对答案c解析连ac，则accd，由三垂线定理知pccd，q与c重合故选c.12

5、在60°的二面角的一个面内有一个点，它到棱的距离是8，那么它到另一个面的距离是()a. b2 c3 d4答案d解析设二面l为60°，内一点为a，过a作ab于b，aol于o，连ob，则obl，aob60°，ab8sin60°4.二、解答题(本大题共4小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13已知向量a，c不共线，且b0，且(a·b)c(b·c)a，dac，则d，b_.答案90°14如下图所示，在空间四边形abcd中，ac和bd为对角线，g为abc的重心，e是bd上一点，be3ed，以，为基底，则_.答案15三个平

6、面两两垂直，它们交于一点o，空间一点p到三个面的距离分别为，和2，则po_.答案5解析po5.16正abc边长为a，adbc于点d，沿ad把abc折起来使bdc90°，这时点b到ac的距离是_答案a解析过d作dhac于h，连bh，则dha，bha.三、解答题(本大题共6个小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)在棱长为a的正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别为dd1和bb1的中点(1)求证：aec1f是平行四边形；(2)求ae和af之间的夹角的余弦值；(3)求四边形aec1f的面积解析(1)证明：如下图，以da，dc，dd1所在的直线为坐

7、标轴，建立空间直角坐标系，则a(a,0,0)，e(0,0，)，f(a，a，)，c1(0，a，a)(a,0，)，(a,0，)，aec1f为平行四边形(2)解：由(0，a，)，得cos，.(3)解：由(2)知sineaf.saec1f|sineafa2.18(本小题满分12分)如图，四边形abcd是直角梯形，abcbad90°，sa平面abcd，saabbc1，ad.求sc与平面asd所成角的余弦值解析建立如下图所示空间直角坐标系，则s(0,0,1)，a(0,0,0)，b(0,1,0)，d(，0,0)，c(1,1,0)，则(1,1，1)，(，1,0)，(0,1,0)，平面asd的一个法向

8、量为(0,1,0)设sc与平面asd所成的角为，则sin，cos.19(本小题满分12分)(2009·江西)在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，pa平面abcd，paad4，ab2.以ac的中点o为球心、ac为直径的球面交pd于点m，交pc于点n.(1)求证：平面abm平面pcd；(2)求直线cd与平面acm所成的角的大小解析(1)依题设知，ac是所作球面的直径，则ammc.又因为pa平面abcd，则pacd，又cdad，paada，所以cd平面pad，则cdam，所以am平面pcd，又am面abm，所以平面abm平面pcd.(2)如图所示，建立空间直角坐标系，则a(0,0,0

9、)，p(0,0,4)，b(2,0,0)，c(2,4,0)，d(0,4,0)，m(0,2,2)；设平面acm的一个法向量n(x，y，z)，由n，n可得：，令z1，则n(2，1,1)设所求角为，则sin，所以所求角的大小为arcsin.20(本小题满分12分)已知空间四边形oabc，棱oa，ob，bc互相垂直，oaobbc1，n是oc的中点，点m在ab上，且mnab，求amab的值解析如图所示，设x，则x.(1x)x，()，(1x)x(x1)(x).又知，mnab，所以·0.即(x1)(x)·()0.进行向量运算，考虑到、互相垂直且它们的长度都为1，运算结果得x1x0.解得x.

10、所以mnab34.21(本小题满分12分)在正棱锥pabc中，三条侧棱两两互相垂直，g是pab的重心，e，f分别是bc，pb上的一点，且beecpefb12.求证：(1)平面gef平面pbc；(2)eg是pg与bc的公垂线证明(1)以三棱锥的顶点p为原点，以pa，pb，pc所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系令papbpc3，则a(3,0,0)，b(0,3,0)，c(0,0,3)，e(0,2,1)，f(0,1,0)，g(1,1,0)，p(0,0,0)于是(3,0,0)，(1,0,0)故3.pafg.又pa平面pbc，fg平面pbc.又fg平面efg，平面efg平面pbc.(2)(

11、1，1，1)，(1,1,0)，(0，3，3)·110，·330.egpg，egbc，eg是pg和bc的公垂线22(本小题满分14分)(2009·湖南)如图，在正三棱柱abca1b1c1中，abaa1，点d是a1b1的中点，点e在a1c1上，且deae.(1)证明：平面ade平面acc1a1；(2)求直线ad和平面abc1所成角的正弦值解析考查多面体的概念、空间平面与平面的位置关系和线面角解：(1)如图所示，由正三棱柱abca1b1c1的性质知，aa1平面a1b1c1，又de平面a1b1c1，deaa1，又deae，aa1aea，de平面acc1a1，de平面ade，平面ade平面acc1a